课下巩固检测练(14) 解三角形（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(十四)]　解三角形 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分) 一、单选题 1.(2025·陕西渭南二模)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ACB＝，则△ABC的面积为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.AB＝7，BC＝3，∠ACB＝， 由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－， 解得AC＝5，AC＝－8舍去， 则△ABC的面积为AC×BCsin∠ACB＝×5×3×＝. 2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＋bcos＝0，则△ABC为(　　 ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析：选D.由acos A＋bcos＝0，得acos A－bcos B＝0， 由正弦定理得sin Acos A－sin Bcos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B， 因为0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 所以A＝B或A＋B＝.即△ABC是等腰或直角三角形. 3.(2025·河南鹤壁二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan B＋btan A＝－2ctan B，则A＝(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.根据正弦定理，原等式可化为sin B×＋sin B×＝－2sin C×， 进一步化为cos Asin B＋sin Acos B＝－2sin Ccos A，则sin＝－2sin Ccos A， 所以sin C＝－2sin Ccos A，又0＜C＜π，所以sin C≠0，所以cos A＝－， 又因为0＜A＜π，A＝. 4.(2025·河北秦皇岛三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.因为9sin2B＝4sin2A，所以＝，根据正弦定理可得＝，所以b＝. 因为cos C＝－，所以根据余弦定理cos C＝，可得＝－， 化简可得c2＝，所以＝. 因为a，c为△ABC的边，a＞0，c＞0，所以＝. 5.(2025·江西景德镇三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°，夏至正午太阳高度角为θ，表高42 cm，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50 cm，则sin的值为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.如图，tan∠ABC＝tan 36.9°≈，AC＝42，所以BC＝56. 又BD＝50，所以CD＝6，根据勾股定理AD＝30. 在△ABD中，根据正弦定理可知＝， 即＝， 解得sin＝. 二、多选题 6.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，则(　　 ) A.a＝3 B.c＝2 C.cos C＝ D.cos＝ 解析：选ABD.由·＝2得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13. 由得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2，故A、B正确. 在△ABC中，sin B＝＝＝， 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝. 因为a＝b＞c，所以C是锐角， 因此cos C＝＝＝，故C错误. 易知cos＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝，故D正确. 7.(2025·山西临汾三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，则(　　 ) A.A＝，B＝，C＝ B.当b＝2时，△ABC周长的最大值为6 C.当b＝2时，△ABC面积的最大值为 D.当cos A＋2cos Bcos C＝1时，△ABC为等边三角形 解析：选BCD.∵角A，B，C成等差数列， ∴A＋C＝2B，即A＋B＋C＝3B＝π，∴B＝，A，C不确定，故A错； 当b＝2时，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝－3ac， 即4＝－3ac≥－＝， 2＜a＋c≤4，即△ABC周长的最大值为6，故B正确； 当b＝2时，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， ∴ac≤4，∴S△ABC＝acsin B＝ac≤，即△ABC面积的最大值为，故C正确； 当cos A＋2cos Bcos C＝1，cos A＋2cos Bcos C＝－cos(B＋C)＋2cos Bcos C＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＋2cos Bcos C＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝cos＝1， ∴B－C＝2kπ，k∈Z，即B＝2kπ＋C，k∈Z， ∵B，C∈，∴B＝C＝，A＝，即△ABC为等边三角形，故D正确. 三、填空题 8.(2025·浙江绍兴二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝　　　　. 解析：∵bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，由正弦定理可得，b2＋c2－a2＝bc，又由余弦定理可得，cos A＝＝，∵A∈，∴A＝. 答案： 9.为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为　　　　. 解析：∠CAD＝180°－120°－30°＝30°，所以∠CAD＝∠CDA，CA＝CD＝10，∠BCD＝120°－75°＝45°， 在△ACD中，AD＝2AC·cos 30°＝30， 在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝180°－45°－75°＝60°， 由正弦定理得＝，即＝，得BD＝10， 在△ABD中，AB＝＝＝10. 答案：10 四、解答题 10.(2025·浙江温州三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求角C的大小； (2)点D在边BC上，且CD＝2，BD＝AD＝1，求△ABC的周长. 解：(1)由cos C＝c及正弦定理得cos C＝sin C， 所以cos Csin＝sin C，所以cos Csin C＝sin C， 因为sin C＞0，所以cos C＝，C∈，所以C＝. (2)在△ADC中，＝cos C＝，解得b＝， 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋3－2×3×cos＝3，所以c＝， 所以周长为a＋b＋c＝3＋＋＝3＋2. 11.(2025·湖北宜昌二模)如图所示，在△ABC中，sin C＝3sin B，AD平分∠BAC，且AD＝kAC. (1)若DC＝2，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若S△ABC＝，求k为何值时，BC最短. 解：(1)因为sin C＝3sin B，由正弦定理得c＝3b， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD， 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin∠ADB＝sin∠ADC，所以＝， 因为c＝3b，DC＝2，所以＝3，得BD＝6，所以BC＝8. (2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，设∠BAD＝∠CAD＝θ， 所以AB·ACsin 2θ＝AB·ADsin θ＋AC·ADsin θ， 因为c＝3b，AD＝kAC，所以3AC·AC·2sin θcos θ＝3AC·kACsin θ＋AC·kACsin θ， 因为sin θ≠0，所以6cos θ＝4k，所以k＝cos θ， 因为θ∈，所以cos θ∈，所以k∈. (3)由余弦定理得BC2＝c2＋b2－2c·bcos∠BAC＝2b2(5－3cos∠BAC)， 因为S△ABC＝，所以bcsin 2θ＝，因为c＝3b，所以b2＝， 所以BC2＝(5－3cos∠BAC)＝2·， 方法一：令y＝，则ysin∠BAC＋3cos∠BAC＝5， 所以sin(∠BAC＋φ)＝5(其中tan φ＝)， 所以当sin(∠BAC＋φ)＝1时，y取得最小值4， 即当∠BAC＋φ＝时，y取得最小值4，此时tan φ＝， 所以cos∠BAC＝cos＝sin φ＝， 因为cos∠BAC＝2cos2θ－1，所以2cos2θ－1＝，所以cos θ＝， 由(2)知k＝cos θ，所以k＝×＝，即当k＝时，BC最短. 方法二：BC2＝2·＝＝＝＝＝＝8tan θ＋≥8， 当且仅当8tan θ＝，即tan θ＝时，故此时cos θ＝，即k＝. [创新题] 12.“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足c＝4 cm.若S△ABC＝8 cm2，且a＞c，则(　　 ) A.sin C＝ B.△ABC周长为12＋4 cm C.△ABC周长为15＋4 cm D.圆形木板的半径为2 cm 解析：选B.对于D：由题意可得圆形木板的直径2R＝＝5 cm，即半径R＝ cm，故D错误； 对于A：由正弦定理＝2R，可得sin C＝＝＝，故A错误； 对于B、C：由题意可得S△ABC＝absin C＝×ab×＝8，解得ab＝20， 因为a＞c，则A＞C，可知C为锐角，可得cos C＝＝， 余弦定理cos C＝＝，即＝， 解得a＋b＝12，所以△ABC周长为12＋4 cm，故B正确，C错误. 学科网（北京）股份有限公司 $