14 专题1 教考衔接2 切线放缩（PPT课件）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

高三二轮专题复习高效讲义 数学 函数与导数 专题 教考衔接2 切线放缩 教材溯源] (人教A版选择性必修二P104T18)已知函数fx)=e-lnx十m),当m≤2时，求 证：fx)>0. 证明：第一步：放缩 当m≤2时，fx)=e-lnx+m)≥e一lnx+2), 故只要证明e-ln(x十2)>0即可. 第二步：构造 只要证e≥x十1，x十1≥lnx十2)（两等号不同时成立） 令g(x)=e-x一1，则g'(x)=e一1， 当x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,则gx)在(-∞，0)上单调递减，在(0， +∞)上单调递增.所以gx)≥g(0)=0,即e≥x十1，当且仅当x=0时，等号成立. 第三步：同构（替换） 在e≥x十1中，以lnx+2)代替x, 则有ex+2)≥ln(x十2)+1，即x+2≥lnx+2)+1,即x+1≥lnx+2),当且仅当lnx 十2)=0，即x=-1时，等号成立. 第四步：传递 综上，e≥x+1,x+1≥ln(x+2)(两等号不同时成立)，所以e>ln(x+2)≥ln(十m), 即fx)>0. 「真题示例] (2022·新课标I卷)已知函数fx)=xear-e. (1)当a=1时，讨论fx)的单调性； (2)当x>0时，fx)<-1,求a的取值范围： (3)设n∈N*,证明：一十一十…十=>n(n十1) 11+1乏21+2 E ni+n 解：(1)当a=1时，fx)=(x-1)e,则f(x)=xe, 当x<0时，f(x)<0,当x>0时，(x)>0, 故fx)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. (2)设hx)=xer-e+1,则h(0)=0, 又h'x)=(1+ax)eax-e, 设g(x)=(1+ax)ea-e, 则g'(x)=+ eax-ex, 2 若a>-，2g'(Qωx2a-1>0, 因为g日为连续不间斯函数， 故存在x0∈，十∞，使得x∈，，总有g>0, 故g在0 为增函数，故g0>g回=0， x回 故hx在0，x0回为增函数，故hx>h回一0，与题设矛盾. 若0威囝≤0戏@ ece'-0凤十 -e', 1 axln+ax回 下证：对任意x>r回总随nax回 <x成立， 证明：设S=ln 一@+x回 故S”=欧团1=干， -x 故Sc赃1+x十01弹调递减， 故5图绍日0回即1n1+x <x成立. 由上述不等式得 -e'<ear+ax-er=e2ar-er≤0， 故h' ≤0总成，即在，十0上单调递减， 所以Φ包<h=0,满酒意和 回 若a≤回则的回=e-e+axer<1一1十0=0， 所以h在 x古o上单调递减， 所以h@r@一加=0，满足题意. 综上，@每-.0回 2 (③)取a=,则x>0,总有x1-e+1<0成立， 1 2x 令t=?则t>1,t2=e,xe2nt, 2x 故2tlet<2-1,即2lnt<t--对任意的t>1恒成立， 所以对任意的n∈N*,有2ln n+1 n+1 n 整理得ln(n十1)一Inn<卫，n 回n 回n+1 1+ 2 故一+++nn2-1n1十n3-1n2十…+n(n十1)-nn=n(n十1)， n 1 1 1 故不等1式成年2 2 ξn+n [方法点评] (1)思维导图 过函数图象上一点的切线方程 必备 函数的单调性 知识 函数的最值 常见 利卬切线放缩求最值 题型 利用切线放缩证明不等式 e*≥x+l 线 lnx≤x-l 缩 必备 e≥ex 解法 lnx≤x sinx<r<tan,x∈(0.T) 放缩时选择不等式不恰当 常见 运叮切线不等式时等号取舍错误 误区 求最值时忽略验等号能否取到