课下巩固检测练(5) 不等式的证明（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(五)]　不等式的证明 (每题10分) 1.(2025·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝axln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝1，求证：f(x)＞－5x2＋2x－. 解：(1)由题意知f'(x)＝a， 当a＞0时，令f'(x)＞0，解得x＞，令f'(x)＜0，解得0＜x＜， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增； 当a＜0时，令f'(x)＞0，解得0＜x＜，令f'(x)＜0，解得x＞， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)证明：若a＝1，f(x)＝xln x， 所以f'(x)＝1＋ln x，所以当x∈时，f'(x)＜0，当x∈时，f'(x)＞0， 所以f(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的最小值为f＝－. 设函数h＝－5x2＋2x－＝－5(x－)2－， 所以h在上的最大值为h＝－＜－. 故f(x)＞－5x2＋2x－. 2.(2025·云南昆明一模)已知函数f(x)＝x－－aln x. (1)若f(x)在点处的切线与曲线y＝x2＋2x－3相切，求a； (2)若b，c是f(x)的两个极值点，设B(b，f(b))，C，直线BC的斜率为k，证明：a＋k＞2. 解：(1)由题意知，f(x)的定义域为，f'(x)＝1＋－， 所以f'＝2－a， 故在点处的切线方程为y＝， 联立可得x2＋ax－a－1＝0， 由Δ＝a2＋4a＋4＝0，解得a＝－2. (2)由题意知，f'(x)＝1＋－＝，b，c∈且f'＝f'＝0， 所以b＋c＝a＞0，bc＝1，Δ＝a2－4＞0， 所以a＞2， 不妨设b＞c，则b＞1，则直线BC的斜率k＝＝2－， 故要证a＋k＞2，即证a＋2－＞2，即证b－－2ln b＞0， 设函数g＝b－－2ln b，b＞1， 则g'＝1＋－＝＞0， 所以g在单调递增， 又b＞1，故g＞g＝0，即b－－2ln b＞0成立， 所以a＋k＞2. 3.(2025·辽宁锦州二模)已知f(x)＝aex＋sin x＋b. (1)若f(x)在上单调递增，求a的取值范围； (2)若f(x)的图象在处的切线为y＝2x，求a与b的值，并证明x＞0时，f(x)＞ln x. 解：(1)若f(x)在上单调递增，则f'(x)＝aex＋cos x＝ex≥0对x∈恒成立， 设g(x)＝a＋， 则g'＝＜0在上恒成立， 所以g(x)在上单调递减， 所以只需g≥0，即a≥0， 所以a的取值范围是. (2)因为f＝a＋b，f'＝a＋1， 所以f(x)在处切线方程为y＝x＋a＋b， 根据题意，该切线为y＝2x，所以解得a＝1，b＝－1， 所以f(x)＝ex＋sin x－1， 因为sin x≥－1，所以f(x)≥ex－2， 下面证明：ex－2＞ln x， 方法一：先证ex－2＞x－1，即ex－x－1＞0， 令g(x)＝ex－x－1， 则g'＝ex－1＞0， 所以g(x)在是增函数， 所以g(x)＞g＝0，即ex－2＞x－1，① 再证x－1≥ln x，即x－1－ln x≥0， 令φ＝x－1－ln x， 则φ'＝1－＝， 当0＜x＜1时，φ'＜0，当x＞1时，φ'＞0， 所以φ在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 所以φ＝φ＝0，即x－1－ln x≥0， 所以x－1≥ln x，② 由①②得ex－2＞ln x， 综上，f(x)＞ln x在上成立. 方法二：设F(x)＝ex－2－ln x，则F'＝ex－， 因为y＝ex，y＝－两个函数均在上单调递增，所以F'在上单调递增， 因为F'＝－2＜0，F'＝e－1＞0， 所以∃x0∈使F'＝－＝0，所以＝，即x0＝－ln x0， 当x∈时，F'＜0，x∈时，F'＞0， 所以F(x)在单调递减，在单调递增， 所以F(x)≥F＝－2－ln x0＝x0＋－2≥2－2＝2－2＝0， 当且仅当x0＝1时等号成立， 因为x0≠1，所以F(x)＞0，即ex－2＞ln x，所以f(x)＞ln x在上成立. 4.(2025·山东青岛一模)已知函数f(x)＝ax－sin x，x∈. (1)当a＝时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：M－m＜2. 解：(1)当a＝时，f(x)＝x－sin x，x∈， 则f'(x)＝－cos x， 当－≤x≤－或≤x≤时，f'(x)≥0；当－＜x＜时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)在上单调递减，在和上单调递增. (2)由f(x)＝ax－sin x，x∈，得f'(x)＝a－cos x， 因为函数f(x)有两个极值点， 所以方程f'(x)＝a－cos x＝0有两个不相等的实根，设为x1，x2且x1＜x2， 因为函数y＝cos x在x∈时的图象关于y轴对称， 所以x1＋x2＝0，即cos x1＝cos x2＝a∈， 当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增， 所以x1，x2分别是函数的极大值点和极小值点， 即M＝f(x1)＝ax1－sin x1，m＝f(x2)＝ax2－sin x2， 又x1＋x2＝0，即x2＝－x1， 则M－m＝ax1－sin x1－＝2， 又cos x1＝a∈， 则M－m＝2， 设h＝2，－＜x1＜0， 则h'＝－2x1sin x1＜0，即函数h在上单调递减， 所以h＜h＝2，即M－m＜2. 学科网（北京）股份有限公司 $