课下巩固检测练(11) 极值点偏移（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(十一)]　极值点偏移 (每题10分) 1.已知函数f(x)＝ln x－ax有两个零点. (1)求a的取值范围； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：a＞2. 解：(1)f(x)的定义域为，f'(x)＝－a， 当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在上单调递增，f(x)至多一个零点，不符合题意，舍去； 当a＞0时，令f'(x)＞0得0＜x＜，所以f(x)在上单调递增， 当x＞，f'(x)＜0，此时f(x)在上单调递减， 所以f(x)的极大值也是最大值f＝ln－1＞0，∴0＜a＜. 又x＜1时，f(x)＜0；x趋向于＋∞时，f(x)趋向于－∞. 所以f(x)有两个零点，a的取值范围为. (2)不妨设x1＜x2，由f＝f，则0＜x1＜＜x2. 构造函数F(x)＝f(x)－f(0＜x＜)， F'＝f'(x)＋f'＝＋＝＋－2a＝， 因为0＜x＜，所以2－ax＞0，即F'＞0，所以F(x)在上单调递增， 又F＝0，所以F(x)＝f(x)－f＜F＝0， 则f(x)＜f，故f＜f. 又f＝f，所以f＜f. 而x2，－x1∈，f(x)在上单调递减， 所以x2＞－x1，即x1＋x2＞，所以a＞2. 2.已知函数h＝ln x和g(x)＝ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，使得h＝g，h＝g，证明：x1x2＞e2. 证明：方法一(利用参数a作为媒介，换元后构造新函数)：因为x1≠x2，不妨设x1＞x2， 因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以ln x1＋ln x2＝a，ln x1－ln x2＝a，所以＝a， 欲证x1x2＞e2，即证ln x1＋ln x2＞2. 因为ln x1＋ln x2＝a，所以即证a＞， 所以即证＞，即证ln＞. 令t＝，则t＞1，x1x2＞e2等价于ln t－＞0， 构造函数g＝ln t－，t＞1， 因为g'＝＞0，所以g在上单调递增， 故g＞ln 1－＝0，即ln t－＞0，所以x1x2＞e2. 方法二(直接换元构造新函数)：a＝＝，即＝，设x1＜x2，t＝，则t＞1， 则x2＝tx1，＝t，可得ln x1＝，ln x2＝ln tx1＝ln t＋ln x1＝ln t＋＝， 由于x1x2＞e2⇔ln x1＋ln x2＞2⇔＋＝ln t＞2⇔ln t－＞0， 构造函数g＝ln t－，t＞1， 因为g'＝＞0，所以g在上单调递增， 故g＞ln 1－＝0，即ln t－＞0， 所以x1x2＞e2. 学科网（北京）股份有限公司 $