课下巩固检测练(2) 基本初等函数、函数与方程（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(二)]　基本初等函数、函数与方程 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分) 一、单选题 1.(2025·辽宁大连二模)已知a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.6，则(　　 ) A.b＞a＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.a＞b＞c 解析：选D.对于a，b，由于y＝x0.3在单调递增，所以20.3＞0.20.3， 对于b，c，由于y＝0.2x单调递减，故0.20.3＞0.20.6.所以a＞b＞c. 2.(2025·河北沧州二模)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增， 所以f(x)＝2x＋ln x－1在上单调递增， 又f＝＋ln－1＝－1－ln 2， ∵－1＜，ln 2＞ln ＝，∴f＝－1－ln 2＜0，又∵f＝2＋ln 1－1＝1＞0， ∴函数f(x)的零点所在区间是. 3.(2025·山东济宁二模)若函数f(x)＝在上单调递减，则实数a的取值范围是(　　 ) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤1 D.a≥1 解析：选A.f(x)＝(是由y＝()u与u＝x2－ax复合而成， 因为f(x)＝(在上单调递减，且外层函数y＝()u在R上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u＝x2－ax在上单调递增. 对于二次函数u＝x2－ax，其图象开口向上，对称轴为x＝－＝. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u＝x2－ax在上单调递增， 则对称轴需满足≤1，解得a≤2. 4.(2025·北京房山一模)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N( t )＝N0ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N( t )为t时刻的种群个体数量.当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N(4 )＝150，则N(10)＝(　　 ) A.300 B.450 C.600 D.750 解析：选C.由题意得N(3)＝N0e3r＝2N0，所以e3r＝2，若N(4)＝N0e4r＝150，则N(10)＝N0e10r＝N0e4r×e6r＝150×22＝600. 5.(2025·天津和平二模)已知a＝log52，b＝log5，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A.a＜c＜b B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a 解析：选D.0＝log51＜log52＜log55＝1，所以0＜a＜1， log5＜log51＝0，所以b＜0， 又c＝a2，0＜a＜1，故c－a＝a2－a＝a＜0，所以0＜c＜a. 综上，b＜c＜a. 6.(2025·湖南岳阳二模)若函数f(x)有唯一零点，且f＝x2－1＋a，则a＝(　　 ) A.－ B. C. D.1 解析：选C.由于f(x)有唯一的零点，所以f也有唯一的零点， 由于y＝x2－1，y＝a均为偶函数，所以g(x)＝f为偶函数， 因此g＝f＝－1＋2a＝0，故a＝. 7.(2025·浙江绍兴二模)已知函数f(x)＝，则(　　 ) A.当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间上单调递增 B.当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间上单调递减 C.当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间上单调递减 D.当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间上单调递增 解析：选D.对于A，B：当λ＝1时，f(x)＝，其定义域为R，f＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数；又f(x)＝＝，当x∈时，令t＝ex∈， 因为y＝t＋在t∈单调递增，t＝ex在x∈单调递增，故y＝ex＋e－x在单调递增，故f(x)＝在单调递减，故A、B错误； 对于C，D：当λ＝－1时，f(x)＝，其定义域为{x｜x≠0}，f＝＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数；又f(x)＝＝，当x∈时，y＝e－x，y＝－ex均为减函数，故y＝e－x－ex为上的减函数，故f(x)＝为上的增函数，故C错误，D正确. 8.(2025·北京顺义一模)已知直线y＝－x＋4分别与函数y＝2x和y＝log2x的图象交于A，B，给出下列三个结论：①＞x2；②＋＞8；③x1log2x2－x2log2x1＞0.其中正确结论的个数是(　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选C.由题意直线y＝－x＋4与y＝x垂直，函数y＝2x和y＝log2x的图象关于y＝x对称， 所以A，B关于y＝x对称，又由得交点坐标为，则x1＋x2＝4. 对于①：因为＝－x1＋4，且x2＝4－x1，所以＝x2，①错误； 对于②：由＋≥2＝23，因为x1≠x2，则＋＞8，②正确； 对于③：直线y＝－x＋4与y＝2x联立，可得－x＋4＝2x，即2x＋x－4＝0， 设函数f(x)＝2x＋x－4，f(x)是增函数，又由f＝－1＜0，f()＝2＋－4＞0，可得f·f()＜0，所以函数f(x)在区间(1，)上存在唯一零点，即1＜x1＜，因为x1＋x2＝4，所以＜x2＜3，构造函数g(x)＝(x＞0)，则g'＝， 当g'(x)＞0时，可得x∈(0，e)，∴函数g(x)在(0，e)单调递增； 当g'(x)＜0时，可得x∈(e，＋∞)，∴函数g(x)在(e，＋∞)单调递减； 1＜x1＜，＜x2＜3，∴－＞－＝＞0，③正确. 二、多选题 9.函数f(x)＝loga＋1的大致图象不可能为(　　 ) 解析：选BCD.函数f(x)＝loga＋1(0＜a＜1)的定义域为， 因为f＝loga＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数， 当x∈时，f(x)＝logax＋1为减函数，且过定点， 故函数f(x)＝loga＋1的大致图象不可能为BCD选项. 10.已知函数f(x)＝，则(　　 ) A.不等式＜的解集是 B.∀x∈R，都有f＝f(x) C.f(x)是R上的递减函数 D.f(x)的值域为 解析：选AD.对于A：f(x)＝＝1－，由＜，得－＜1－＜，即＜＜， 得＜2x＋1＜3，解得－1＜x＜1，即原不等式的解集为(－1，1)，故A正确； 对于B：f(－x)＝1－＝1－≠f(x)，故B错误； 对于C：f(1)＝1－＝＜＝1－＝f(2)，所以f(x)在R上单调递减不成立，故C错误； 对于D：由0＜＜2知－1＜1－＜1，即函数f(x)的值域为(－1，1)，故D正确. 11.(2025·河北保定一模)下列不等式成立的有(　　 ) A.log0.30.2＞log0.20.3 　　B.0.30.2＞0.20.3 C.log30.2＜log20.2 　　D.30.2＜20.3 解析：选AB.对于A，log0.30.2＞log0.30.3＝1，log0.20.3＜log0.20.2＝1，故log0.30.2＞log0.20.3，故A正确； 对于B，0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，故0.30.2＞0.20.3，故B正确； 对于C，由于log30.2＜0，log20.2＜0，故＝＝＝log23＞1，故log30.2＞log20.2，故C错误； 对于D，30.2＝，20.3＝，∵＝32＝9，＝8，所以＞，故30.2＞20.3，故D错误. 三、填空题 12.(2025·广东深圳三模)已知实数a＞1，且满足loga(2a)＋log2aa＝，则a＝　　　　. 解析：设loga＝t，则t＝loga2＋1，因为a＞1，所以t＞1.由t＋＝⇒t＝2或t＝(舍去).所以loga2＋1＝2⇒a＝2. 答案：2 13.(2025·江西宜春一模)已知函数f(x)＝log2在上的最小值是1，则a＝　　　　. 解析：若a＝0，则x∈，f(x)＝2log2x在上单调递增，最小值为f＝2log22＝2，不符合题意； 若a＜0，则f(x)的定义域为∪，且由复合函数的单调性可知f(x)在上单调递增， 则最小值为f＝log2＝1，解得a＝，不符合题意； 若a＞0，则f(x)的定义域为∪，由题意可得⊆(2a，＋∞)，则a＜1， 此时由复合函数的单调性可知f(x)在上单调递增， 则最小值为f＝log2＝1，解得a＝，符合题意. 综上，a＝. 答案： 14.(2025·山西临汾二模)已知a＞0，函数f(x)＝g(x)＝ax－a.若函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，则实数a的取值范围是 . 解析：因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，即方程f(x)－g(x)＝0有三个解， 当x＞0时，方程为＝ax－a，即1＝ax2－ax，即ax2－ax－1＝0， 因为a＞0，所以Δ＝＋4a＞0，所以方程有两个根，又＜0， 所以ax2－ax－1＝0有一个正根与一个负根，又x＞0，所以F(x)＝f(x)－g(x)有一正的零点； 当x≤0时，方程为ax2＋x＝ax－a，即ax2＋x＋a＝0， 因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，所以方程ax2＋x＋a＝0有两个非正根， 所以解得－1＜a＜，又a＞0，所以0＜a＜， 所以实数a的取值范围是. 答案： [创新题] 15.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g＝f(其中i＝1，2，…，n，n∈N＋)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”.若g(x)＝sin为f(x)＝log2的“2 025重覆盖函数”，则正实数ω的取值集合为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.由f(x)＝log2，令y＝log2t，t＝＝1＋， 因为2x＞0，所以2x＋1＞1，0＜＜1，所以t∈，y∈， 所以f(x)＝log2∈， 若g(x)＝sin为f(x)＝log2的“2 025重覆盖函数”， 所以恰好存在2 025个不同的实数x1，x2，…，x2 025∈D2，使得g＝f， 因为x∈，所以ωx－∈［－，2πω－］，所以g(x)＝sin(ωx－)(x∈[0，2π])有2 025个g＝f∈， 所以由正弦函数性质得2πω－＝1 012×2π＋，所以ω＝1 012. 16.设函数y＝f(x)和y＝f(－x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f(x)的“稳定区间”，已知区间[2，2 024]为函数y＝｜＋a｜的“稳定区间”，则实数a的取值范围为(　　 ) A.［－9，－］ B.［－32 024，－］ C.［－32 024，－］ D.［－9，－］ 解析：选A.函数y＝在R上单调递减，函数y＝3x在R上单调递增， 若区间[2，2 024]为函数y＝｜＋a｜的“稳定区间”，令f(x)＝y＝｜＋a｜， 则函数f(x)＝｜＋a｜与函数f(－x)＝｜3x＋a｜在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间[2，2 024]上单调递增， 则在区间[2，2 024]上恒成立， 于是解得－9≤a≤－； ②若两函数在区间[2，2 024]上单调递减， 则在区间[2，2 024]上恒成立， 于是不等式组无解， 所以实数a的取值范围为［－9，－］. 学科网（北京）股份有限公司 $