6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第六章导数及其应用 6.2利用导数研究菡数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 第1课时导数与函数的单调性 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的 关系 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观 2.能利用导数研究函数的单调性。 想象、数学抽象的核心素养. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调 2.在研究多项式函数的单调性与单调区间的基 区间. 础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养。 课前。预习学案 [情境引入] [预习自测] 竖直向下抛一兵乒球，乒乓球的高度h是时间t 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 的函数，横轴表示时间t,纵轴表示乒乓球的高度h, 打“/”，错误的打“X”. 观察乒乓球竖直向上的瞬时速度（只考虑其正负）和 球的高度变化趋势（上升/下降），你能得到什么规律？ (1)函数f(x)在区间(a,b)上都有f'(x)<0,则函数 f(x)在这个区间上单调递减. () (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线 越“陡峭”. () △△ a b c (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正。 导数的绝对值越大. () (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f'(x)= 0,不影响函数在此区间的单调性. () [知识梳理] 2.函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y= [知识点一]函数单调性与其导数正负的关系 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某 f'(x)的图象可能是 个区间(a,b)内， V 导数 函数的单调性 x f(x)>0 单调 f'(x)<0 单调 f'(x)=0 常数函数 2思考如果在某个区间内恒有∫'(x)=0,那么函 数f(x)有什么特性？ [知识点二]」 函数图象的变化趋势与导数值大小的 关系 般地，设函数y=f(x),在区间(a,b)上： 导数的 函数值 绝对值 变化 函数的图象 越大 比较“ ”(向上或向下) 越小 比较“ ”(向上或向下) 3.函数f(x)=e一x的单调递增区间为 ·53· 数学B版·选择性必修第三册 课堂。互动学案 题型一 导数与函数图象的关系 规律方法 [例1]设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图 利用导数证明或判断函数单调性的思路 象如图所示，则导函数y=f(x)可能为 ) 若f(x)>0,则y=fx) 在(a,b)上单调递增 r =f(x) 求函数f(x)的 若f(x)<0,则y=fx) 导数f(x) 在(a,b)上单调递减 若恒有(x)=0,则y=f(x) 是常数函数，不具有单调性 ◇[变式训练] y=f(x) 2.利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx-x,x∈(0，π)； (3)f(x)=x-1 x 规律方法 1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性 的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的 正负即可 2.通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产 生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x 题型三 求函数的单调区间 轴的交点，分析导数的正负. [例3]求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3x2-2lnx; ◇[变式训练] (2)f(x)=x2·er; 1.设f(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y= f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的 (3)f)=x+ 是 题型二 判断或证明函数的单调性 [例2](1)函数f(x)=2x-sinx在(-∞，十∞) 上是 ( 规律方法 A.增函数 B.减函数 利用导数求函数单调区间的步骤 C.先增后减 D.不确定 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求证：f)=e+在0十)上是增函数 (2)求导数f'(x). (3)由f'(x)>0(或f(x)<0),解出相应的x的 范围.当f(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增 函数；当f(x)<0时，f(x)在相应区间上是减 函数. (4)结合定义域写出单调区间 ·54· 第六章导数及其应用 ⊙[变式训练] 2.下列函数中，在其定义域上为增函数的是( 3.设f(x)=e一a.x-2,求f(x)的单调区间. A.y=x B.y=2* C.y=x+cos x D.y=-x 3.若函数f(x)=sinx 2x,则函数f(x)在区间(0， π)上的单调增区间为 ) A(o,君 ( c(o,) D.(0,） 4.求函数f(x)=(x一)e的单调区间. [当堂达标] 1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图 象可能为 ( 01 Y=f'( y=f(x) y=f(x) 4 0 第2课时 函数单调性的综合问题 课堂。互动学案 题型 讨论函数的单调性 规律方法 讨论函数f(x)单调性的步骤 [例1] 讨论函数f(x)= 2ax2+x-(a十1)lnx(a (1)确定函数f(x)的定义域； ≥0)的单调性， (2)求导数f(x),并求方程f(x)=0的根； (3)利用f(x)=0的根将函数的定义域分成若干 汇思路点拨] 求函数的定义域→求f(x) 个子区间，在这些子区间上讨论f'(x)的正 分a>0,a=0 解不等式∫(x)>0或f(x)<0 负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性. 表述f(x)的单调性 ⊙[变式训练] 1.(2020·和平区一模)已知f(x)是定义在R上的函 数，它的图象上任意一点P(x,y)处的切线方程 为y=(x十x。-2)x十（y。-x8-x+2x。),那么 函数f(x)的单调递减区间为 ( A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-∞，-2) D.(1,+∞) ·55·数学B版·选择性必修第三册 (2)y'=(x√1+x2)'=x'√1+x2+x(W1+x2) -√1+x+2 -(1+2x2)W1十x2 V1+x2 1+x2 (3)y=xcos(2x+2)sin(2x+2) =x(-sin 2x)cos 2x=- 1 2xsin 4x, y=(名xsin4)=-4红-os4…4 sin 4x-2.xcos4. 变式训练 2.[解]Dy/=(s血学y=os音·（后）/=3os号 (2)y=(sinx+sin x3)'=(sin3 x)'+(sin 3)' =3sin2.xcos x+cos 3.3x2=3sin2.xcos x++3x2cos x3. (3)y-0=-二1-ya-y 1一x 1-x 2(1-x)√1-x y=n1+a)+z0n1+a了'=lh1+)ti千z [例3](1)A[(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(xo,%)处的切 2 线与直线2x-y十3=0平行.“y=2z心y1=%= 2 2472, 解得xo=1,.yo=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0). .切点(1,0)到直线2x-y十3=0的距离为d= 2-0+3l=5,即曲线y=1n(2x-1)上的点到直线2x √4+1 -y十3=0的最短距离是√5.] (2)解析：令y=f(x),则曲线y=e“在点(0,1)处的切线 的斜率为f(0),又切线与直线x十2y十1=0垂直，所以 f(0)=2.因为f(x)=e“,所以f(x)=(ear)'=ear· (ax)'=aer,所以f(0)=ae°=a,故a=2. 答案：2 母题探究 1.解：由题意可知，设切点P(x0%),则y1x=,=2x0- =2,=1,即切点P(1,0),2-0十m=25,解得 5 m=8或-12. 即实数m的值为8或-12. 2.解：由题意可知，切线方程为y一1=2x,即2x一y十1=0. 令x-0得y=1令y-0得红=-合8=号×2×1 = 变式训练 3.解：由曲线y=f(x)过(0,0)点，可得ln1十1十b=0,故 b=-1. 由f(x)=ln(x+1)+√+I+ax+b,得f(x)=+十 1 ·9 1 2√x+I 十a,则f(0)=1+号十a=号十a,此即为南线 y=f)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意，得号十a 号，故a=0, 当堂达标 1.C[y=8(2021-8x)7·(2021-8x)'=-64(2021- 8x)7=64(8.x-2021)7.] 2.B [y'=(x2)'cos 2x+x2(cos 2x)'= 2xcos2x+x2（-sin2x)·（2x)'=2xcos2x- 2x2 sin 2x. 3.解析：，f(x)=xe-x,∴.f'(x)=ex-xex= 1-2)e,了'(2)=一是根格导数的几何意义知 ∫()在x=2处的切线斜率为=f'(2)=一己 答案：-己 4.C[.f(x)=x4-2x2+3, 由(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0得 x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时，f(x)<0,当-1<x<0时，f(x)>0,当 0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, ∴.x=0,1,-1都是f(x)的极值点.] 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 第1课时导数与函数的单调性 课前预习学案 知识梳理 知识点一、递增递减 [思考] [提示]f(x)是常数函数. 知识点二、快陡峭慢平缓 预习自测 1.(1)√(2)×(3)/(4)/ 2.D[,函数f(x)在(0，十o),(一o,0)上都是减函数，.