第2章 一元二次方程能力提升自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版新教材）

第2章 一元二次方程能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 2．方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 4．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （   ） A．2021 B．2023 C．2027 D．2029 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 9．九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是 ． 12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 13．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如 ．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是 ． 14．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解方程： (1)； (2)． 16．（8分）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 17．（8分）“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 18．（8分）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 19．（8分）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 20．（8分）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 21．（10分）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的项与系数的定义，需明确一元二次方程一般形式中一次项系数的概念进行求解． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），其中是一次项，为一次项系数， 又一元二次方程的一次项是， 该方程的一次项系数是． 故选：A． 2．方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可通过移项后因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故选：B． 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法是解题的关键． 根据配方法的步骤进行求解即可，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：∵， 移项，得， 方程两边同时加，得，即． 故选：B． 4．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义．根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程为 ∴，， ∴ ∴原方程没有实数根 故选：C． 5．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算，从2023年底到2025年底经过两年，根据年平均增长率的增长模型列方程即可． 【详解】解：∵2023年底全省公共充电桩数量为万个，年平均增长率为， ∴2024年底的数量为万个， ∴2025年底的数量为万个， 又∵2025年底数量为万个， ∴可列方程：， 故选：D． 6．已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （   ） A．2021 B．2023 C．2027 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到相关代数式的值，再通过整体代入法计算所求式子的值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根 ∴ ∴ ∵ ． 故选：A． 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，从而求解不等式． 【详解】解∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 8．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，然后代入代数式化简计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根为 , ， ∴ , ， ∵ ， 代入得：． ∴ 原式的值为 2． 故选：B． 9．九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． ∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56， ∴， 解得：或（舍去）． 故选：B． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设年均增长率为x，根据“从2023年的30万人增加到2025年的万人”列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：． 12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的解的定义可得，利用根与系数的关系得到的值，并将原表达式变形后代入计算，即可求解． 【详解】因为是方程的根， 所以，即 ∴ 由根与系数的关系，， 所以原式 ， 故答案为：． 13．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如 ．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 14．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 【答案】或2 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或． ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ∴，． 16．（8分）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 17．（8分）“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 【答案】16个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用单循环比赛的场次计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设共有x个州市代表队参加比赛 根据题意，单循环赛制中每两队之间赛一场， ∴总比赛场次为， ∵赛事主办方计划安排120场比赛 ∴， ∴， 解得，； ∵代表队的数量不能为负数， ∴舍去， 答：共有16个州市代表队参加比赛． 18．（8分）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)9，6 (2)1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则米，米，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则米，米， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴，， 故答案为：9，6． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为1米． 19．（8分）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】 任务一： 任务二：条 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 20．（8分）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程” (2)k的值不存在 (3)m的取值范围为或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“立格方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，根据一元二次方程的判别式可得知该一元二次方程无解，即k的值不存在； （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围，最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2） 即 ，， ， ， 即， 由于， 则无解， 故k的值不存在； （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 此方程有两个不相等的实数根， ，即， 且， 分类讨论：①当，时， ， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 21．（10分）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $