课下巩固检测练(18) 极化恒等式、等和线、奔驰定理（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(十八)]　极化恒等式、等和线、奔驰定理 (每题5分) 1.已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°，若点E为线段CD的中点，则·＝(　　 ) A. B. C.－ D.－ 解析：选C.设F是AB的中点，则EF＝1，根据极化恒等式·＝－·＝－＝－1＝－. 2.在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·＝4，则点P的轨迹为(　　 ) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆 解析：选D.设M，N的中点A，由极化恒等式可得·＝－＝4，因为M，N是两个定点，从而为定值，所以点P的轨迹为圆. 3.设O点在△ABC内部，且有3＋2＋＝0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为(　　 ) A.2 B. C. D.3 解析：选A.根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为＝2. 4.已知O为正△ABC内的一点，且满足＋λ＋＝0，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为(　　 ) A. B. C.2 D.3 解析：选C.由奔驰定理得S△OAB∶S△OBC＝∶1＝3，解得λ＝2. 5.如图，已知圆O的半径为2，弦长AB＝2，C为圆O上一动点，则·的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.取AB的中点D，连接CD，OD， 则·＝·(＋)＝·＋·＋＝－1， 又＝＝，所以＝2－，＝2＋，即2－≤≤2＋， 所以＝6－4，(·)max＝6＋4. 故·的取值范围为[6－4，6＋4]. 6.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　 ) A.1 B. C. D. 解析：选B.法一　∵E为线段AO的中点，∴＝＋)＝＝＋＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 法二(等和线法)　如图，AD为，为基底值是1的等和线，过E作AD的平行线， 设λ＋μ＝k，则k＝，由图易知＝. 7.设点O是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是(　　 ) A.若＋＋＝0，则O为△ABC的重心 B.若(＋)·＝(＋)·＝0，则O为△ABC的垂心 C.若(＋)·＝0，·＝，则△ABC为等边三角形 D.若＋2＋3＝0，则△BOC与△ABC的面积之比为S△BOC∶S△ABC＝1∶6 解析：选B.对于A，如图，取AB边中点D，连接AB边上的中线CD，则＋＝2， 又∵＋＋＝0，∴2＋＝0，∴＝2，∴O为△ABC的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取AB边中点D，BC边中点E，连接OD，OE， 则＋＝2，＋＝2，∵·＝·＝0， ∴2·＝2·＝0，∴·＝·＝0， ∴⊥，⊥， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分别是AB，BC边上的垂直平分线， ∴OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心，故选项B错误； 对于C，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴＋＝λ(λ＞0)， ∴·＝λ·＝0(λ＞0)， ∴⊥，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，△ABC为等腰三角形， 又∵·＝＝cos B＝，且B∈，∴B＝， ∴△ABC为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设＝2，＝3，由＋2＋3＝0，得＋＋＝0， 则由选项A可知，O为△AB'C'的重心，设△AB'C'的面积S△AB'C'＝a， ∴S△AOC'＝S△AOB'＝S△B'OC'＝a， 又∵OB＝OB'，OC＝OC'， ∴S△AOC＝S△AOC'＝a，S△AOB＝S△AOB'＝a，S△BOC＝S△B'OC'＝a， ∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝a，∴S△BOC∶S△ABC＝a∶a＝1∶6，故选项D正确. 8.如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，·＝4，则·＝　　　　. 解析：取MN中点E(图略)，由向量数量积的极化恒等式， ∴·＝－＝－×4＝－1＝4， ∴＝5，∴·＝－＝5－×36＝－4. 答案：－4 9.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为　　　　. 解析：法一　由题意作图如图. ∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋－)＝－＋＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝.故λ1＋λ2＝. 法二(利用等和线)　如图，过点A作＝，连接DF. 设AF与BC的延长线交于点H，如图，BH为值是1的等和线， 设λ1＋λ2＝k，则k＝，由图易知，＝.因此λ1＋λ2＝. 答案： 10.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是　　　　. 解析：(等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以，为基底k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB， 因为OA＝1，∠AOB＝，所以OE＝，则k＝＝＝2，即x＋y的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $