6.1.2 圆周运动（圆周运动的传动装置及周期性和多解性问题）讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

圆周运动的传动装置及周期性和多解性问题讲义 1、 两类传动模型 1. 同轴传动 多个旋转部件（圆盘或者球）围绕一个几何轴线进行圆周运动的模型为同轴传动模型。例如下图所示，两个圆盘围绕过O点的中心轴一起顺时针转动。 · 固定在一起转动的物体各点角速度和周期相同 因为一起围绕中心轴转动，所以相同的时间转过的角度或者圈数都是一样的。即两个盘上的A、B两点的周期和角速度相同。 则 TA=TB，ωA=ωB · 某点距离转动轴的距离为r，则这点的线速度大小为v=ωr；任意两个点的线速度之比等于这两个点到转动轴的距离之比 同轴传动上的某点做匀速圆周运动的半径为该点到转动轴的距离，则这点的线速度为该点做匀速圆周运动的角速度与半径的乘积，即v=ωr 转盘上的两个点A和B，如上图所示，A点距离转轴中心O点的距离为r，B点离O点的距离为R，则两者之间的线速度分别为vA=ωr和vB=ωR，则A、B两点的线速度之比为： vA：vB= r：R 即两点的线速度之比等于两点到转轴中心的距离之比 2. 皮带传动 (1) 两个轮子用皮带或链条连接 · 连接轮子的皮带或链条不打滑，两个轮子边缘上的点线速度大小相同 因为皮带不打滑，所以相同的时间内，两个轮子边缘上的转过的弧长相同，则由线速度定义式 v=可知，两轮边缘线速度大小相同，如左图所示，vA=vB · 两个轮子边缘上的点角速度之比为半径之比的倒数，ω1：ω2=r2：r1；周期之比等于半径之比T1：T2=r1：r2 因为ω= ，所以当线速度大小相同时，角速度则跟半径成反比。如上图所示，由皮带连接的两个轮子，其边缘上的A点和B点角速度之比ωA：ωB= ：= ：=r：R，即轮子边缘的角速度之比等于半径之比的倒数； 而由T=可得，TA：TB= ：= ωB：ωA= R：r，即轮子边缘的周期之比等于半径之比。 (2) 齿轮传动 两个有轮齿的齿轮以相反的方向进行转动，如下图所示。因为两个齿轮的轮齿必须啮合，所以两轮边缘上的点在相同的时间内通过的弧长相等。 · 两个齿轮边缘的点线速度大小相等 如左图所示，既然两个齿轮在相同的时间内通过的弧长相等，则两个齿轮边缘上的A点和B点线速度大小相同，即vA=vB · 两个齿轮边缘上的点角速度之比等于半径之比的倒数，也等于轮齿数量之比的倒数；周期之比等于半径之比，也等于轮齿数量之比 如上图所示，大齿轮的半径为R，轮齿数为N；小齿轮的半径为r，轮齿数为n。轮齿的数量和齿轮周长成正比，齿轮周长越大，轮齿数越多，则sA：sB=N：n，而又sA=2，sB=2r，则N：n=：r 因为vA=vB，则ωA：ωB=r：R=n：N，即两个齿轮边缘上的点角速度之比等于半径之比的倒数，也等于轮齿数量之比的倒数； 又TA：TB=ωB：ωA= R：r=N：n，即两个齿轮边缘上的点周期之比等于半径之比，也等于轮齿数量之比。 (3) 摩擦传动 互相接触的两个轮子靠摩擦进行传动，因为两轮受到的摩擦力方向相反，所以两个轮子往相反的方向转动。如下图所示。 · 两轮转动时没有相对滑动，两轮边缘上的点线速度大小相等 如左图所示的两轮边缘上的A点和B点，因为两个轮子没有相对滑动，所以相同的时间内，A点和B点通过的弧长相等，则A点和B点线速度的大小相同，即 vA=vB · 两个齿轮边缘上的点角速度之比等于半径之比的倒数；周期之比等于半径之比 如左上图所示，A点和B点的角速度大小相等，A点转动的半径为R，B点转动的半径为r，则ωA：ωB= ：=r：R，即A和B点的角速度之比等于半径之比的倒数； 又TA：TB=ωB：ωA= R：r，则A和B点的周期之比等于半径之比 3. 经典例题 例1 “共享单车”是目前中国规模最大的近距离交通代步工具，为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是(　　) A. A点与B点的线速度满足vA＝2vB B. A点与C点的线速度满足vC＝vA C. B点与C点的角速度满足2ωB＝5ωC D. A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB 解析 小齿轮和大齿轮依靠链条进行传动，单车轮胎和小齿轮同轴传动 则vB＝vC，所以ωB：ωC＝RC：RB＝2:5，即5ωB＝2ωC，所以C错误； 又ωC＝ωA，则vC：vA＝RC：RA＝1:5，所以B错误； vB＝vC且vC：vA＝1:5，则vB：vA＝1:5，即vA＝5vB，所以A错误； ωB：ωC＝2:5且ωC＝ωA，则ωB：ωA＝2:5，即2ωA＝5ωB，所以D正确； 故正确答案为D。 4. 基础练习 (1) (多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A.a、b两点的角速度相同 B.a、b两点的线速度相同 C.若θ＝45°，则a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝∶2 D.