课下巩固检测练(20) 等差数列、等比数列（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(二十)]　等差数列、等比数列 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分) 一、单选题 1.(2025·北京通州一模)已知等差数列满足a5－2a3＝1，且a2＝0，则a2 025＝(　　 ) A.2 026 B.2 025 C.2 024 D.2 023 解析：选D.设公差为d，由a5－2a3＝1，a2＝0，得 解得所以an＝n－2，所以a2 025＝2 023. 2.(2025·黑龙江大庆三模)在等差数列中，若a6＋a8＋a10＝36，则S15＝(　　 ) A.270 B.225 C.180 D.135 解析：选C.因为数列是等差数列，所以a6＋a8＋a10＝3a8＝36，a8＝12，则S15＝＝15a8＝180. 3.(2025·安徽安庆二模)已知等比数列的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4＝(　　 ) A.33 B.31 C.17 D.15 解析：选D.因为等比数列的前n项和为Sn，设其公比为q， 由已知a2a5＝a3a4，故a3a4＝2a4，所以a3＝2，a3＋2a6＝2×，则a6＝， 故q＝＝，所以a1＝＝8，故S4＝＝＝15. 4.(2025·山东菏泽二模)已知Sn为等比数列前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　 ) A.5 B.3 C.－3 D.－5 解析：选A.由等比数列公式可得a1q3＝4a1q2－4a1q⇒q2＝4q－4⇒q＝2，所以＝＝＝5. 5.(2025·吉林长春二模)已知等差数列的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(　　 ) A.0 B.3 C.6 D.12 解析：选A.因为是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列， 则6＋S12－6＝S6－6＋6－S6，则S12＝0. 二、多选题 6.(2025·广东茂名二模)等差数列中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2.记数列前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　 ) A.数列的公差为2 B.Sn取最小值时，n＝6 C.S4＝S7 D.数列的前10项和为50 解析：选AD.对A，设等差数列的公差为d，则由题意知解得故A正确； 对B，an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝－25，则当n＝5时，Sn取最小值－25，故B错误； 对C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误； 对D，数列的前10项和为＋＋＋＋＋1＋3＋5＋7＋9＝50，故D正确. 7.(2025·辽宁沈阳二模)已知数列满足an＋1＋an＝f，则下列说法中正确的是(　　 ) A.若a1＝2，f＝2n，则是等差数列 B.若a1＝1，f＝2n＋1，则是等差数列 C.若a1＝2，f＝4，则是等比数列 D.若a1＝1，f＝3×2n－1，则是等比数列 解析：选BCD.对于A，当an+1＋an＝f＝2n时，若a1＝2，则a2＝0，a3＝4，a4＝2，a5＝6，…，所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当an+1＋an＝f＝2n＋1时，＝－，因为a1－1＝0，所以an－n＝0，即an＝n，因为an+1－an＝n＋1－n＝1，所以数列是等差数列，故B正确； 对于C，当an+1＋an＝f＝4时，有＝－，因为a1－2＝0，所以an－2＝0，即an＝2，所以是等比数列，故C正确； 对于D，当an+1＋an＝f＝3×2n－1时，有＝－，因为a1－20＝0，所以an－2n－1＝0，即an＝2n－1，因为＝＝2，所以是等比数列，故D正确. 三、填空题 8.(2025·河北秦皇岛二模)已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则a1＝　　　　. 解析：由题设 可得 若的公比为q，则a2＋a4＋a6＝(a1＋a3＋a5)q⇒q＝2， 所以a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝21a1＝42，则a1＝2. 答案：2 9.(2025·山东青岛二模)记等差数列的前n项和为Sn，且an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝，则Sn＝　　　　. 解析：由an＝Sn－Sn－1代入已知可得Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0⇒－＋2＝0⇒－＝2，n≥2， 可得是公差为2的等差数列，因为a1＝，所以＝2， 即＝2＋(n－1)·2＝2n，所以Sn＝. 答案： 四、解答题 10.(2025·内蒙古赤峰一模)已知数列{an}中，an＋1＝2an－. (1)若a1，a2，a3依次成等差数列，求a1； (2)若a1＝，证明数列为等比数列，并求数列的前n项和Sn. 解：(1)a2＝2a1－，a3＝2a2－＝4a1－，又a1，a2，a3依次成等差数列，所以2a2＝a1＋a3， 即2＝a1＋4a1－，解得a1＝. (2)因为an+1－＝2an－－＝2an－＝2an－＝2，且a1－＝1， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 可得an－＝2n－1，则an＝2n－1＋， Sn＝＋(＋＋…＋)＝＋＝2n－－. 11.已知数列的各项均为正数，a1＝3，且对任意的正整数n都有＝成立. (1)证明：数列是等差数列； (2)设bn＝，是否存在正整数t，m，使得b1，b2，bm成等比数列？若存在，求出满足要求的t和m的所有值；若不存在，请说明理由. 解：(1)由＝，得－＝3， 又数列的各项均为正数，则an+1＋an≠0，所以an+1－an＝3， 又a1＝3，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列. (2)由(1)得an＝3n，于是bn＝， 假设存在正整数t，m，使得b1，b2，bm成等比数列，则b1bm＝， 即×＝，即＝，整理得m＝4＋， 因为t，m均为正整数且m＞2，所以m＝4＋的正整数解为 或或或或或 所以存在正整数t，m，使得b1，b2，bm成等比数列. [创新题] 12.若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”.已知集合M＝{x｜｜x｜≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为(　　 ) A.25 B.50 C.75 D.100 解析：选B.由三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝， 得消去x2，并整理得，(2x1＋x3)(x1－x3)＝0， 所以x1＝x3(舍去)，x3＝－2x1，则有x2＝－x1， 在集合M＝中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以x1必为2的倍数，又＜＜，x1，x2，x3∈M， 所以≤100，则≤50，即x1∈[－50，50]，x1≠0，x1∈Z， 故这样的数组共50组. 13.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足a1＝a2＝1，an＝an-1＋an－2(n≥3，n∈N*).给出下列四个结论： ①存在m∈N*，使得am，am+1，am+2成等差数列； ②存在m∈N*，使得am，am+1，am+2成等比数列； ③存在常数t，使得对任意n∈N*，都有an，tan+2，an+4成等差数列； ④不存在正整数i1，i2，…，im，且i1＜i2＜…＜im，使得＋＋…＋＝2 023. 其中所有正确结论的序号是　　　　. 解析：对于①，由题意得a2＝1，a3＝2，a4＝3，故a2，a3，a4成等差数列，故①正确； 对于②，由递推公式可知am，am＋1，am＋2中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误； 对于③，an+4＝an+3＋an+2＝2an+2＋an+1＝3an+2－an， 故当t＝时，对任意n∈N*，an，an+2，an+4成等差数列，故③正确； 对于④，依次写出数列中的项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，可得2 023＝1 597＋377＋34＋13＋2，故④不正确. 答案：①③ 学科网（北京）股份有限公司 $