课下巩固检测练(19) 平面向量、解三角形的创新问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(十九)]　平面向量、解三角形的创新问题 (单选题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分) 1.定义向量一种运算“ⓧ”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令aⓧb＝mq－np，下面错误的是(　　 ) A.若a与b共线，则aⓧb＝0 B.(aⓧb)2＋(a·b)2＝｜a｜2·｜b｜2 C.对任意的λ∈R，有(λa)ⓧb＝λ(aⓧb) D.aⓧb＝bⓧa 解析：选D.对于A，因为若a与b共线，则mq＝np，所以aⓧb＝mq－np＝0，故A正确； 对于B，aⓧb＝mq－np，a·b＝mp＋nq， (aⓧb)2＋(a·b)2＝＋(mp＋nq)2＝＋－2mnqp＋＋＋2mnqp＝m2＋n2＝(m2＋n2)(q2＋p2)＝b｜2，故B正确； 对于C，因为(λa)ⓧb＝λmq－λnp＝λ(aⓧb)，故C正确； 对于D，因为aⓧb＝mq－np，bⓧa＝pn－qm，不相等，故D错误. 2.对任意两个非零的平面向量α和β，定义α􀳱β＝.若平面向量a、b满足≥＞0，a与b的夹角θ∈，且a􀳱b和b􀳱a都在集合中，则a􀳱b＋b􀳱a＝(　　 ) A. B.2 C. D.3 解析：选B.首先观察集合＝{…，－1，－，0，，1，，2，…}，从而分析a􀳱b和b􀳱a的范围如下： 因为θ∈，所以＜cos θ＜1，而b􀳱a＝＝cos θ，且≥＞0，可得0＜cos θ＜1， 又因为b􀳱a∈，所以cos θ＝，从而＝，所以a􀳱b＝＝cos θ＝2cos2θ， 又因为＜cos2θ＜1，所以1＜a􀳱b＜2.且a􀳱b也在集合中，故有a􀳱b＝， 因此a􀳱b＋b􀳱a＝＋＝2. 3.(多选)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中相异的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　 ) A.A，B，C，D四点共线 B.D可能是线段AB的中点 C.C，D可能同时在线段AB上 D.C，D不可能同时在线段AB的延长线上 解析：选AD.∵＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)， ∴A1A3∥A1A2，A1A4∥A1A2，∴A1，A2，A3，A4四点共线， ∵平面上的点C，D调和分割点A，B，∴A，B，C，D四点共线，故A正确； 由题意可设A，B，C，D，则＝λ，＝μ，∴λ＝c，μ＝d，∵＋＝2，∴＋＝2. 对于B，若D是线段AB的中点，则d＝，代入到＋＝2，c不存在，故B错误； 对于C，若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入到＋＝2，可得c＝d＝1，此时C，D重合，与题意不符，故C错误； 对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则c＞1，d＞1，所以＋＜2，与＋＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确. 4.三角形的布洛卡点是德国数学家、数学教育学家克雷尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一点P满足条件∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ. (1)若θ＝30°.求证： ①a2＋b2＋c2＝4S△ABC(S△ABC为△ABC的面积)； ②△ABC为等边三角形. (2)若A＝2θ，求证：sin2A＝sin Bsin C. 解：(1)证明：①若θ＝30°， 则S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝c·APsin θ＋a·BPsin θ＋b·CPsin θ＝sin θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)＝(c·AP＋a·BP＋b·CP)， 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝4S△ABC， 在△PAB，△PBC，△PAC中，分别由余弦定理得： BP2＝c2＋AP2－2c·APcos θ， CP2＝a2＋BP2－2a·BPcos θ， AP2＝b2＋CP2－2b·CPcos θ， 三式相加整理得2cos θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)＝a2＋b2＋c2， 即×4S△ABC＝a2＋b2＋c2，所以a2＋b2＋c2＝4S△ABC. ②由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 则a2＋b2＋c2－4S△ABC＝2b2＋2c2－2bccos A－4S△ABC＝2b2＋2c2－2bccos A－2bcsin A＝2b2＋2c2－4bcsin(A＋)≥4bc－4bc＝0， 当且仅当b＝c且sin＝1时取等号， 有A∈，所以A＋∈，所以A＋＝ ，所以A＝， 即当且仅当b＝c且A＝时取等号， 即当且仅当△ABC为等边三角形时取等号， 所以a2＋b2＋c2≥4S△ABC，当且仅当△ABC为等边三角形时取等号， 又由①知a2＋b2＋c2＝4S△ABC，所以△ABC为等边三角形. (2)由(1)得S△ABC＝sin θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)， 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝， 又因为a2＋b2＋c2＝2cos θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)， 所以a2＋b2＋c2＝2cos θ·＝2cos θ·＝4bccos2θ， 又由余弦定理可得b2＋c2＝a2＋2bccos 2θ＝a2＋2bc， 所以2a2＋2bc＝4bccos2θ， 所以a2＝bc，所以a2＝bc， 由正弦定理可得sin2A＝sin Bsin C. 学科网（北京）股份有限公司 $