课下巩固检测练(17) 三角形中的特征线（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(十七)]　三角形中的特征线 (每题10分) 1.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，A＝60°. (1)若2c－b＝2，求sin C； (2)若BC边上的高h＝，求△ABC的周长. 解：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋c2－bc， 联立2c－b＝2，解得c＝－3(舍)或c＝5， 由正弦定理得＝，得＝，解得sin C＝. (2)由题得△ABC的面积S△ABC＝ah＝×7×＝6，∴bcsin A＝bc＝6， ∴bc＝24. 由余弦定理得49＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝73， ∴(b＋c)2＝73＋48＝121，∴b＋c＝11，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝18. 2.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝∶2∶1. (1)求角A的值； (2)若点D为BC的中点，求AD∶BC的值. 解：(1)设c＝1，则a＝，b＝2， 利用余弦定理可得cos A＝＝＝－， 又因为A∈，所以A＝. (2)设c＝1，则a＝，b＝2，因为点D为BC的中点，所以＝， 两边平方可得＝，即4＝＋＋2｜｜｜｜cos A， 所以4＝1＋4＋2×1×2×＝3，可得＝，所以AD∶BC＝. 3.(2025·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝，a＝4. (1)若BC边上的高AD＝2，求证：△ABC为等边三角形； (2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长. 解：(1)证明：在△ABC中，A＝，a＝4， 由余弦定理得b2＋c2－2bccos A＝42，即b2＋c2－bc＝16　①. 又S△ABC＝·｜BC｜·｜AD｜＝·bcsin A，即×4×2＝·bc·，故bc＝16　②. 由①②得(b－c)2＋bc＝16，即(b－c)2＝0，故b＝c＝4＝a. 所以△ABC为等边三角形. (2)在△ABC中，由S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 得bcsin∠BAC＝AM·c·sin∠BAM＋AM·b·sin∠CAM， 又直线AM为∠BAC的平分线，则∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝， 所以bc×＝×c×＋×b×，即bc＝(b＋c)　③， 又由余弦定理可得cos∠BAC＝，即b2＋c2－bc＝16　④， 由③④可知16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－2(b＋c)， 解得b＋c＝4或b＋c＝－2(舍)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋4. 4.(2025·陕西西安一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，D为BC上一动点. (1)若AD平分∠BAC，求证：＝； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当c＝2，b＝1时，求AD的长. 解：(1)证明：设AE⊥BC，垂足为E， 在△ABD中，S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝BD·AE， 在△ACD中，S△ACD＝AC·AD·sin∠CAD＝CD·AE， 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD， 于是有sin∠BAD＝sin∠CAD， 因此有＝，化简得＝. (2)因为D为BC上靠近B的三等分点，所以＝＝， 因为＝＋＝＋＝＋，所以＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $