5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 1 32 解析：BCD[当=0时，根据“等差比数列”的 a=3,a=3 解得 或 32 1 定义，有+一a2=0,即有a+2一a+1=0,这与 a=3·a=31 an+lan 分母不为0矛盾，.k≠0，故选项A正确；当am 1 a1= 当 2时9=2，所以0，=号·2，这时号 1时青=1为常 数列{an}为“等差比数列”，且a1=0,故选项B错 生成 -号2a-号所以号aia,+ 误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是 9 9 等差数列又是等比数列，但an+1一an=0,此时数 等差数列，故a,=号 列{am}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故 3 ·20-1 选BCD.] 32 a 14.若数列{a,}满足1一二=0，则称a.}为“梦想数 当 时9=za=3·2,号 1 1 4 3a十a:+9 antl an a6= 3 列”，已知正项数列公}为“梦想数列”，且4十么 ≠2a,不符合题意，故通项公式a,= ·2”-1 十b3=1,则b十b,十b= 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则 [素养培优练] 1 13.(多选)在数列{a,}中，若2+a=k(k为常 an+1 =0，可得。=了，所以，“梦想数列” an an 数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数 《a,是公比为号的等比数列，若正项数列{}为 列”的判断错误的是 ( A.k不可能为0 “梦每袋列，则安所以完=2甲正项 B.“等差比数列”中的项不可能为0 数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1十b2十b3 C.等差数列一定是“等差比数列” =1,因此，b十b十b8=25(b1十b2十b3)=32. D.等比数列一定是“等差比数列” 答案：32 5.3.2 等此数列的前n顷和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式. 数学抽象的核心素养， 2.理解等比通项公式与前n项和公式的关系. 2.在运用等比前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学 运算的核心素养 课前。预习学案 对应学生用书P24 [情境引入] 依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放 国际象棋起源于古代印 的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦 度.相传国王要奖赏国际象棋 粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然 的发明者，问他想要什么.发 同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016 明者说：“请在棋盘的第1个 一2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据 格子里放上1颗麦粒，第2个 以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒， ·46· 第五章数列 [知识梳理] 2.我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列 [知识点一]等比数列的前n项和公式 {a。·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列， {bn}为等比数列，且q≠1. 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 ?思考2.等比数列的前n项和公式的推导还有其 求和 「a(1-g (q≠1) a1-a4 1-q (q≠1)， 他的方法吗？ 1一9 公式 na (q=1) na1(g=1) [提示] 根据等比数列的定义，有：2==4 a az a3 ?思考1.类比等差数列前n项和是关于n的二次 an =q,再由合比定理， an-1 型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项 则得“+a+a十士a=g,即 和Sn? a1十a2十a3+…+am-1 m一a1=q,进 .-an [提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n 而可求S, 的指数型函数 工预习自测] [知识点二]等比数列前n项和的性质 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” 1.数列{an}为公比不为一1的等比数列（或公比为一 (1)求等比数列{a,}的前n项和时可直接套用公式S 1,且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn,Sm一 Sn,Sn一S2n仍构成等比数列. =41一g)来求. 1一q () 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn十q”Sm (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则 (n,m∈N). 其前n项和为Sn=na. () 3.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列 (3)若某数列的前n项和公式为S.=一ag”十a(a≠0， 的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2m项中· S偶 q≠0且q≠1，n∈N),则此数列一定是等比数列. =q; (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3,S,S。成等 ②在其前2n+1项中，S将一S偶=a1-a2十a3一a:十 比数列. 答案：(1)×(2)√(3)/(4)× w名-0十0起oD 1+q 2.等比数列{an}中，公比q=一2，S=44,则a的值为 [知识点三]错位相减法 A.4 1.推导等比数列前n项和的方法 B.-4 C.2 D.-2 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为： Sm=a1+a1q+a1g2+…+a1g-1, ① 解折：A[由5，a（二21=4，符a1=4.] 1-(-2) 用公比q乘①的两边，可得 3.已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn,S qS.=aq+aq+.+aq"-+aq", ② 3,S。=27,则公比g= 由①-②，得(1-q)Sn=a1-a1q”, 解析g=S、S=273=8,所以g=2 3 整理得S.-,1-g)(g≠1. 答案：2 1-9 课堂。互动学案 对应学生用书P25 题型一 等比数列前项和的应用 [解] (1)由题意知a1十q)-30, {a1(1+g+g2)=155, [例1]在等比数列{an》中， a1=180, (1)S2=30,S3=155,求Sm; 解得5或 (9=5 09= 6 (2)a,十a=10a,十a,=号，求S, 19×[1-] (3)a1十an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q: 从而S=子X55或S 11 ·47· 数学B版·选择性必修第三册 a1+a192=10, 解析：A[{an}为等比数列，∴.S2,S,-S2,S6 (2)法一：由题意知 a19+a1g= 5解得 S4也为等比数列，即7，S4一7,91一S成等比数 列，∴.(S-7)2=7(91-S4),解得S,=28或S4= 1,从而S,=a1-9)=31 1=8, -21. 2 1-9 21 :S,=a1十a2十a3+a4=a1+a2+a1g2+a2q2=(aj +a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,.S4=28.] 法二：由(a1十a3)g3=a4十a6,得g3= 8,从而g (2)等比数列{an}中，公比q=3,S=32,则a2十a 1 十a6十…十a8w= 一2 解析：24[设S1=a2十a4十a6十…十a0,S2=a1十 又a1十a3=a1(1十q)=10,所以a1=8,从而S5= a1(1-9）_3 aae…则gg-3.中3，=8 1-9 又5十S=Sw=32专S,=32,解得5=24，即 (3)因为a2a。-1=a1an=128,所以a1,a。是方程x 一66.x十128=0的两根. a2十a4十a6+…+a8w=24.] 从而02，或2，又S=1-9=126,所 规律方法 a,=64,{a1=64. 1-9 1.等比数列前n项和的性质 以g为2减号 q)等比数列{a,}中，若项数为2，则=q:若项 S 规律方法 数为2m十1，则54=g 1.在等比数列{an}的五个量a1q,ann,Sn中，已 S 知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两 (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2 个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体 -Sn,Sm-Sn…成等比数列（其中Sn,S2mn 应用 Sn,S3m-S2m…均不为0). 2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sm=Aq”一A 比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能， (A≠0，q≠0，n∈N“),则数列{an}为等比数 则要分类讨论： 列，即Sn=Ag一A(A≠0，q≠0,9≠1，n∈ ◇[变式训练] N“)台数列{an}为等比数列. 1.在等比数列{an}中. 2.结合等比数列前n项和的性质解题 (1)若a1=2,an=16√2，Sn=112,求n和g (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质 (2)已知S,=1,S8=17,求an 是基础. [解](1)由S,=109,得11V2=E-162✉ (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键 1-q 1-q ◇[变式训练] ∴.q=-2, 2.（1)已知等比数列{an}的公比g=一 叉由a=a1g”1,得16√2=2(-2)”-1，∴n=5. 3,则 (2)若q=1,则S。=2S,不合题意，q≠1， a1十a,十a十a等于 5,=a0-4=1,s=41=g2）=17, a2十a4十a6十ag 1-9 1一9 A.-3 B一吉 C.3 D. 两式湘降臀哥-17=1+gg=2支g=-2, 解析：A[:a2十a4十a6十a8=a1q十a3q十a59+ a=5或a=-5, a,g=q(a1十ag+4,+a,),.a十a十a,+a=1 a2十a4十a6十a8q =-3.] 题型二】 等比数列前项和的性质 (2)设等比数列a,的前n项和为5.，者受=3，则 [例2](1)等比数列{an}的前n项和为Sn,S,=7, 5 S。=91,则S4为 ( ) 8 A.28 B.32 C.21 D.28或-21 A.2 B. 3 C. D.3 ·48· 第五章数列 解析：B[由等比数列的性质：S3,S一S,S一S [母体变式 仍成等比数列，于是，由S6=3S3,可推出S,一S。 1.本题中设c,=”,求数列{c}的前n项和S. 488s爱景] a [解]由题意知cn=n·2”, (3)一个项数为偶数的等比数列{a,},全部各项之 和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列 所以Sn′=1×21+2×22+3×23+…十(n-2)× 的通项公式 2"2+(n-1)×2-1+n·2”, 解：设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数 2S′=1×22+2×23+3×2+…+(n-2)×2"- 项、偶数项之和分别记作S,S偶，由题意可知，S寺 +(n-1)×2"+n·2+1, 十S偶=4S偶，即S寺=3S%.因为数列{an}的项数为 两式相减得：-S′=1×2十22+23十2+…十 偶数，所以有9= 2”-1+2”-n·2+1 2(1=22-n·21=(1-n) 1-2 又因为a1·a1q·a1g2=64,所以a·q3=64,即a ·2+1-2,所以Sn'=(n-1)·20+1+2 =12,故所求通项公式为a,=12×(怎】 2.本题中设dn=(2n一1)an,求数列{dn}的前n项 题型三 错位相减法求和 和T [例3】已知等比数列{a,}满足：a1=2,a1a2ag 1 [解]由题意可得： 言成等差数列，公比g∈(0,1 T.=1x号+3X2+…+(2m-1x 2, (1)求数列{an}的通项公式； 2.=1x+3x++(2-3)X+(2m (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn: [思路点拨](1)根据a1,a2,ag一 成等差数列 1×品， 求得公比q,写出通项公式： 两式相减得 (2)由b.=an可知利用错位相减法求和」 2T,=1x分+2×分+…+2×分-(2m-1D× 1 [解] (1)设等比数列(a,}的公比为q,a1=2, 1- 2” -(2n-1)× 1-3 日成等差数列，所以2a,=a十a: 11 2n+7 -2 因为a1,a2,a3 -2n-1 8, 2-1 婴所以=3 即释4g-89+3=0,解得9=或9=多， =3 2n+3 20 又周为9∈(0,1，所以9=3，所以a.= 2 规律方法 )- 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{am}是等差数列， (2)根据题意得b.=na,=2, n {bn}是等比数列，求数列{abn}的前n项和. =+层+是++ ① (2)注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出S。与qS,的 合s=+是+2+…叶2”， ② 表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差， 2,所以S n 正确写出(1一q)Sn的表达式. ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1 -2-a+2(八 的情况。 ·49· 数学B版·选择性必修第三册 ⊙[变式训练] 2.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列 3 3.已知数列{an}的前n项和为S,数列 S是公差 n (a,}满足a,2a,2a,成等差数列，其前n项和为 为1的等差数列，且a2=3,a=5. S,且S=31,则 (1)求数列{an}的通项公式； Aa,=(（2aa=2 (2)设bn=an·3”,求数列{bn}的前n项和Tm S}是公差为1的等差数列，.S C.S。=32-5。=2+4-16 [解](1)数列 n =a1+n-1, 解析：由a,之a4,2a,成等差数列，得3a:=ag十 可得Sn=n(a1十n-1),∴.a1十a2=2(a1+1),a1+ 2a5.设{an}的公比为q,则2g-3g十1=0，解得q a2十a3=3(a1+2),且a2=3,a3=5. 2或g=1(含去). 解得a1=1..Sn=n2. .n≥2时，an=S。-S。-1=n2-(n-1)2=2n-1(n a1-2 所以S, 31,解得a1=16.所以数列 =1时也成立 1 ∴.an=2n-1. a,的道项公式为,=16·(合)厂=（合）厂5 (2)bn=an·3”=(2m-1)·3”,.数列(bn}的前n 项和 T.=3+3×32+5×33+…+(2m-1)·3",① 1- .3Tn=32+3×33+…+(2n-3)·3”+(2n-1) 3.在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1十a4= ·3+1,② 18,a2十a3=12,则这个数列的前8项之和S8 ①一②得 -2Tm=3+2×(32+33+…+3”)-(2n-1)·3m+1 解析：a1十a4=a1(1十g)=18,a2十a3=a1(g十q) =3+2×9(31-1) 3-1 -(2n-1)·3+1, =12,两式联立解得g=2或2，而9为整数，所以9 可得T.=3十(n-1)·3"+1. =2a,=2,代入公式求得S,=21-22=510. [当堂达标] 1-2 答案：510 1.等比数列1，x,x,x3,…的前n项和Sn等于 ( 4.求数列{”}的前n项和. 12" A [解] 设S.=2十 十十+，则有5 2+3 1-x 22 2 2为 2+7, 们，工，x≠1且x≠0 C.1-x 两式狗，得88=++ 2+…+2 n,x=1 1x”- 2n+7 -,x≠1且≠0 1-x n,x=1 解析：C[当x=1时，Sn=n;当x≠1且x≠0时， 1-2 2=1 202+7 S=2- -”=2- 2 2”1 ·50· 第五章数列 课时。素养提升 对应学生课时P14 [基础达标练] 解析：BC[若Sn=n2+1,当n≥2时，an=2n-1, 1.已知数列(a,}满足a+1=3a(n∈N),且a,=2, a1=2不满足a,=2n-1,故A错误.若Sn=3”-1, 则a1十a2十a3十…十an= ( 2·3”1,n≥2 A.3”-1 B.3" 则an= a1=2满足an=2·3”-1,所 (2,n=1 C.3”-1 D.3” 以{an}是等比数列，故B正确. 解析：A[由an+1=3an(n∈N)可得数列{an}为 2(1-3) 若a}是等差数列，则S9Ca十a)=9a,故C 等比数列，所以a1十a2十a3十…十an 2 1-3 正确」 3”一1，故选A.] 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=2,S6 S1·S3-S号=a(1+q+g)-a(1+q)2=-ag< 0,故D错误.故选BC.] -S3=4,则Sg-S6= A.8 B.4 6.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么 C.2 D.1 S1- 解析：A[(S。-S3)2=S3(S-S6),∴.S,-S。 解析：根据等比数列性质得S、S=g…S」 1 =8.] 3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2十a5=0,则 =2,.S1w=33. 是华于 答案：33 7.(2021·广东深圳市·明德学校高二期末)在等比 A.11 B.5 数列{an}中，a2=2,a6=8a3,Sn是数列{an}的前n C.-8 D.-11 项和.若Sm=63,则m= 解析：D[由8a2+a=0得8a1q十a1g=0,,a 解析：设{an}的公比为q,则a3q3=8a3q=2,a1= ≠0,9≠0…g=-2,则g=01(1+2) S2a1(1-22) =-11.] 1.8=二号-2-1=63m=6 4.已知数列{an}满足3a。+1十a。=0,a2=- 答案：6 {an}的前10项和等于 8.在数列{an}中，设f(n)=an,且f(n)满足f(n十1) B.}1-3) -2f(n)=2"(n∈N*),且a1=1. A.-6(1-3-1) C.3(1-31) D.3(1+310) (1)设6，=2品证明数列6，为等差数列： 解析：C[由3a,+1十a.=0,得士= 合故数列 (2)求数列{an}的前n项和Sn 解：(1)证明由已知得am+1=2am十2”，得bn+1= {an}是公比g=- 的等比数列.又a2=一 3,可 空-÷+1=6+1 2” 得a1=4.所以S10 (1 .bn+1-bn=1,又a1=1,.b=1, 1- .{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 3 310).] (2)由1知，6=2是=a,=0…2 5.(多选)已知数列{an}的前n项和为S。,下列说法正 确的是 .Sn=1+2×2+3×22+…+n·2”-1, A.若Sn=n2十1，则{an}是等差数列 两边乘以2，得2Sn=1×2+2×22+…+(n-1) B.若Sn=3”-1,则{an}是等比数列 ·21+n·2", C.若{an}是等差数列，则S,=9a 两式相减得-Sn=1十21+2+…+2-1-n·2”= D.若{an}是等比数列，且a1>0,q>0,则S1·S 2"-1-n·2”=(1-n)2”-1, >S; .Sn=(n-1)·2+1. ·51· 数学B版·选择性必修第三册 [能力提升练] 9.已知函数f(x)=logx,给出三个条件：①f(an) 解析：由题意得S。= (】]1 2:②fa,)=:(3)fa,)=7从中选出-个能使 1十2 数列{an}成等比数列的条件，在这个条件下，数列 ()可得S<5<5,所以<S<号，所 .3 {an}的n前项和Sn= ( ) 3t☑2 A.3"-1 B.2+1-1 以 ,即 C.2(3-D D8-1D 会4 解析：D[已知函数f(x)=logx,定义域为(0， 答案[2] 12.已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等 十o∞).若选①，则f(a)=loga.=2,a,=32°， 比数列，a1=b2=1,再从①a2十a4=10:②bb,=4; =3 =31-g=3不是常数，则{an}不 ③b,=a这三个条件中选择 an 321 两个作为已知， (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的 是等北数列：若选@，则f八a,)=o照a,=a 前n项和. =3,0=3 解析：选择条件①和条件② =3市六不是常数，则{an}不是 3 (1)设等差数列{an}的公差为d, 等比数列；若选③，则f(an)=log3an=n,.an=3”, %,1, (a2十a4=2a1+4d=10. .01=3t1 =3+1)”=3是常数， 解得：a1=1,d=2,.an=1+(n-1)×2=2n-1, an 3” n∈N. 则{an}是以a1=3为首项，以3为公比的等比数 (2)设等比数列{bn}的公比为q,g>0, 列，到5-2-g-1. 么=69：解得6=方9=2 bb=b所g=4. 10.(多选)已知等比数列{an}公比为q,前n项和为 Sn,且满足a6=8ag,则下列说法正确的是( ) 设数列{bn}的前n项和为Sn,∴Sn= 1-2 A.{an}为单调递增数列 1-2 B晋9 2- 选择条件①和条件③： C.S,S6,S成等比数列 (1)设等差数列{an}的公差为d, D.S.-2a,-a /011, 解析：BD[由a6=8a3,可得qa3=8a3,则q=2, (a2+a4=2a1+4d=10. 当首项a1<0时，可得{an}为单调递减数列，故A 解得：a1=1,d=2..an=1+(n-1)×2=2m-1. 错误；由三-1-29 (2)b,=a=9,设等比数列{bn}的公比为q,q>0. 75-2=9,故B正确：假设S,SS b2=b19=1, b,=b1g2=9. 解得么=3g=3 成等比数列，可得S=S。×S,即(1-2)2=(1 2)(1-2)不成立，显然S,S6,S。不成等比数 1(1-3) 列，故C错误；由{an}公比为q的等比数列，可得 设数列h,}的前n项和为S,S。= 1-3 S.=a1a9=204=2a.-a1,∴5.=2a.- =3”-1 1-q -2-1 6 选择条件②和条件③： a1,故D正确；故选BD.] (1)设等比数列{bn}的公比为q,q>0, 11.以a1为首项、以g为公比的等比数列{an}满足a =3 号9=一之：设数列a}的前n项和为8若≤ 么=691，解得6=合9=2a,=6 162b:=biq=4. S,≤3t恒成立，则实数t的取值范围是 合×7=4 ·52· 第五章数列 设等差数列{an}的公差为d,∴.a=a1十4d=4,又 解析：由题意，a1=20,a2=20十19-2=37，a3= 0=1,故d=子 20十19+18-4=53，则an=20+19十18+…+ a,=1+0m-10x是-子+子 (21-n)-2(m-1)=n41,m-2(n-1） 2 (2)设数列{bn}的前n项和为Sn,由(1)可知Sn -7+37n+4(1≤n≤18). 2 21-2 1-2 =2-11 答案：53cm -n2+37n+4(1≤n≤18，n∈N*) 2 2 [素养培优练] 14.对于数列{an},定义数列{an+1一an}为数列{an}的 13.粗细都是1cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某 “差数列”，若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式 处，最上面圆环的外直径是20cm,每个圆环的外 为a+1一an=2,数列{an}的前n项和为S。,则 直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm,则从上 log(Sn+2)的最大值为 向下数第3个环底部与第1个环顶部距离是 解析：由题意得an+1一an=2”,则an一an-1=2-, ;记从上向下数第n个环底部与第一个环顶 部距离是amcm,则an an-1-a-2=2"2,an-2-aa=20-3,…,a2-a1= 2,将以上各式相加，得，am一a1=21十2”-2十23 +…+2=2X-2=2°-2a,=2,a也 1-2 造合，S。=2+2+22+…+2”=2X(1-2) 1-2 2m+1-2,Sn十2=2+1≥4. 则1og号(S,+2)的最大值为1og号4=-2. 答案：一2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程 应的问题， 中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用 心素养 3.能用分组转化方法求数列的和 2.借助分组求和，培养学生的数学运算素养。 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、 个信息的人数共有多少？ 计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要 求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依 法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？ 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个 信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个 [知识梳理 [知识点一]等比数列前n项和公式的函数特征 好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第 2轮转播)…依次下去，假设传的过程中都是传给 )当公比4≠1时，设A=,”等比数列的前川项 不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了 和公式是Sn=A(g”-1).即S。是n的指数型 一个等比数列， 函数. (2)当公比g=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1,Sn是n 1,3,9,27,81,… 的正比例函数. 53·