当 x>0时，f'(x)<0,当x<0时，f(x)<0.] 3解析：f(x)=e-x,f'(x)=e-1.由f'(x)>0得，e -1>0,即x>0.∴f(x)的单调递增区间为(0，十∞). 答案：(0，十∞) 课堂互动学案 [例1]D[由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数 应始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后 负再正，对照选项，只有D正确.] 变式训练 1.D[A,B,C均有可能；对于D,若C为导函数，则y=f(x) 应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y=f(x)应为减函 数，也不符合.] [例2](1)A[:f(x)=2x-sinx,∴.f'(x)=2-cosx>0 在(-∞，十∞)上恒成立，∴.f(x)在(-∞，十∞)上是增 函数.] (2证明f)=t+是f)=e-e=e(e“ 1),当x∈(0，十o∞)时，由指数函数的性质知ex>0,e2x>1, “f)>0,因此画数f)=e+是在0，十∞)上是增 函数 变式训练 2.解：(1)因为f(x)=x3+3x,所以f(x)=3x2+3=3(x2+1) >0, 所以f(x)=x3十3x,函数在R上单调递增. (2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0，π)，所以f(x)=cosx-1 <0, 所以f(x)=sinx一x在(0，π)上单调递减. 3》图为f)=1-子，xE(-∞，0U0,+∞，所以fa 所以，函数f)=1-子在(-0,0和0，+四)上，上单明 递增 [例3][解](1)函数的定义域为(0，十o∞).：f(x)=6x一 子令f0=0,得a=9 3x2=一S(舍去)，当x变化时 3 f(x),f(x)变化如下表 0, 3 f(z) 0 f(z) ∴函数f(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间 为停+ (2)函数的定义域为(-∞，十∞).，(x)=(x2)'ex十 x2(e-x)'=2xe-x-x2e-z =ex(2x-x2),令f(x)=0,由于ex>0,∴.x1=0,x2 =2, 当x变化时，f(x),f(x)变化如下表 x (一∞，0) (0,2) (2,十∞) f(x) 0 f(x) f(x)的单调递减区间为（一∞，0）和(2，十∞)，单调递 增区间为(0,2). (3)函数的定义域为（一∞，0）U(0,+∞). :fx)=1-是令fx)=0,得=-12=1，当x 变化时，f(x),f(x)变化如下表 x (-0∞，-1) -1(-1,0)(0,1) 1(1,+∞) f'(x) + 0 0 f(x) 9 参考答案 .函数f(x)的单调递减区间为（一1,0）和(0,1)，单调递 增区间为(-0，一1)和(1，十∞) 变式训练 3.解：f(x)的定义域为(-o∞，十o∞)，f(x)=ex-a. 若a≤0，则f(x)>0,所以f(x)在(-∞，十∞)上单调 递增。 若a>0,则当x∈（一∞，lna)时，f(x)<0; 当x∈(Ina,+oo)时，f(.x)>0. 所以f(x)在（一oo,lna)上单调递减，在(lna,十o∞）上单调 递增。 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在（一∞，十∞）上单调 递增； 当a>0时，f(x)在（一∞，lna)上单调递减，在 (lna,十∞)上单调递增， 当堂达标 1.C[f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上是减函数，在(1,4) 上为增函数，.当x<1或x>4时，f(x)<0;当1<x<4 时，f(x)>0.故选C.] 2.C[对于A选项，函数y=x4为偶函数，在(0，十∞)上递 增，在（一∞，0）上递减；对于B选项，函数y=2一x在R上 递减；对于C选项，y=l一sinx≥0在R上恒成立，则函 数y=x十cosx在其定义域R上递增；对于D选项，函数 y=-x章在(0，十∞)上递减.故选C.] 3.D[f()=cosx-,由f()>0得c0sx>2,在区 间0，上，自0<晋时，满足c0s>合】 4.解：f(x)=(x-k+1)e2.令f(x)=0,得x=k-1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表： x (-∞，k-1) k-1 (k-1,+∞) f'(x) 0 × f(x) ek-1 刀 所以f(x)的单调递减区间是（一∞，k一1），单调递增区间 是(k-1,+∞). 第2课时函数单调性的综合问题 课堂互动学案 [例1][解]函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=ax +1-a+1=a.x2+x-(a+1) x （)当a=0时，f(x)=己，由了(x)>0,得x>1,由 f'(x)<0,得0<x<1.f(x)在(0,1)内为减函数，在 (1,十∞)内为增函数. (2当≥0时，)-+-1D :a>0,.-a+1<0.由f(x)>0,得x>1,由f(x)< 0,得0<x<1. .f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十∞)内为增函数. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，+ ∞)内为增函数，