课下巩固检测练(4) 函数的极值与最值（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(四)]　函数的极值与最值 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分) 一、单选题 1.已知函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么对于函数y＝f(x)，下列说法正确的是(　　 ) A.在上单调递增 B.在上单调递减 C.在x＝1处取得最大值 D.在x＝2处取得极大值 解析：选D.由导函数图象可知，当x＜－1或x＞2时，f'(x)＜0，当－1＜x＜2时，f'(x)≥0，所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增，故选项A，B错误； 在x＝2处取得极大值，且f＜f，故C错误，D正确. 2.已知函数f(x)＝ex－ex，则f(x)(　　 ) A.有最小值1，无最大值 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值0，无最大值 D.有最大值0，无最小值 解析：选C.因为f(x)＝ex－ex，所以f'(x)＝ex－e. 当x∈时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增， 故f(x)的最小值为f＝0，无最大值. 3.(2025·广东汕头一模)设a∈R，若函数f(x)＝x3－x2＋x＋2在内存在极值点，则a的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.依题意，f'(x)＝2x2－ax＋1在内存在变号零点，即方程2x2－ax＋1＝0在(1，2)内有解，也就是a＝2x＋在(1，2)内有解.令g(x)＝2x＋，对g(x)求导得g'(x)＝2－＞0在(1，2)内恒成立，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(1)＝3，g(2)＝，所以a的取值范围是(3，). 4.(2025·河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为6，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为(　　 ) A.3 B. C. D. 解析：选B.设正三棱柱的底面边长为a，高为h， 则其表面积S＝2×a2＋3ah＝6，得h＝，又h＞0，所以0＜a＜2， 故正三棱柱的体积V＝a2h＝， 则V'＝－a2，当0＜a＜2时，V'＞0，V单调递增， 当2＜a＜2时，V'＜0，V单调递减， 所以当a＝2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为. 5.(2025·陕西榆林二模)已知正实数a，b满足a－2ln a＝2ln b－4b＋4，则logab＝(　　 ) A. B. C.－1 D.－ 解析：选C.由a－2ln a＝2ln b－4b＋4，得＋2b－2＝ln a＋ln b＝ln. 因为a，b均为正实数，所以＋2b≥2(当且仅当＝2b，即a＝4b时取等号)， 所以ln≥2－2，即ln ≥－1. 令f(x)＝ln x－x＋1，则f'(x)＝， 当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 故当x＝1时，f(x)max＝ln 1－1＋1＝0，即f(x)＝ln x－x＋1≤0(当且仅当x＝1时取等号)， 因此ln －＋1≤0，即ln ≤－1. 由ln ≥－1和ln ≤－1可得ln ＝－1， 则有解得所以logab＝log2＝－1. 二、多选题 6.(2025·浙江杭州二模)设函数f(x)＝(x3－x)ln x，则(　　 ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)≥0 C.f(x)在区间上单调递增 D.x＝1为f(x)的极小值点 解析：选BD.对于A，f(x)的定义域为，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，由于f(x)＝ln x＝x(x＋1)(x－1)ln x，且x＞0，故x＋1＞0， 当x＞1时，ln x＞0，此时f(x)＞0，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时f(x)＞0，当x＝1时，f(x)＝0，因此f(x)≥0，故B正确； 对于C，f'(x)＝ln x＋x2－1，当x∈(，1)时，3x2－1＞0，ln x＜0，x2－1＜0，此时f'(x)＜0，因此f(x)在(，1)单调递减，故C错误. 对于D，f'(x)＝ln x＋x2－1，当x＞1时，3x2－1＞0，ln x＞0，x2－1＞0，故f'(x)＞0，当x∈(，1)时，3x2－1＞0，ln x＜0，x2－1＜0，此时f'(x)＜0，因此f(x)在单调递减，在单调递增，x＝1为f(x)的极小值点，故D正确. 7.(2025·山东济宁二模)已知函数f(x)＝cos x－sin－1，则下列结论正确的是(　　 ) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.2π是f(x)的一个周期 C.f(x)在上为增函数 D.f(x)＜－ 解析：选ABD.对于A，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f＝cos－sin－1＝cos x－sin－1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确； 对于B，f＝cos－sin(cos(x＋2π))－1＝cos x－sin－1＝f(x)，所以f(x)的一个周期是2π，故B正确； 对于D，因为－1≤cos x≤1，令t＝cos x，则y＝t－sin t－1，求导得y'＝1－cos t，由于cos t∈，所以y'＝1－cos t≥0，y＝t－sin t－1单调递增.当t＝1时，y取得最大值1－sin 1－1＝－sin 1；当t＝－1时，y取得最小值－1－sin－1＝sin 1－2.因为sin 1＞sin＝，所以－sin 1＜－sin＝－，即f(x)＜－，故D正确； 对于C，令t＝cos x，当x∈时，t＝cos x在上单调递减，又y＝t－sin t－1单调递增，根据复合函数单调性，所以f(x)＝cos x－sin－1在上单调递减，故C错误. 三、填空题 8.(2025·陕西安康三模)函数f(x)＝x2(ln x－1)的最小值为　　　　. 解析：f'(x)＝2x＋x＝x，x＞0， 令f'(x)＝0，得x＝， 当0＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 当x＞时，f'(x)＞0，f(x)单调递增， 所以当x＝时，函数f(x)取得最小值－. 答案：－ 9.(2025·天津河东二模)设函数f(x)＝x＋ln x，g(x)＝x＋ex，若存在x1，x2，使得g(x1)＝f(x2)，则｜x1－x2｜的最小值为　　　　. 解析：因为g(x)＝x＋ex，所以g'(x)＝1＋ex＞0恒成立， 所以g(x)＝x＋ex在R上单调递增， 又因为f(x)＝x＋ln x＝eln x＋ln x＝g，且存在x1，x2，使得g(x1)＝f(x2)＝g，所以x1＝ln x2， 所以＝， 令h＝ln x－x＋1，则h'＝－1＝， 当0＜x＜1时，h'＞0，h单调递增； 当x＞1时，h'＜0，h单调递减， 所以h≤h＝0，所以ln x≤x－1，即x－ln x≥1，当x＝1时取等号. 所以＝＝＝x2－ln x2≥1(当x2＝1时取等号，此时x1＝0，g＝f＝1满足题意)，所以｜x1－x2｜的最小值为1. 答案：1 四、解答题 10.(2025·甘肃白银二模)已知函数f(x)＝aln x＋x2－4x，函数f(x)的导函数为f'(x). (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)的斜率为－1的切线方程； (2)若函数g(x)＝f(x)＋f'(x)的极小值大于0，求a的取值范围. 解：(1)当a＝1时，f'(x)＝＋2x－4， 令f'(x)＝－1， 化简得2x2－3x＋1＝0，解得x＝1或x＝. 当切点为时，所求切线方程为y－f＝－，即x＋y＋2＝0； 当切点为时，所求切线方程为y－f＝－，即x＋y＋＋ln 2＝0. (2)f'(x)＝＋2x－4，g(x)＝f(x)＋f'(x)＝aln x＋x2－2x＋－4， g'＝＋2x－2－＝， 因为a＞0，所以2x2＋a＞0，当0＜x＜1时，g'＜0，g(x)单调递减； 当x＞1时，g'＞0，g(x)单调递增.因此，当x＝1时，g(x)有极小值. 由题意，g＝－1＋a－4＞0⇒a＞5，则a＞5. 11.(2025·云南红河三模)已知函数f(x)＝＋1. (1)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值； (3)设t＞0，求函数f(x)在区间上的最大值. 解：(1)函数f(x)的定义域为， 由f'(x)＝，则切线的斜率k＝f'＝2， 又f＝1，故切点为， 所以切线的方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0. (2)因为f'(x)＝，则f'(x)＞0，得0＜x＜e；f'(x)＜0，得x＞e， 所以f(x)在上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 故当x＝e时，f(x)有极大值f＝＋1，无极小值. (3)由(2)得：当2t≤e且t＞0，即0＜t≤时，f'(x)＞0在上恒成立，函数f(x)在上单调递增， 所以f(x)max＝f＝＋1； 当t＜e＜2t，即＜t＜e时，x∈时，f'(x)＞0，x∈时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)max＝f＝＋1； 当t≥e时，f'(x)≤0在上恒成立，函数f(x)在上单调递减， 所以f(x)max＝f＝＋1. 综上所得：当0＜t≤时，f(x)max＝＋1； 当＜t＜e时，f(x)max＝＋1； 当t≥e时，f(x)max＝＋1. [创新题] 12.(2025·江西南昌一模)我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)＝ex－ex2＋，则下列给出的函数其图象与y＝f(x)的图象“相似”的是(　　 ) A.y＝x2 B.y＝－x2 C.y＝x3－3x D.y＝－x3＋3x 解析：选C.f'(x)＝ex－ex＋2x－2，则f'＝0，令f'(x)＝0，则ex＝x＋2， 如图，作出函数y＝ex，y＝x＋2的图象， 由图可知函数y＝ex，y＝x＋2的图象有两个交点， 即函数y＝f'(x)有两个零点1，x0，且x0＜0， 令f'(x)＞0，则x＞1或x＜x0，令f'(x)＜0，则x0＜x＜1， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的极大值点为x0，极小值点为1. 对于A，函数y＝x2在上单调递减，在上单调递增，所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数y＝－x2在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，y'＝3x2－3，当x＜－1或x＞1时，y'＝3x2－3＞0，当－1＜x＜1时，y'＝3x2－3＜0，所以函数y＝x3－3x的极大值点为－1，极小值点为1，故C选项符合题意； 对于D，y＝－x3＋3x＝－，则函数y＝－x3＋3x的极小值点为－1，极大值点为1，故D选项不符. 13.在平面曲线中，曲率(curvature)是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆C1、C2、C3在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率K＝，则余弦曲线f(x)＝cos x在(0，1)处的曲率为　　　　；正弦曲线g(x)＝sin x(x∈R)曲率K的平方K2的最大值为　　　　. 解析：由f'(x)＝－sin x，f″(x)＝－cos x，则K＝， 所以在(0，1)处的曲率为K＝＝1. 由g'(x)＝cos x，g″(x)＝－sin x，则K＝， 所以K2＝＝，令t＝sin 2x∈[0，1]，则K2＝， 令h(t)＝，则h'(t)＝＝＞0，即h(t)单调递增， 所以h(t)max＝h(1)＝1，即K2的最大值为1. 答案：1　1 学科网（北京）股份有限公司 $