课下巩固检测练(3) 导数的几何意义及函数的单调性（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(三)]　导数的几何意义及函数的单调性 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分) 一、单选题 1.(2025·福建莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.y'＝ex－1，令ex－1＝－1，则ex＝0，故x＝－1， 当x＝－1时，y＝－e－1－＝1－，即P的坐标为. 2.函数y＝的单调递增区间是(　　 ) A. B.(e，＋∞) C. D. 解析：选D.由题意，函数y＝的定义域为(0，＋∞)，则y'＝， 当x∈(0，e)时y'＞0；当x∈(e，＋∞)时y'＜0，显然y＝的单调递增区间为(0，e). 3.已知函数f(x)＝ln(a＋x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，则a＝(　　 ) A.1 B.0 C.－1 D.－2 解析：选A.∵f(x)＝ln(a＋x)，∴f'(x)＝，由题意得，f'(0)＝＝1，解得a＝1. 4.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)若函数h＝ln x－ax2－2x在上单调递增，则实数a的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.因为函数h＝ln x－ax2－2x在上单调递增， 所以h'＝－ax－2≥0在上恒成立，即a≤－在上恒成立， 令G＝－，x∈，变形得G＝－1，因为x∈，所以∈， 所以当＝1，即x＝1时，G(x)min＝－1，所以a≤－1. 5.已知函数f(x)＝1＋ln－，则下列正确的是(　　 ) A.f＞f＞0 B.f＞f＞0 C.f＞0＞f D.f＞0＞f 解析：选B.由可得函数f(x)的定义域为， 由题意知f'(x)＝－＝， 令函数g(x)＝－1－x， 当－＜x＜0时，g'＝－1＞0，即g(x)在单调递增，所以g(x)＜g＝0， 故f'(x)＜0在区间上恒成立，则f(x)在上单调递减， 所以f(x)＞f＝0，由函数的单调性可知f＞f＞0. 二、多选题 6.已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈R，则(　　 ) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)为单调减函数 D.曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为3π2－1 解析：选AD.定义域为R，关于原点对称， 又f(x)＝x3＋sin x，得f＝＋sin＝－x3－sin x＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，故A正确，B错误； f＝＋1＞f＝0，故f(x)＝x3＋sin x，x∈R不是减函数，故C错误； 又f'(x)＝3x2＋cos x，所以f'＝3π2＋cos π＝3π2－1，故D正确. 7.(2025·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝sin x－ln x，f'(x)是其导函数.若存在x1，x2∈且x1＜x2，满足f'＝f'，则(　　 ) A.f＞f B.x1x2＞1 C.ff＞1 D.f＋f＜2 解析：选ABD.f'(x)＝cos x－，数形结合，得到内y＝cos x，y＝的大致图象如图所示， 故f'(x)＜0，f＞f，A正确. 由f'＝f'得cos x2－＝cos x1－，即＝cos x1－cos x2＝cos(－)－cos(＋)＝2sinsin， 由题意∈，则＜2sin＜x2－x1， ∵x＞0，sin x＜x，则x1x2＞1，B正确. 又f＋f＝sin x1＋sin x2－ln x1x2＜sin x1＋sin x2＜2，D正确. 因为ff＜＜1，从而C错误. 三、填空题 8.(2025·湖北鄂州一模)已知函数f(x)＝－ax在[0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为　　　　. 解析：函数f(x)＝－ax，求导得f'(x)＝(x2＋1·2x－a＝－a， 依题意，∀x∈[0，＋∞)，f'(x)≤0⇔a≥，而当x≥0时，＝＜1， 则a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞). 答案：[1，＋∞) 9.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)＝2x－sin 2x，则不等式f＋f＜0的解集为　　　　. 解析：f(x)＝2x－sin 2x的定义域为R， ∵f'(x)＝2－2cos 2x＝2(1－cos 2x)≥0，∴函数f(x)是R上的增函数， ∵f＝－2x－sin＝－(2x－sin 2x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数， ∴由f＋f＜0得f＜－f(2x－3)＝f， ∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒(x－1)(x＋3)＜0⇒－3＜x＜1， ∴不等式f＋f＜0的解集为. 答案： 四、解答题 10.(2025·浙江绍兴二模)已知函数f(x)＝＋ln x－. (1)求f(x)的单调区间； (2)记f(x)的两个零点分别为x1，x2(x1＜x2)，求曲线y＝f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程. 解：(1)函数f(x)＝＋ln x－的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝－＋＝， 当x∈(0，)时，f'(x)＜0；当x∈(，＋∞)时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞). (2)由(1)知f()＝－ln 2＜0，f()＝－＞0，f(1)＝0， 因此函数f(x)有两个零点x1，x2，且0＜x1＜＜x2，即x2＝1， 则所求切线的切点坐标为(1，0)，斜率k＝f'(1)＝，切线方程为y＝x－， 所以曲线y＝f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程为y＝x－. 11.(2025·北京门头沟一模)已知函数f(x)＝xln x－x2＋x. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程； (2)设g(x)＝f'(x)，讨论函数g(x)的单调性； (3)若f(x)在定义域上单调递减，求a的取值范围. 解：(1)当a＝2时可得f(x)＝xln x－x2＋x， 则f'(x)＝ln x－2x＋2， 此时f＝0，f'＝0， 因此切线方程为y－0＝0，即y＝0. (2)由f(x)＝xln x－x2＋x可得其定义域为， 且f'(x)＝ln x－ax＋a，即g(x)＝ln x－ax＋a， 显然g'＝－a＝， 当a≤0时，g'＞0，此时g(x)在上单调递增； 当a＞0时，令g'＝0可得x＝， 若x∈，g'＞0，此时g(x)在上单调递增； 若x∈，g'＜0，此时g(x)在上单调递减； 综上可得，当a≤0时，g(x)在上单调递增； 当a＞0时，g(x)在上单调递增，在上单调递减. (3)若f(x)在定义域上单调递减，可得f'(x)＝ln x－ax＋a≤0在上恒成立， 由(2)可得当a≤0时，g(x)即f'(x)在上单调递增， 当x→＋∞，可得f'(x)→＋∞，显然不合题意； 当a＞0时，可得f'(x)在上单调递增，在上单调递减； 即f'(x)在x＝处取得极大值，也是最大值； 即f'＝f'＝ln－1＋a＝a－ln a－1≤0恒成立； 令u＝a－ln a－1，a＞0； 则u'＝1－＝， 显然当a∈时，u'＜0，此时u在上单调递减； 当a∈时，u'＞0，此时u在上单调递增； 因此u≥u＝0，即a－ln a－1≥0， 又a－ln a－1≤0恒成立，可得a－ln a－1＝0，即a＝1. 所以a的取值范围为a∈. [创新题] 12.(2025·河南新乡二模)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y＝f(x)，其曲率K＝(y'是y的导数，y″是y'的导数)，曲率半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y＝x3－x2的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为(　　 ) A. B.2 C. D. 解析：选B.设f(x)＝x3－x2，则f'(x)＝3x2－2x，f″＝6x－2，所以f'＝0，f″＝－2， 则曲线在点处的曲率K＝＝2，曲率半径ρ＝， 故曲线y＝x3－x2在点处的向心加速度的大小为＝2. 13.(2024·河北邢台一模)如果方程F(x，y)＝0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x，y)＝0中，把y看成x的函数y＝y，则方程可看成关于x的恒等式F＝0，在等式两边同时对x求导，然后解出y'即可.例如，求由方程x2＋y2＝1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2＋y2＝1的两边同时对x求导，则2x＋2y·y'＝0(y＝y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y'＝－(y≠0).那么曲线xy＋ln y＝2在点处的切线方程为(　　 ) A.x－3y＋1＝0 B.x＋3y－5＝0 C.3x－y－5＝0 D.2x＋3y－7＝0 解析：选B.由给定定义得，对xy＋ln y＝2左右两侧同时求导， 可得y＋xy'＋×y'＝0，将点代入，得1＋2y'＋y'＝0， 解得y'＝－，故切线斜率为－，得到切线方程为y－1＝－， 化简得方程为x＋3y－5＝0，故B正确. 学科网（北京）股份有限公司 $