第2章 一元二次方程基础过关自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版新教材）

第2章 一元二次方程基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程， 对于选项A：，满足上述三个条件，∴是一元二次方程，符合题意； 对于选项B：，未知数最高次数为1，不满足条件②，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项C：，含有分式，不是整式方程，不满足条件③，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项D：，含有两个未知数x和y，不满足条件①，∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需先将方程化为的形式，再确定一次项和常数项即可． 【详解】∵原方程为， ∴展开左右两边得， 移项得， 合并同类项化为一般形式， ∴一次项是，常数项是， 故选：A． 3．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，即可得解． 【详解】解：把代入方程可得， ， 解得． 故选：B． 4．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．直接利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和即可. 【详解】∵a、b是方程的两个实数根， ∴， 故选：C． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 6．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：D． 7．如图，英德市滨江公园某个矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下面所列方程错误的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程，关键是正确表示出扩建后的面积，理清面积之间的等量关系，判断方程的正确性． 【详解】解：若将该草坪的长和宽各增加，则扩建后矩形草坪的长为，宽为， 根据题意得： ， 即． 故选：A． 8．设，分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，先利用根的定义求出的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根 ∴ ∴ ∵分别为该方程的两个实数根 ∴（一元二次方程的两根之和为） ∴ 故选：D． 9．如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为， 由题意得，， 故选：D． 10．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．一元二次方程的实数根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 12．一元二次方程的两根分别是，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数． 【详解】解：对于方程，二次项系数，一次项系数，则． 故答案为：5． 13．把一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式 （），需通过移项使等式右边为0． 【详解】解：化成一般形式为：， 故答案为：． 14．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，准确理解根的判别式是解题的关键．由一元二次方程，可计算得到，再根据该一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式大于零，即，最后解得． 【详解】解：方程的判别式为， 其中，，， 代入得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：. 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 16．（8分）在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 17．（8分）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数（队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意得 解得或或（舍去） 答：应邀请6个球队参加比赛． 18．（8分）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 19．（8分）某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． (1)与的函数关系式为________； (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到，即可解得 （2）根据一次函数的性质即可求解 【详解】（1）根据题意得，， 故与的函数关系式为 （2）， 解得：，（舍去）， 故答案为：40元 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键 20．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2)剪去的小正方形的边长为 【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，矩形性质理解，正方形性质理解等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键． （1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长为（），宽为，高为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设剪去的小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为，根据礼盒的侧面的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为， 则礼盒底面的长为（），宽为，高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ， ∴（）， 即该长方体礼品盒的体积为， 故答案为：； （2）设小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 21．（10分）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 3．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 4．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．如图，英德市滨江公园某个矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下面所列方程错误的是 （  ） A． B． C． D． 8．设，分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 9．如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．一元二次方程的实数根是 ． 12．一元二次方程的两根分别是，，则 ． 13．把一元二次方程化成一般形式为 ． 14．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 16．（8分）在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 17．（8分）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 18．（8分）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 19．（8分）某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． (1)与的函数关系式为________； (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 20．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 21．（10分）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，当为何值时，的面积等于？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $