课下巩固检测练(8) 函数的公切线问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(八)]　函数的公切线问题 (每题5分) 1.若直线l是曲线y＝ex－1与y＝ex－1的公切线，则直线l的方程为(　　 ) A.y＝x－1 B.y＝x C.y＝x＋1 D.y＝ex 解析：选B.由y＝ex－1，得y'＝ex－1，由y＝ex－1，得y'＝ex. 设直线l与曲线y＝ex－1切于点(x1，)，与曲线y＝ex－1切于点(x2，－1)， 则＝①，又＝②， 由方程①②解得x1＝1，x2＝0，所以直线l过点，斜率为1，即l的方程为y＝x. 2.直线l：y＝kx＋b是曲线y＝ln x和y＝ex－2的公切线，则k＋b＝(　　 ) A.－ B.0 C.0或 D. 解析：选C.对于y＝ln x，设切点为，求导得y'＝， 则在该点处的斜率为k＝，则切线方程为：y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1， 对于y＝ex－2，设切点为，求导得y'＝ex－2， 则在该点处的斜率为k＝， 则切线方程为y－＝，即y＝x＋， 因为l：y＝kx＋b是公切线， 所以即x1＝， 所以ln －1＝，即1－x2＝，所以(1－x2)(－1)＝0， 即1－x2＝0或x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝2， 当x2＝1时，此时k＝＝，b＝＝0， 所以k＋b＝， 当x2＝2时，此时k＝＝1，b＝＝－1， 所以k＋b＝0， 所以k＋b＝0或. 3.已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点，，f'(x)＝2x－4，g'＝－x－2，g'＝f'＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数f(x)＝8x3－8x2＋1，f'(x)＝8x，原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值f＞0，极小值f＜0， 故函数图象和x轴有交3个点，方程8n3－8n2＋1＝0有三解，故切线有3条. 4.已知函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则与曲线y＝f(x)和y＝x2＋均相切的直线l有(　　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：选C.函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则有f＝－f(x)， 即－＋a＝－，解得a＝0，所以f(x)＝x3－x， 由f'(x)＝3x2－1，所以y＝f(x)在点处的切线方程为y－＝，整理得y＝x－2. 设g(x)＝x2＋，直线l与g(x)的图象相切于点， 因为g'＝2x， 所以切线方程为y－＝2x2，整理得y＝2x2x－＋，则(*) 整理得－2－＝－2－＝＝0， 当9－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6＞0，方程有两个非零实数根， x1＝0也满足方程，故x1有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 5.若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a＞0)存在公共切线，则实数a的取值范围为(　　 ) A.(0，1) B. C. D. 解析：选D.由y＝x2得y'＝2x，曲线y＝x2在点处的切线斜率为2m， 由y＝(a＞0)得y'＝在点处的切线斜率为en， 如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝en. 又由斜率公式可得2m＝，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝en有解， 所以直线y＝4x－4与函数y＝ex的图象有交点即可. 当直线y＝4x－4与函数y＝ex的图象相切时， 设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，得s＝2，t＝4，即有切点(2，4)，此时a＝， 故实数a的取值范围是. 6.已知曲线y＝在点(x0，)(0＜x0＜)处的切线也与曲线y＝ex相切，则x0所在的区间是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.设该切线为l，对y＝求导得y'＝， 所以l的方程为y－＝，即y＝x＋. 设l与曲线y＝ex相切的切点为， 则l的方程又可以写为y－em＝em，即y＝emx＋em. 所以em＝，＝em. 消去m，可得x0＝1＋ln(2)，0＜x0＜， 令t＝2∈，则ln t－＋1＝0. 设h＝ln t－＋1， 当0＜t＜1时，h'＝－＞0， 所以h在上单调递增， 又h＝－＜0，h＝－＞0， 所以t0＝2∈，所以x0∈. 7.若直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，与曲线y＝也相切，切点为N，则2x1－x2的值为(　　 ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：选B.因为直线l与曲线y＝ex相切，切点为M， 可知直线l的方程为y＝＋＝x＋(1－x1)， 又直线l与曲线y＝也相切，切点为N， 可知直线l的方程为y＝2＋＝2x－＋9， 所以两式相除，可得2＝3－x2，所以2x1－x2＝－1. 8.已知曲线y＝x3－x＋2的切线与曲线y＝ln(x＋1)－a也相切，若该切线过原点，则a＝　　　　. 解析：因为y＝x3－x＋2的导数为y'＝3x2－1，设切点为， 所以切线斜率为k＝3－1， 所以曲线y＝x3－x＋2在(x1，－x1＋2)处的切线过原点，所以k＝3－1＝，即x1＝1，所以k＝2，切线为y＝2x， 又切线y＝2x与曲线y＝ln(x＋1)－a相切，设切点为， 因为y'＝，所以切线斜率为k＝＝2，解得x0＝－， 所以y0＝2x0＝－1，则－1＝ln(－＋1)－a，解得a＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 9.已知曲线C1：y＝ex+a-2，C2：y＝x2，若有且仅有一条直线l同时与C1，C2都相切，则a＝　　　　. 解析：设直线l与曲线C1相切于点. 因为'＝ex+a-2，所以直线l的斜率为. 所以直线l的方程为y－＝. 联立y＝x2，整理得x2－x－＝0， 所以Δ＝＋4＝0. 所以－4x0＋4＝0有唯一解. 设f(x)＝ex+a-2－4x＋4，则f(x)有唯一零点. 又f'(x)＝ex+a-2－4单调递增， 令f'(x)＝0，得x＝ln 4＋2－a， x∈，f'(x)＜0，f(x)单调递减；x∈，f'(x)＞0，f(x)单调递增； f(x)在x＝ln 4＋2－a处取得唯一极小值， 则f＝4－4＋4＝0，解得a＝ln 4. 答案：ln 4 10.试写出曲线y＝2ex与曲线y＝2ln(x＋2)的一条公切线方程　　　　. 解析：设公切线l与曲线y＝2ex切于点A， 与曲线y＝2ln切于点B(x2，2ln(x2＋2)). 由y＝2ex，得y'＝2ex. 由y＝2ln，得y'＝. 令2＝，即＝，则x2＋2＝，且＝2， 即2ln－2＝2， 化为ln －＝， 所以＝0，解得x1＝－1或x1＝0. 当x1＝－1时，k＝，A， 此时切线l的方程为y－＝，即y＝x＋. 当x1＝0时，k＝2，A， 此时切线l的方程为y－2＝2，即y＝2x＋2. 综上可知，切线l的方程为y＝x＋或y＝2x＋2，写出任意一个即可. 答案：y＝x＋或y＝2x＋2(写出一个即可) 学科网（北京）股份有限公司 $