精品解析：山东青岛市李沧区2025-2026学年上学期期末八年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题.第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、解答题，共15小题，93分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 1的平方根等于它本身 B. 实数和数轴上的点是一一对应的 C. 相等的两个角是对顶角 D. 面积相等的三角形是全等三角形 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 我国是最早了解勾股定理国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，， C. 6，8，10 D. 9，12，13 5. “计”高一筹，“算”出风采，为提高学生的运算能力，某校开展计算大比拼活动．已知甲班名学生测试成绩的方差是，乙班名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之适等．交易其一，金轻十三两．问：金、银各一枚各重几何？”译文：“9枚黄金和11枚白银重量恰好相等，若把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各多少两？”设每枚黄金两，每枚白银两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 剪纸是中国古代的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 9. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 10. 16的算术平方根是_________． 11. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_______． 12. 在学校举办的“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛中，规定学生的演讲成绩由三部分组成：演讲内容占，语言表达占，现场答辩占；小明的上述三项成绩依次是分、分、分，则小明的演讲成绩是_______分． 13. 已知一次函数与图象的交点坐标是，则关于，的方程组的解为_______． 14. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，若，则的度数为_______°． 15. 已知满足方程组，则的值为_______． 16. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）在图中标出点A，B，C，并画出； （2）作关于y轴对称的图形； （3）的面积为_________． 19. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某校举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动，并对收集到的数据进行了整理和分析． 【收集数据】 随机抽取八、九年级各100名同学的周阅读时间（单位：小时）组成一个样本． 【整理数据】 周阅读时间（小时） 1 2 3 4 5 6 八年级人数（人） 8 20 22 25 14 11 九年级人数（人） 14 16 20 30 15 5 【分析数据】 八九年级抽取的学生周阅读时间统计表 平均数 中位数 众数 八年级 3.5 3.5 4 九年级 c 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）结合以上数据，分析这两个年级哪个年级同学的阅读时间更多； （3）结合以上数据，请你为同学们提一条提升阅读能力建议（不超过30字）． 20. 已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： （1）判断是否为“三二一数对”，并说明理由； （2）已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； （3）若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 22. 商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． （1）该商品的进价和定价分别是多少元？ （2）商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 23. 甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发，匀速驶向B地，半小时后，乙车出发，匀速行驶一段时间后在服务区休息了半小时继续出发，为了行驶安全，速度减少12千米/时并继续保持匀速行驶，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车行驶的路程（单位：），（单位：）与甲车出发后的时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）a的值为_________，甲车的速度为_________； （2）求乙车到达服务区之前的速度，以及图中线段所表示的与x的函数关系式； （3）求在行驶的过程中，甲出发多少小时后甲、乙两车第一次相遇． 24. 【背景介绍】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（均为整数）． ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即． ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在1到26之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字． 若大于26，则不断减去26，直到结果落在1~26之间． ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，我们可以将明文中字母转换成所对应的密文． 计算：． ． 14对应字母N，所以明文中字母L对应的密文是字母N． 【问题探究】 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．则这个加密规则中使用的“乘密钥”的值为 ，“加密钥”的值为 ； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，将密文“TN”解密获得的明文为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题.第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、解答题，共15小题，93分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数定义，关键是利用定义进行判断；无理数是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：∵无理数是指不能表示为两个整数之比的实数，且为无限不循环小数. A：是分数，属于有理数； B：π是无限不循环小数，属于无理数； C：，是整数，属于有理数； D：是循环小数，可化为分数，属于有理数. ∴故选：B. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 1的平方根等于它本身 B. 实数和数轴上的点是一一对应的 C. 相等的两个角是对顶角 D. 面积相等的三角形是全等三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，需结合平方根、实数与数轴的关系、对顶角、全等三角形的相关概念逐一分析各选项． 【详解】解：∵1的平方根是，只有1等于它本身，不等于它本身，∴A是假命题． ∵实数和数轴上的点是一一对应的，∴B是真命题． ∵相等两个角不一定是对顶角，比如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，∴C是假命题． ∵面积相等的三角形不一定全等，比如同底等高的两个三角形面积相等，但形状不同，不全等，∴D是假命题． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根和二次根式的运算，关键是熟练应用运算法则解题；根据定义和运算法则逐一判断即可. 【详解】解：∵ ，A正确； ∵ ，B错误； ∵ ，C错误； ∵ ，D错误. ∴ 正确答案为A. 故选：A． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，， C. 6，8，10 D. 9，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，即满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、0.3、0.4、0.5不是正整数， ∴不是勾股数，故选项A不符合题意； B、、不是整数， ∴不是勾股数，故选项B不符合题意； C、∵，且6、8、10均为正整数， ∴是勾股数，故选项C符合题意； D、∵，，， ∴不是勾股数，故选项D不符合题意． 故选：C． 5. “计”高一筹，“算”出风采，为提高学生的运算能力，某校开展计算大比拼活动．已知甲班名学生测试成绩的方差是，乙班名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用方差判断数据稳定性，关键是熟练应用知识点解决问题；平均成绩相同，方差较小的班级成绩更稳定，胜出. 【详解】解：∵两班平均分相同，且乙班胜出， ∴乙班方差小于甲班方差，即 ， ∴ 的值可能是 ， 故选：D． 6. 《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之适等．交易其一，金轻十三两．问：金、银各一枚各重几何？”译文：“9枚黄金和11枚白银的重量恰好相等，若把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各多少两？”设每枚黄金两，每枚白银两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“9枚黄金和11枚白银的重量恰好相等，若把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 剪纸是中国古代的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的坐标性质，对称轴的确定，掌握中点坐标公式是解题关键． 先通过点、的坐标确定对称轴为直线，再利用该对称轴和点的坐标，通过中点公式求出点的坐标． 【详解】解：、的坐标为，， 该图形的对称轴为， 点与点对称， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为． 故选：． 8. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的解读，准确定位中位数与四分位数是解题关键． 对比两个班箱线图的箱体宽度、最大值和中位数位置，依次验证选项． 【详解】解：、班箱线图的箱体更窄，故班成绩更集中而非班，错误； 、班成绩的下四分位数是分，而非上四分位数，错误； 、班成绩的最大值没有超过分，故没有学生的成绩超过分，错误； 、两个班成绩的中位数均为分，两个班的中位数相同，正确． 故选：． 9. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据自变量的系数相同可排除C和D，再分析A和B即可得出答案． 【详解】解：∵自变量的系数相同， ∴两直线平行，故C和D不符合题意； A．由一次函数图象与y轴的正半轴相交得，由一次函数y随x的增大而减小得，矛盾，故A不符合题意； B．由正比例函数图象得，由一次函数图象得，故B符合题意． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 10. 16的算术平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，算术平方根是指一个非负数的非负平方根．根据算术平方根的定义，求16的非负平方根即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根是4， 故答案为：4． 11. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故答案为：． 12. 在学校举办的“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛中，规定学生的演讲成绩由三部分组成：演讲内容占，语言表达占，现场答辩占；小明的上述三项成绩依次是分、分、分，则小明的演讲成绩是_______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的概念及计算，明确权重与对应数据的匹配关系是解题关键． 根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的权重，再求和． 【详解】解：小明的演讲成绩计算为：． 故答案为：． 13. 已知一次函数与图象的交点坐标是，则关于，的方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解， 方程组中的两个方程分别对应一次函数和，因此方程组的解即为两函数图象的交点坐标． 【详解】解： 由题意，一次函数与的图象交点坐标为， 即同时满足两个函数解析式，故方程组的解为． 故答案为：． 14. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，若，则的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，找准平行线与截线是解题关键． 利用题目中给出的两组平行线，通过两次“两直线平行，同旁内角互补”的性质推导，结合 求出． 【详解】解：由题可知，，， ， ， ． 故答案为：． 15. 已知满足方程组，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是观察方程组用恰当的方法求解；通过将两个方程相加，可直接得到 的值． 【详解】解：给定方程组： 将方程(1)和方程(2)相加，得： ∴， 故答案为：． 16. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式先计算除法，再化简二次根式即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）方程组运用代入消元法进行解答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） （4） 由①得： ③ 将其代入②得： 把代入，得 因此方程组的解为：． 18. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为，，． （1）在图中标出点A，B，C，并画出； （2）作关于y轴对称的图形； （3）的面积为_________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的坐标定位，轴对称图形的作图，掌握割补法求面积是解题关键． （1）根据点的坐标在网格中精准定位并依次连接形成三角形； （2）关于轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此求出各点关于轴的对称点，再依次连接得到对称三角形； （3）用割补法，将置于外接矩形中，通过矩形面积减去周围直角三角形面积得到面积； 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：据图可知，的外接矩形长和宽分别为和， 其周围的三个直角三角形边长分别为和，和，和， 故． 故答案为：． 19. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某校举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动，并对收集到的数据进行了整理和分析． 【收集数据】 随机抽取八、九年级各100名同学的周阅读时间（单位：小时）组成一个样本． 【整理数据】 周阅读时间（小时） 1 2 3 4 5 6 八年级人数（人） 8 20 22 25 14 11 九年级人数（人） 14 16 20 30 15 5 【分析数据】 八九年级抽取的学生周阅读时间统计表 平均数 中位数 众数 八年级 3.5 3.5 4 九年级 c 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）结合以上数据，分析这两个年级哪个年级同学的阅读时间更多； （3）结合以上数据，请你为同学们提一条提升阅读能力的建议（不超过30字）． 【答案】（1） （2）八年级同学的阅读时间更多 （3）建议同学们每天安排固定时间阅读，积累知识 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，根据平均数做决策， 对于（1），根据平均数，中位数，众数的定义解答； 对于（2），根据三数做出决策即可； 对于（3），提出合理化建议即可． 【小问1详解】 解：平均数为小时； 根据题意可知第50个数是3，第51个数是4， 所以中位数是小时； 因为4小时出现次数最多， 所以众数是小时； 故答案为：3.31，3.5，4； 【小问2详解】 解：因为两个年级的中位数，众数都相同，且八年级的平均数大， 所以八年级同学的阅读时间更多； 【小问3详解】 解：建议同学们每天安排固定的时间阅读，积累知识． 20. 已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【小问1详解】 证明：，， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 21. 我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： （1）判断是否为“三二一数对”，并说明理由； （2）已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； （3）若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 【答案】（1） 不是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义列出方程求解即可； （3）根据新定义列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：不是，理由如下： ∵， ∴不是“三二一数对”； 【小问2详解】 解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∴， ∵， ∴该数对的“和差数对”为：； 【小问3详解】 解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∵的“和差数对”满足条件：， ∴， ∴，整理得：， 联立方程组得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义的运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键是根据题意列出正确的方程或代数式． 22. 商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． （1）该商品的进价和定价分别是多少元？ （2）商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【答案】（1）该商品的进价为元，定价为元 （2）选择方案一比较合算，比方案二节省元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是要根据定价、进价和利润的关系，找出等量关系正确解答． （1）根据“每件获利元”可得出：每件定价每件进价元；根据“定价的九折销售该商品件所获利润与将定价降低元销售该商品件所获利润相等”可得出等量关系：每件定价的九折每件进价（每件定价元）每件进价； （2）分别计算两种方案的费用，比较即可． 【小问1详解】 解：设该商品的进价为元，定价为元， 根据题意得：， 解得： 答：该商品的进价为元，定价为元； 【小问2详解】 解：方案一：∵， ∴此时该商品的单价为：， ∴总费用为：（元）； 方案二：件中包含完整的“买四送一”组数：， 需支付的件数为：， ∴总费用为：（元）； ∵， ∴方案一更合算，节省金额为：（元）， 答：选择方案一比较合算，比方案二节省元． 23. 甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发，匀速驶向B地，半小时后，乙车出发，匀速行驶一段时间后在服务区休息了半小时继续出发，为了行驶安全，速度减少12千米/时并继续保持匀速行驶，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车行驶的路程（单位：），（单位：）与甲车出发后的时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）a的值为_________，甲车的速度为_________； （2）求乙车到达服务区之前的速度，以及图中线段所表示的与x的函数关系式； （3）求在行驶的过程中，甲出发多少小时后甲、乙两车第一次相遇． 【答案】（1）4.5，90 （2）， （3）甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的时间为2.75小时 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合并理解题意． （1）根据题意并结合图形可知，根据速度路程时间，即可求出甲车的速度； （2）设乙车到达服务区之前的速度为千米/时，则在服务区休息后的速度为千米/时，根据题意列方程求解，设线段所表示的的关系式为，运用待定系数法求解即可； （3）根据题意列方程求出甲、乙两车第一次相遇时甲车的时间． 【小问1详解】 解：∵匀速行驶一段时间后在服务区休息了半小时继续出发， ∴（小时）， 甲车的速度为（千米/时）， 故答案为：，； 小问2详解】 设乙车在到达服务区前的速度为，减速后的速度为， 根据题意列方程：， 整理得：， 所以，乙车在到达服务区之前的速度为110千米/时， 设线段所表示的的关系式为， 把代入可得， 解得， 所以，所表示的的关系式为； 【小问3详解】 解：由题意，可得甲车的路程函数为， 第一次相遇时，即：， 解得：； 所以，甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的时间为2.75小时. 24. 【背景介绍】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（均为整数）． ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即． ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在1到26之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字． 若大于26，则不断减去26，直到结果落在1~26之间． ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，我们可以将明文中字母转换成所对应的密文． 计算：． ． 14对应字母N，所以明文中字母L对应的密文是字母N． 【问题探究】 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．则这个加密规则中使用的“乘密钥”的值为 ，“加密钥”的值为 ； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，将密文“TN”解密获得的明文为 ． 【答案】（1）UW （2）7 （3）1 8 （4）LF 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，代数式表示数字规律， 对于（1），根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； 对于（2），先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； 对于（3），根据要求列出方程组，求出符合题意的解； 对于（4），根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【小问1详解】 解：∵将明文中字母H转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， 所以明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； 所以“HI”加密后的密文是“UW”； 故答案为：“UW”； 【小问2详解】 解：根据题意可知， ∵M对应的数是13， ∴， 解得； 故答案为：7； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得， 不是整数，不符合题意 根据题意，得， 解得，不符合题意； 故答案为：1，8； 【小问4详解】 解：∵T和N对应的数是20，14，且，设明文对应的数是x，y， ∴， 解得，12对应的字母是L，6对应的字母是F， 所以密文“TN”解密获得的明文为“LF”． 故答案为：LF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $