5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 2.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列 4.求数列{})的前n项和。 (a,}满足a,号a2a,成等差数列，其前n项和为 12 Sn,且S=31,则 A.a= ) B.a =2"+1 C.S.=32- 2-5 D.Sn=2+4-16 3.在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1十a4= 18,a2+a3=12,则这个数列的前8项之和S8 第2课时 等比数列前n项和的综合应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程 应的问题， 中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用 心素养。 3.能用分组转化方法求数列的和 2.借助分组求和，培养学生的数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] (2)当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1,Sn是n 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、 的正比例函数 计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要 [知识点二]数列求和的基本方法 求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依 (1)公式法 法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？ 直接用等差、等比数列的求和公式求解. 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个 (2)例序相加法 信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个 好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两 2轮转播)…依次下去，假设传的过程中都是传给 项的和相等（或等于同一常数），那么求这个数列 不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了 的前n项和可用倒序相加法. 一个等比数列， (3)裂项相消法 1,3,9,27,81,… 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这 些项可以相互抵消，从而求得其和。 个信息的人数共有多少？ (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求 和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和 法，分别求和而后相加， (5)并项求和法 一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结 合求解，则称之为并项求和.形如an=(-l)”f(n) 类型，可采用并项法求解. [知识梳理] (6)错位相减法 [知识点一]等比数列前n项和公式的函数特征 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等 (1D当公比q≠1时，设A=g二气，等比数列的前n项 比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 和公式是Sn=A(q”一1).即Sn是n的指数型 n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公 函数. 式就是用此法推导的 ·27 数学B版·选择性必修第三册 [预习自测] 3.数列1235g76…,(2m-10+ 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 2,…的 打“√”，错误的打“X” 前n项和Sn的值等于 () (1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2". A+1-是 B.2m2-n+1-1 ( (2)若{an}的公比为q,则{a2n}的公比为g2.( Cn+1- 21-1 D-+1-是 (3)若{an}的公比为q,则a1十a2十a3,a2十a3十a4a3 4.已知函数f(x)=2-3x-1,点(n,an)在f(x)的 十a4十a5的公比也为g. () 图象上，数列{an}的前n项和为Sn,求Sn (4)等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn)} 也是递增数列. () (5)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式， 其g”的系数与常数项互为相反数. () 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3”-1 合，则x的值为 () A.3 B- C.2 D- 课堂。互动学案 题型一等比数列前项和公式的函数特征应用 (2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所 [例1]数列{an}的前n项和Sn=3”-2.求{an}的通 有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 项公式 H 规律方法 汇思路点拨了“可以利用数列表示各正方形的面 S1,n=1, 积，根据条件可知，这是一个等比数列。 已知S,通过an= 求通项公式 Sn-Sn-1,n≥2 an,应特别注意n≥2时，an=S,-S。-1 (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(g”-1),其中 A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. ⊙[变式训练] 1.若{an}是等比数列，且前n项和为Sn=3-1+t,则 t= 规律方法 题型二等比数列前n项和在几何图形中的应用 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数 [例2]如图，正方形ABCD的边长为5cm,取正方 列模型，再利用等比数列的相关知识求解。 形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形 ⊙[变式训练] EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J, 2.把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正 K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续 方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩 下去. 余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将 (1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的 中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此继续下 面积之和； 去，则 ·28· 第五章数列 ⊙[变式训练] 3.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游 产业.据规划，本年度投人800万元，以后每年投入 将比上一年减少号，本年度当地旅游业收入估计为 ① ② ③ 400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用，预 (1)图③中共挖掉了 个正方形； (2)第n个图形共挖掉了 个正方形，这些 计今后的旅游业收入每年会比上一年增长，求n 正方形的面积和是 年内的总投入与n年内旅游业的总收入. 题型三等比数列前项和在实际问题中的应用！ [例3]去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中 14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方 题型四 分组求和法 式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时， [例4]已知数列{an}构成一个新数列：a1,(a2 通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为 了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年 a1),…,(an一am-1),…此数列是首项为1，公比为 起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 }的等比数列。 0.1万吨). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn 思路点拨通过观察，不难发现，新数列的前 项和恰为an,这样即可将问题转化为首项为1，公 汇思路点拔了“由题意可知，每年生活垃圾的总量 比为号的等比数列的前n项和，数列{a)的通项 构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量 公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了. 构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数 列的知识进行计算。 规律方法 解决数列应用题时 一是：明确问题属于琊类应用问题，即明确是等差 数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数 列问题； 二是：明确是求an,还是求Sn.细胞繁殖、利率、增 长率等问题一般为等比数列问题： ·29· 数学B版·选择性必修第三册 规律方法 [当堂达标] 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 (1)应用条件 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 数列或可求和的数列的通项公式相加组成 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 (2)解题步骤 2倍，则塔的顶层共有灯 ) <分组 分析通项公式或对通项公式适当变形， A.1盏 B.3盏 分为可求和数列相加的形式 C.5盏 D.9盏 求和 分别对分组后的数列求前n项和 2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要 相加 相加得原数列的前n项和 的最少天数n(n∈N")等于 1 1 ⊙[变式训练] 4求数列2子4日66…，2m十…的前0项 1 的前n项和为 4.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总 和Sn 量不能超过80吨，该矿区计划从2021年开始出 口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减 少10%. (1)以2021年为第一年，设第n年出口量为a.吨， 试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2021 年最多出口多少吨？(0.9°≈0.35，保留一位小数) 5.4数列的应用 课程标准 素养解读 1.能够将实际问题抽象为数列模型，提高分析问题和解 决问题的能力。 通过把实际问题转化为数学问题，提升学生的数 2.会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公 学应用和数学建模的核心素养。 式解决分期付款和政府支出的“乘数”效应等问题。 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 我们知道，当偿还银行贷款时，需要将本金和利 1.等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行 息一起偿还，分期还款是一种很常见的还款方式，其 贷款本金 本质是将本金和利息分摊到每一期偿还，目前，常见 偿还，每期还款金额= 还款期数 +(贷款本金一已 的分期还款方式，有“等额本金还款法”，“等额本息还 款法”.你能根据这两种还款方式的名称猜出他们的 还本金总颜)×利率，符号表示为a,-》+[A。 不同吗？ (m-1)]Xr. m ·30·又因为q(0,10,所以g=合，所以，=合·（合）” (2)根据题意得6=n,=品， 2n ① 2+7, ② -a+2(合）八 母题变式 1.[解]由题意知cm=n·2”, 所以Sm=1×21+2X22+3×23+…+(n-2)×2n-2+ (n-1)×2m-1+n·2", 2Sm′=1×22+2×23+3×24+…+(n-2)×2m-1+(n- 1)×2m+n·2n+1, 两式相减得：一Sn'=1×21+22+23+24+…+2m-1+2m :21-2二2-·21=1-w201-2,所 以Sm'=(n-1)·2n+1+2. 2.[解]由题意可得： 工=1x号+3x空++2m-10×2 2五.=1x2+3×京++(2m-3)×会+(2m-10 X、1 m+7, 两式相减得 合。=1x号+2×是+…+2×会-(2m-D× 2+7 1 1一 品，所以T.=3是-2=3209 2n2n 2n 变式训练 3.[解]（①）数列}是公差为1的等差数列，：三=41 1n了1 n +n-1, 可得Sn=n(a1十n-1),.a1十a2=2(a1+1),a1十a2十a3 =3(a1+2),且a2=3,a3=5. 解得a1=1.∴.Sn=n2. .n≥2时，an=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1(n=1 时也成立). ∴.an=2n-1. (2)bn=an·3”=(2n-1)·3”,.数列{bn}的前n项和 Tm=3+3×32+5×33+…+(2n-1)·3”,① 3Tm=32+3×33+…+(2n-3)·3"+(2n-1)· 3+1,② ①一②得 ·8 参考答案 -2Tm=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)·3m+1=3 +2×9(381-D-（2m-1）·3+1, 3-1 可得Tn=3十(n-1)·3m+1. 当堂达标 1C[含=1时，S=当21且≠0时，S-是] 2.AC[由a,a4,2a5成等差数列，得3a4=a十2a.设 (a}的公比为9，则242-39+1=0，解得g=7或g=1 (舍去)， 所以S5= 31,解得a1=16.所以数列{an}的 1 2 通项公式为a,=16·(合)=（合），8， 16-(位门-2-点选 1 12 3.解析：a1+a4=a1(1+q3)=18,a2+十a3=a1(q+q2)=12, 两式联立解得9=2或7，而q为整数，所以q=2,1=2, 代入公式求得5=21-？)=510. 1-2 答案：510 解]说8一名十员十多十…+安别有位5一是十 是+…+”2+ 2m2m+’ n=1-1-n 1一2 2n2m+1 =2-=2-”是 2n 第2课时等比数列前n项和的综合应用 预习自测 1.(1)/(2)/(3)√(4)×(5)/ 2解析：C[方法-S=2·31-日=音3n-合 由S,=Ag-1D,得号=G= 1 方法二当n=1时，a1=S,=x- 6 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=2x·3m-2, ,{an}是等比数列，.n=1时也应适合an=2x·3-2, 即2z·31=x-行，解得x=2] 3.A[Sm=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+ (+++++)=+经0- 十 2 】4-会1 12 1 数学B版·选择性必修第三册 4.解：由题得am=2m一3n一1， Sn=a1十a2十…十am=(2+22+…十2m)-3(1十2十3十 …十n)-n =21-2）-3.n(,+1D-n 1-2 2 =2m+1_(3m+5）-2. 2 课堂互动学案 [例1]解析]当n≥2时，am=Sm一Sm-1=(3”-2)- (3”-1-2)=2·3m-1 当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式. 1,n=1, .an= {2·3m-1,n≥2. 变式训练 1.解析：显然q≠1，此时应有Sn=A(q”-1), 又S.=g3+=-子 答案：-日 [例2][解]设正方形的面积为a1,后续各正方形的面积 依次为a2,a3,…,am,“, 则a1=25, 由于第k十1个正方形的顶，点分别是第k个正方形各边的 中点， 所以a+1=2ak, 因此{a}是以25为首项，分为公比的等比数列. 设{am}的前n项和为Sm 11 (1)S10 =50 12 1-(合)”1-器 所以，前10个正方形的面积之和为25575c 512cm2. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1十 a2十a3十…十an+…, 而Sn= 1一2 50×1-(2)”] 随着n的无限增大，（侵）厂将趋近于0S.措趋近于50， 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 变式训练 2.解析：1)73(2)8“，1-(8)”[设第m个图形共 挖掉am个正方形，则1，a2-a1=8,a3-a2=82,,am- 0-1=80-1,所以a.=1+8+82+…十8-1-8”7.(1 故图③中共挖掉了器一-73个正方形，(2)第n个因形 共挖辩了8”7个正方形.由于原正方形的边长为1，则这 ·8 些被挖排的正方形的面报和为1×（得）°+8×（仔）+ x）广++8×付广--力， 1一g 母) 一 [例3]解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨） 构成数列{an},每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万 吨)构成数列{bm},n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 为Sn（单位：万吨)，则an=20(1十5%)m,bn=6十1.5n, Sn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn) =(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=(20×1.05+ 20X1.052+…+20×1.05")-(7.5十9+…6十1.5n) -20X1.05XG-1.059）-(7.5+6+1.5m）=420 1-1.05 X1.05-2-2a-420当n=5时，S,≈68. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约 为63.5万吨. 变式训练 2.解：由题意知第1年投入800万元，第2年投入800× (-号)万元， 第n年授入800×(1-号）》万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为 (-)的等比数列。 所以n年内的总授入S,=800+800×(1-号)十+ 800×1-日)） =40o0×[1-(信)”]万元). 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为400×(1+)万元， 用用而香 第n年旅游业的收入为40×1+是)”万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400， 公比为(1+号)的等比教列。 所以n年内旅游业的总收入 工.=400+40×(1+是)+…+400×(1+)）=1 600×[()”-1小万元). 故m年内的总投入为400×1-（号）]万元， n年内旅游业的总收入为1600×[（号）”-]万元， [例4][解](1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)十…+(an -an-1） =1+3+(得)‘++（号）=2[1-（传）”] (2)Sn=a1+a2十a3十…+an =(1-)+[-(号)]++[-（号）] =2-[1-(号)]-2m-D+(得)。 变式训练 [解]=2+4+6+叶(2a+2) =(2+4+6+…+2m)+(+号++2) 1一2 当堂达标 1.B[设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S?,公 比为g,则由题意知S,=381,g=2,S,=a11-g) 1一9 a1(1-27) 1-2 =381,解得a1=3.] 2.解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题意可知 它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得 212≥10，年2”≥51，而8=32,20=64，aeN,所 以n≥6. 答案：6 2n 1 -2 前m项和5.-(1-)十(1-)十…+(1一2) -(合+++安动)=-1+如 答案：一1十品 4.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1 =a,公比q=1-10%=0.9,am=a·0.9m-1. (210年的出口总量S0-0000)=10a(1-0. 1-0.9 910). S10≤80,10a(1-0.910)≤80， 8 即a≤1-0.g0a≤123.故2018年最多出口12.3吨. 5.4数列的应用 课前预习学案 预习自测 1.B[由题意，设塔尖有a盏灯，根据题意，由上往下数第n 层有2m-1a盏灯，所以一共有(1十2十4十8+16+32十64) a=381,∴.a=3.] ·8 参考答案 2.A[能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2 的数，故am=2+(n-1)35=35n-33.由am=35n-33≤ 202,得≤58十铝n∈N,放此量到的项载为58.] 3.B[由题意，今年12月份的月产量为a(1十p)12,则增加 的比率为1+2)12-a=1十p)12-1.] a 课堂互动学案 [例1][解析]设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1000×1%=60, a2=50+(1000-50)×1%=59.5, … a10=50+(1000-9×50)×1%=55.5, 即第10个月应付款55.5元. 由于{an}是以60为首项，以一0.5为公差的等差数列， 所以有S20=60+(60,19X0.5)×20=1105, 2 即全部付清后实际付款1105+150=1255（元）. 变式训练 解析：(1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意， 得2m+nn2)+5n=70,整理得n2+13m-140=0. 2 解得n=7,n=-20(舍去). 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟。 (2)设n分钟后第2次相遇，由题意， 得2m+n(n,1D+5m=3×70, 2 整理得n2+13n-420=0. 解得n=15,n=一28（舍去）. 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. [例2]解：方法一设小华每期付款x元，第飞个月末付 款后的欠款本利为A玉元，则 A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x, A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084 1.0082x-x,…, A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082 +1)x=0, 5000×1.00812 解得x=1+1.0082+1.008+…+1.0080 =5000×1.00812 1-(1.0082)6 ≈883.5. 1-1.0082 故小华每期付款金额约为883.5元. 方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及 利息为Ak元，则 A2=x; A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082); A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084); …y A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+ 1.00810). 年底付清欠债，