若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta∶Tb＝∶2 (2) 风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是(　　) A.M点的线速度小于N点的线速度 B.M点的角速度小于N点的角速度 C.M点的转速大于N点的转速 D.M点的周期大于N点的周期 (3) 如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　) A.a、b和c三点的线速度大小相等 B.c的线速度比a、b的线速度大 C.a、b的角速度比c的角速度大 D.a、b和c三点的角速度相等 (4) 某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮，从动轮称为行星轮。太阳轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为(　　) A.ω B.ω C.ω D.ω 2、 圆周运动的周期性和多解性问题 1. 圆周运动的周期性 做匀速圆周运动的物体隔一段固定的时间就会重复之前的运动状态（即在一段时间后会经过相同的位置，且这个位置的线速度和加速度相同），这个固定的时间为匀速圆周运动的周期（一般用T表示，T为物体运动一周所用的时间），这就是圆周运动的周期性。 2. 圆周运动的多解性 圆周运动的多解性指因为圆周运动的周期性导致在研究某个问题时其结果不唯一的现象。 · 圆周运动会在下一个周期内重复前一个周期的动作，所以前一个周期发生的事件也可能在下一个周期内发生。在周期和题目中涉及的时间大小不确定情况下，“碰撞”或者“相遇”等场景可能会在多个周期发生，这这时就会有多个解。 · 一般圆周运动的周期性和多解性问题会涉及两个物体，一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做平抛、匀速直线、自由落体等运动，两个物体的运动要满足什么情况等。 3. 圆周运动的周期性和多解性问题解题技巧 (1) 确定研究对象及其运动性质：一般涉及两个物体，一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 (2) 根据运动关系列出含有所求物理量和已知物理量之间的等式：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。这里等式中做圆周运动的物体由于其周期性，其运动所用时间不唯一。 4. 经典例题 例2 如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，重力加速度为g，求： (1)第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t； (2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度ω。 解析 （1）第一滴水离开容器时，容器v=0，则无初速度的水滴仅在重力作用下做自由落体运动，下落高度为h，则h=gt2 所以t= （2） 容器向右做匀加速直线运动，所以从第二滴水开始，每滴水做平抛运动。 因为高度不变，所以每滴水落到圆盘的时间相同，而后一滴水在前一滴水落到盘面时才开始下落，所以每隔时间t就会有一滴水落到盘面上。若要每滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，则需要圆盘在t时间内转过180⁰的整数倍。 即 ωt=nπ（其中，n=1,2,3...） 将t= 代入，得 则ω=（其中，n=1,2,3...） 5. 基础练习 (1) 如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，重力加速度为g，求角速度ω必须满足的条件。 (2) (多选)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min(从左往右看是逆时针转动)，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图所示。则该子弹的速度大小可能是(　　) A.360 m/s B.57.6 m/s C.1 440 m/s D.108 m/s (3) (多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是(　　) A.600 r/min B.900 r/min C.1200r/min D.1 800 r/min (4) (多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不变，空气阻力不计，重力加速度为g，则(　　) A.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d B.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d C.圆筒转动的角速度可能为ω＝2π D.圆筒转动的角速度可能为ω＝3π 学科网（北京）股份有限公司 $