重难专题 直线与平面垂直分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　直线与平面垂直 一、必备知识基础 1.如图,α∩β=l,A,C∈α,B∈β,且AB⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等,且侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则直线AD与平面ABC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则直线PO与平面ABCD的位置关系是　　　　　.  4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离为　　　　　.  5.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是　　　　　.  6.如图所示,四边形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,DE=DA=2. (1)求证:AC⊥平面BDE; (2)求AE与平面BDE所成的角的大小. 7.如图,直线EA,DC垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中点.求证:DF∥平面ABC. 二、关键能力提升 8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有(　　) A.AG⊥△EFH所在平面 B.AH⊥△EFH所在平面 C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面 9.在四面体PABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 10.(2025河北承德高一月考)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=4,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为(　　) A.4 B.2 C.8 D.2 11.(2025甘肃兰州高一期末)如图,AO⊥平面α,点O为垂足,BC⊂平面α,BC⊥OB,若∠ABO=,∠COB=,则cos∠BAC=　　　　　　.  12.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,若AB∶BB1=∶1,则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为　　　　　.  13.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PAD. (2)若PD与平面ABCD的夹角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD? 三、学科素养创新 14.如图所示,直升机上一点P在地面α上的射影是点A(即PA⊥α),从点P看地面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于直升机玻璃窗所在的平面β.试探讨平面β与平面α的位置关系. 参考答案 1.C　∵AB⊥α,l⊂α,∴AB⊥l.∵BC⊥β,l⊂β,∴BC⊥l.又AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,∴l⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,∴l⊥AC. 2.A　取BC的中点E,连接AE,DE(图略).易知,DE⊥平面ABC,即∠DAE为直线AD与平面ABC所成的角.设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则DE=1,AE=,tan∠DAE=,所以∠DAE=30°. 3.垂直　在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点, ∴PO⊥AC. 同理,PO⊥BD. 又AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD. 4.4　如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD. 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC. 又PD∩PA=P,所以BC⊥平面PAD. 又AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD, 所以AD⊥BC. 在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4. 在Rt△PAD中,PA=8,AD=4, 所以PD==4. 5.30°　由题意知,∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△PAC中,tan∠PCA=, ∴∠PCA=30°. 6.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴AC⊥DE. ∵BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE, ∴AC⊥平面BDE. (2)解如图所示,设AC∩BD=O,连接EO, ∵AC⊥平面BDE,∴EO是直线AE在平面BDE上的射影, ∴∠AEO即为直线AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中,EA==2,AO=. ∴在Rt△EOA中,sin∠AEO=, ∴∠AEO=30°,即直线AE与平面BDE所成的角为30°. 7.证明取AB的中点M,连接CM,FM. 在△ABE中,F,M分别为EB,AB的中点,则FM∥EA,且EA=2FM. ∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC, ∴DC∥EA,且EA=2DC, ∴DC∥FM,且DC=FM, 故四边形DCMF为平行四边形,则DF∥CM. 又CM⊂平面ABC,DF⊄平面ABC, ∴DF∥平面ABC. 8.B 9.A　如图,设点P在平面ABC内的投影为点O,连接OP,则PO⊥平面ABC,连接OA,OB,OC,则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 又PA=PB=PC, ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC, ∴OA=OB=OC, ∴O为△ABC的外心. 10.B　连接A1B,沿BC1将△CBC1翻折至与△A1BC1在同一个平面内,如图,连接A1C,则A1C的长度即CP+PA1的最小值. 由题设可知A1C1⊥B1C1,又A1C1⊥CC1,CC1∩B1C1=C1,CC1,B1C1⊂平面B1C1CB, ∴A1C1⊥平面B1C1CB,因为BC1⊂平面B1C1CB,故A1C1⊥BC1. 在平面图形中,因为BC=CC1=4,∠BCC1=90°,则∠BC1C=45°,∠A1C1C=135°,A1C1=AC=6,由余弦定理,可得A1C==2.故选B. 11.　设BC=x,因为BC⊥OB,∠COB=,则OB=x, 因为AO⊥平面α,OB,BC⊂平面α,则AO⊥OB,AO⊥BC, 又OB∩OA=O,OB,OA⊂平面AOB,故BC⊥平面AOB,因为AB⊂平面AOB,则BC⊥AB. 在Rt△AOB中,∠ABO=,则AB=OB=x, 在Rt△ABC中,AC=x, 故cos∠BAC=. 12.45°　如图,取BC的中点D,连接AD,B1D. 由题可得,AD⊥BC,且AD⊥BB1. ∵BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BCC1B1, ∴AD⊥平面BCC1B1, 则∠AB1D即为直线AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB=,则AA1=1,AD=,AB1=, ∴sin∠AB1D=, ∴∠AB1D=45°,即直线AB1与平面BB1C1C所成的角为45°. 13.(1)证明取PD的中点E,连接NE,AE,如图. ∵N是PC的中点, ∴NE∥DC且NE=DC. 又DC∥AB且DC=AB,AM=AB, ∴AM∥CD,且AM=CD, ∴NE∥AM,且NE=AM, ∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,∴MN∥平面PAD. (2)解当α=45°时,MN⊥平面PCD,证明如下: ∵PA⊥平面ABCD, ∴∠PDA即为PD与平面ABCD的夹角, ∴∠PDA=45°, ∴AP=AD,∴AE⊥PD. 又MN∥AE,∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD. 又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, ∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD, ∴CD⊥AE,∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD, ∴MN⊥平面PCD. 14.解平面β与平面α必相交. 假设平面α与平面β平行. 因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β. 因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB, 与已知PA∩PB=P矛盾, 所以平面β与平面α必相交. 学科网（北京）股份有限公司 $