课下巩固检测练(16) 平面向量的最值与范围问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(十六)]　平面向量的最值与范围问题 (每题5分) 1.已知O为直线AB外一点，且＝x＋y，若A，B，P三点共线，则x2＋y2的最小值为(　　 ) A. B. C.1 D. 解析：选A.因为A，B，P三点共线，所以存在非零实数λ，使得＝λ， 所以－＝λ，所以＝－λ＝x＋y， 所以x＋y＝1，所以1＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)，即x2＋y2≥， 当x＝y＝时等号成立，所以x2＋y2的最小值为. 2.已知非零向量a，b满足⊥，则sin＜a，b＞的最大值为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意，得·＝2－3cos＜a，b＞＋＝0， 因为＞0，＞0，所以cos＜a，b＞＝≥＝，当且仅当＝时取等号， 又由同角的平方和为1，所以sin＜a，b＞≤. 3.已知平面内不共线的三个向量a，b，c两两夹角相等，且a为单位向量，＝2＝4，则的值为(　　 ) A.2 B.6 C.3 D.7 解析：选B.由题意可知，三个向量a，b，c两两的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得a·b＝·cos＝1×4×＝－2， 同理可得a·c＝－1，b·c＝－4， 所以＝＝＝＝6. 4.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足＝λ(0＜λ＜1)，E为AC的中点，则·的取值范围为(　　 ) A. B.[－4，4) C. D.[－2，4] 解析：选A.以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)， 则B(－2，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，)，因为＝λ(0＜λ＜1)，则点D在线段BC(不含端点)上，设D(x，0)，则－2＜x＜2，＝(－2－x，0)，＝(1－x，)， 所以·＝(－2－x)(1－x)＝x2＋x－2＝－(－2＜x＜2)， 所以当x＝－时，·取得最小值为－，当x＝2时，·＝4， 故·的取值范围为. 5.(2025·北京朝阳一模)在△ABC中，CA＝CB＝，AB＝4，点M为△ABC所在平面内一点且·＝0，则·的最小值为(　　 ) A.0 B.－ C.－ D.－ 解析：选C.在三角形ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－，故C为钝角，又·＝0，故M点在三角形ABC底边BC的高线上， 则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如图所示： 又cos∠ACO＝－cos C＝，则sin∠ACO＝， 故OA＝AC×sin∠ACO＝×＝，OC＝AC×cos∠ACO＝×＝； 则A，C，B，设M，m∈R，＝，＝， 故·＝m＝－≥－，当且仅当m＝时取得等号， 也即·的最小值为－. 6.已知向量a，b，c，满足＝4，a与b的夹角为，c·(c－a)＝－3，则｜b－c｜的最小值为(　　 ) A.2＋2 B.－ C.＋1 D.－1 解析：选D.如图，建立平面直角坐标系，设＝b＝，点B在x轴上， 设点A在第一象限，a＝＝，设c＝＝，则C， 则c·(c－a)＝·(x－2，y－2)＝－3，整理得＋＝1， 所以点C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设圆心为D， 又｜b－c｜＝＝， 当直线BC过点D且垂直于x轴时，取得最小值，最小值为－1，即｜b－c｜的最小值为－1. 7.如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，＝2，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点.设＝x(x＞0)，＝y(y＞0)，则＋的最小值为(　　 ) A. B. C.3 D.6 解析：选B.因为M为线段BC的中点，所以＝＋)，又因为＝2，所以＝＝＋)，又＝x(x＞0)，＝y，则＝＋， 而P，G，Q三点共线，所以＋＝1，即x＋y＝3，则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝［4＋＋＋1］≥＝＝， 当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号. 8.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，设C(3，4)，则｜2＋｜的取值范围是(　　 ) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] 解析：选D.因为｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2， 由＝－平方可得，·＝0，所以＜，＞＝. 2＋＝2＋－＝＋－2，＝＝5， 所以＝＋＋4－4· ＝2＋2＋4×25－4·＝104－4(＋)·， 又≤＝5×＝10，即－10≤·≤10， 所以∈，即｜2＋｜∈. 9.(2025·江西南昌二模)已知向量a＝(1，－2)，a·b＝5，则的最小值是　　　　. 解析：设b＝，则a·b＝x－2y＝5，可得x＝2y＋5， 故＝＝＝＝≥， 当且仅当y＝－2时，取最小值为. 答案： 10.设向量＝(1，x)，＝(2，x)，则cos＜，＞的最小值为　　　　. 解析：cos ＜，＞＝，令2＋x2＝t(t≥2)，则x2＝t－2， 所以cos ＜，＞＝＝＝， 当＝，即t＝4，x2＝2时，cos ＜，＞取得最小值，且最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $