模块双测卷 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 学 同步单元双测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的： 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,则 S5= ) 整 A.5 B.25 C.35 D.50 2.若函数f(x)= -f'(1)·x2-x,则f'(1) 的值为 的 A.0 B.2 C.1 D.-1 3.已知等比数列{a}中，a1十a,=2a,一ag=4’ 1 h 则a4= C.-4 D.4 4.设曲线y=ax一e一1在点x=1处的切线方程为 y=2x,则a= ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1十a 毁 4,a2十a4= .- S 1 A. B. 8 C.2 D.9 6.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x) 茵 3x3+a2+(a2-1)x十1(a∈R)的导函数y =f'(x)的图象，则f(一1)等于 长六 C 或号 D 模块双测卷 A卷·基础达标卷 7.定义：在数列{a.}中，若满足+-0+中=d(n an+1 a ∈N“,d为常数)，称{an}为“等差比数列”.已知 在“等差比数列”{an}中，a1=a2=1,a3=3,则 a21等于 () a2019 A.4×20192-1 B.4×20182-1 C.4×20172-1 D.4×2017 8.已知函数f(x)=3十41nx一x一a-1在区间 (0,2)上至少有一个零点，则实数a的取值范围 是 () A.[1,+∞) B.[2,4ln3-2) C(2,4n2-） 2 D.[2,+∞) 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有 选错的得0分.) 9.已知递减的等差数列{a,}的前n项和为S.,S =S,,则 () A.a6>0 B.S6最大 C.S13>0 D.S1>0 10.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则下 列说法正确的是 () A.(一1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间 B.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间 C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值 11.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方 形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步.构造数列1…日·了…日 第二步，将第一步中数列的各项乘以，得到的 新数列记为a1,a2,a3,…,an 则下列运算正确的是 ) A.a aztazas+..+aa,=n(n-1) B.a1a2十a2十a3十…+an-lo=n C.a。-1-a.=n 1 D.d.--d.-" 12.已知函数f(x)的定义域[一1,5]，部分对应值 如表，f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所 示，下列关于函数f(x)的结论正确的是 f(x) 2 A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]上是减函数 C.若x∈[一1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4 D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有4个 零点 题号 1 2345 678 9101112 答案 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分， 请把正确答案填在题中横线上.) 13.若函数f(x)=x十alnx不是单调函数，则实 数a的取值范围是 14.已知数列{an}为等比数列，S.为其前n项和，n ∈N°，且a1+a2十a3=3,a4+a5+a6=6,则 S12= 15.已知f(x)=2x3-6.x2+3,对任意的x∈[-2， 2]都有f(x)≤a,则a的取值范围为 16.数列{an}是等差数列，3a5=8a12>0,数列{bn} 满足bn=a+1an+2a+3(n∈N),设S。为{b,} 的前n项和，则当S,取得最大值时，n的值等于 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知数列{an}各项均为正 数，其前n项和为Sn,且满足4S。=(an十1)2. (1)求数列{a.}的通项公式. (2)设。求数列b,的前”项和T。 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x一 k)e, (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 19.(本小题满分12分)在①a1+a3=b3,②b2+S =一b,③a1十a,=-4这三个条件中任选两 个，补充在下面的问题中.若问题中的存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由， 设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项 均为正数的等比数列，设前n项和为Tn,若 ,且b1=23,T4=5.是否存在大 于2的正整数m,使得4S1,S3,Sm成等比 数列？ (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 答计分.) 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinx一 xcos x-x,f(x)为f(x)的导数. (1)证明：f'(x)在区间(0，元)存在唯一零点： (2)若x∈[0，元]时，f(x)≥ax,求a的取值 范围. 35 21.(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1=1, a+1an十3m∈N) 1)证明：数列日十}是等比数列 (2)若数列{b,}满足b,=(3·a,求数列 2” {bn}的前n项和Ta 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ae一x- a(e为自然对数的底数) (1)求函数f(x)的极值： (2)问：是否存在实数a,使得f(x)有两个相异 零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在， 请说明理由. 36数学B版·选择性必修第三册 令()=(3x-1D(x-1D=0得x=号或x=1 :xe(o,]p(x)<0心p()在(0，]上单 当x在[0,2]上变化时，f(x),f(x)的变化情况如 调递减， 下表： ..p()min= ()子∴a<子 0K0, 1 3 31 1 (1,2)2 (2)证明：f(x)=-sin+2x, "(r) + 0 0 + 1 'g(a)=2 cos x-a sin x+g()= f(z)1 7 27 1 所以，当x∈[0,2]时，函数f(x)的最大值为f(2) =3sinx-x cos x+。 =3, 则g"(x)=-4cosx十r sin x,则g"(x)=5sinx十x 函数f(x)的最小值为f(0)=f(1)=1. cos (Ⅲ)因为f(x)=x3-2ax2+a2x+a, 所以f(x)=3.x2-4a.x十a2=(3.x-a)(x-a). 当x(0,)时g(x)>0, 令f()=(3x-a)-a)=0得x=号或x=a, 六g()为增离数，且g(0)=-4<0.g(受）=受 依题意，函数f(x)存在极大值和极小值，所以a≠0. >0, （1)当a>0时，a>号，当x变化时，f(x),f(x)的 存在唯一的∈(0，受)使得g"(x)=0, 变化情况如下表： 六当x∈(0，z)时，g()<0:当x∈(0，)时 00, a g"(x)>0. 3 3 (a,十∞) g(x)在(0，ao)上单调递减，在(0）上单调 (x) 0 0 递增， f(x) 极大值 极小值 又“80)=2>0g(受）-号<0， 所以函教f)的板大值为f(侣) 27 十a,极小值 存在唯一的t∈(0，x0),使得g'(t0)=0, 为f(a)=a. 当x∈(0，o)时，g(x)>0:当x∈(（，)时， 依题意有f(）-f(u) 4a3 27 +a-a≤4，所以a≤ g'(x)<0 3.所以a∈(0,3]. ·g(x)在(0，o)上单调递增，在(o)上单羽 (i)当a<0时，a<分当x变化时，f(x),f(x)的 递减。 变化情况如下表： :80)=2>0g(受）=-<0， a a号 3 (学+∞) ·存在唯一的∈(o,受）使得go)=0, f(x 0 0 gx)在(0，受）上存在唯一零点。 f(x) 极大值 极小值 模块双测卷A卷·基础达标卷 所以函数f(x)的极大值为f(a)=a,极小值为 1.B[由题意可知，{an}为等差数列，所以S f()努+ 5(a1+a5)_5×2a3-=5X2X5=25.] 2 2 依题意有fa)-f(学)）=a-(号+a)≤4，所以a 2.A[fx)=3-f)·r-f)=2 ≥-3. 2f(1)·x-1,∴.f(1)=1-2f(1)-1,.f(1) 所以a∈[-3,0).综上所述，a∈[-3,0)U(0,3]. =0.] 22.解：(1)当x=0时，f(0)=0≥a×0-0成立， 当x∈(0，]时，f(x)≥ar2-sinx台a≤ 3.A[等北教到a,中，a1十a=分a1-ag=是， [a1+a19=2 十4 设p(x)=+子，x∈(0，受]则(x) a1-ag2=3 ,解得a=1g=-a1=a19 4 =二c sin c-cosx =1x(2)°=-合] 4.D[y'=a-e2-1,:y|x=1=a-1=2,则a=3.] 58 参考答案 5.D[设等比数列{an}的公比为g,由题意可知，q≠1. 12.AB[由f(x)的图象，当-1≤x<0或2<x<4, 5 a1(1-g6) f(x)>0,函数f(x)为增函数，当0<x<2或4<x q= a2十a4 2 =2,则 1-g 1-g ≤5，f(x)<0,函数f(x)为减函数，即当x=0时，函 a1+a3 a1(1-g3)1-q 数f(x)取得极大值，当x=4时，函数f(x)取得极大 1-q 值，即函数f(x)有两个极大值，点，故A正确，函数 +g3=1+8=9.] f(x)在[0,2]上是减函数，故B正确，作出f(x)的图 6.D[因为导函数f(x)=x2+2ax+(a2-1)(a∈R), 象如图：若x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满 所以导函数的图象是开口向上的抛物线，所以导函数 足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误，由y= 图象是从左至右第三个，所以a<0,又f(0)=0, f(x)-a=0得f(x)=a,若f(2)≤1，当1<a<2 即a2-1=0,所以a=-1,所以f(-1)=号×(-1 时，f(x)=a有四个根， +(-1DX(-1D+1-DX(-1D+1=3] 7.A[由题知”}是首项为1，公差为2的等差数 t an 列，则”出=21-1，所以2021=202.2020=(2× -2-10 2345x an a2019a2020a2019 2020-1)(2×2019-1)=(2×2019+1)(2×2019 若1<f(a)<2,当1<a<2时，f(x)=a不一定有四 -1)=4×20192-1.] 个根，有可能是2个，故函数y=f(x)一a有4个零 8.A[fx)=3+4nx-x-a-1,则a十1=3+4nx 点不一定正确，故D错误， y ,令g)=2+hg)=-是+是-1 =二2+4=3=二-3)=卫，可得g(x0在(0， 1)递减，在(1,2)递增，x→0时，g(x)→十0∞，g(1)= -2-1012345 2,所以函教f(x)=3十41nx-x-a-1在区间(0， -1 故正确的是A,B.] 2)上至少有一个零点转化为y=Q十1与g(x)=3十 l3.解析：因为函数f(x)=x十alnx不是单调函数，所以 x 4lnx-x在区间(0,2)上有交，点，即a十1≥2，∴.a 函教f(x)有板值点，即f()=1+兰在(0，+∞)上 ≥1.] 9.ABD[因为S5=S7,所以S7-S5=0,即a6+a7=0, 有零点，即-a>0,∴.a<0. 答案：(-0∞，0) 因为数列{an}递减，所以a6>a7则a6>0,a7<0,故A 正确：所以S6最大，故B正确： 14.解析：可以将每三项看作一项，则也构成一个等比数 所以S6-a十a,)X13=13a,<0,故C错误；所以 列.所以S12=3+6+12+24=45,故答案为45. 2 答案：45 15.解析：由f(x)=6.x2-12x=0得x=0或x=2, S11= a十am)X1=11a6>0,故D正确.] 2 在区间[一2,0)上f(x)>0,f(x)单调递增：在(0,2) 10.ABD[由函数y=f(x)的导函数的图象可知，当x 内时f(x)<0,f(x)单调递减. <-1或3<x<5时，f(x)<0,y=f(x)单调递减： 又f(-2)=-37,f(0)=3,f(2)=-5,.f(x)max 当x>5或-1<x<3时，f'(x)>0,y=f(x)单调递 =3, 增.所以函数y=f(x)的单调递减区间为（一∞，一1）， 又f(x)≤a对于任意的x∈[-2,2]恒成主， (3,5),单调递增区间为(-1,3)，(5，十∞).函数y a≥3，即a的取值范围是[3，十o∞) f(x)在x=一1,5处取得极小值，在x=3处取得极 答案：[3，十∞) 大值.] 16.解析：：3a5=8a12>0,.3a5=8(a5+7d),a5= 56 1.AC[由题唐得，新数列为宁，号冬…，升 d>0,,.d0 故a1a2十a2a3十a3a4十…十an-1an 又a6=a5+11d=-号>0，ag=ag+12d=<0,n ≥17时，an<0. =++++mx】 1 .a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18>…,b1> b2>b3>…>b13>0>b14, b15=a16a17a18>0,b16=a17a18a19<0,n≥16，b,n 0. =-）-1a1-4=n n≤13时，S,w>0. S14=14(61+b14) 2 =7(b1+bg)>0. 59 数学B版·选择性必修第三册 a15十a18= dx2+21= 5d<0,b14+b1 1)当选取的条件为①②时，有十a,=8 (4+S5=-16' 所 =a16a17(a15十a18)>0. 故S15>S14,所以Sw中S15最大. 以2u1+2d=8 答案：15 la1+2d=-41 17.解：(1)，4Sn=(an十1)2，∴.4a1=(a1十1)2，解得a1 解得1=12所以a,=-8m+20.5,=一4n2+16m =1, \d=-8 当n≥2时，由4S,=(a,十1)2①可得，4Sw-1=(aw-1 所以S1=12,S3=12,Sm=-4m2+16m, +1)2②， 若4S1,S3,Snm成等比数列，则S号=4S1Sm, ①-②：(an+an-1)(an-aw-1-2)=0, an>0,.an十a4-1≠0，an-an-1-2=0,即.an 所以4m2-16m+3=0,解得m=2士 2 -a-1=2, 因为m为正整数，所以不符合题意，此时m不存在. .{an}是以a1=1为首项，以d=2为公差的等差 数列， (2)当选取的条件为①③时，有1十a?=8 .an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1 la+a,=-4'所 综上所述，结论是：an=21-1. 以2a1+2d=8 (2a1+8d=-4 1 (2)由(1)可得b,= (21-1)(21+1D 解得/a1=6 2所以a,=2m+8,S,=n2十7n 2(2） 所以S1=6,S3=12,Sm=-m2+7m,若4S1,S3,Sm 江=4+++6=[(-号)十（合号）+ 成等比数列，则S号=4S1Sm, 所以m2-7m十6=0，解得m=6或m=1(舍去) (点门（-）片蟒 此时存在正整数m=6满足题意， 上所迷，Tm一2n十了 77 (3)当选取的条件为②③时，有1十=-4 14+S=-16所 18.解：(1)由f(x)=(x-k)e2,得f'(x)=(x-k+ 以/2a1+8d=-4 1)e, la1+2d=-4 令f'(x)=0,得x=k-1. f(x)与f'(x)随x的变化情况如下： 解得1=一6 d=1 所以a,=1-7,S,=0213别 2 -0∞，k-1) k-1 (k-1,+o∞) 所以S1=-6,S,=-15,Sm=m213m、 2 f'(x) 0 若4S1,S3,Sm成等比数列，则S=4S1Sm,即225= -24Sm, f(x) cet-1 所以4m2-52m+75=0,解得m=13±V9 所以，f(x)的单调递减区间是（一∞，k一1）；单调递 2 增区间是(k一1，十∞. 因为m为正整数，所以不符合题意，此时m不存在. (2)当k-1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单 20.(1)证明设g(.x)=f'(x),则g(x)=cosx十rsin x 调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0) -1,g'(x)=xcos z. =一k,当0<k-1<1,即1<k<2时，由(1)知f(x) 在[0，k一1)上单调递减，在(k一1,1]上单调递增. 当x∈(0，受）时g()>0:当x∈（受x）时g) 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k一1)= 0 -ek-1. 当k一1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调 所以gx)在(0，受)上单调造增，在（经）上单调 递减， 递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1 k)e. 又g0)=0,g(受）>0，gx)=-2故g()在(0x) 综上可知，当k≤1时，f(x)min=一k;当1<k<2时， 存在唯一零点 f(x)mim=-e-1；当k≥2时，f(x）min=f(1)=(1- 所以f(x)在区间(0，π)存在唯一零点. k)e. (2)解由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0. 19.解：设{au}的公差为d,{bn}的公比为q(q>0), 由(1)知，f(x)在区间(0，π)只有一个零点，设为x0, 由题唐知g≠1，所以T=0=5T, 且当x∈(0，x0)时，f(x)>0:当x∈(x0,x)时， 1-q f(x)<0,所以f(x在(0，x0)上单调递增，在(xo, -b1(1-g2) π)上单调递减 5 1-q 又f(0)=0,f(π)=0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0. 整理得1十g2=5,因为q>0,所以9=2，所以b,n 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥a.x =2”. 因此，a的取值范围是（-o∞，0]. 60 参考答案 21.解：)证明：由aua13n∈N*)…知十字 令函数h(a)=a-lna(a>1),易得h'(a)=1- an+l 0(a>1), 所以h(a)>h(1)=0,所以a>lna,即-a<-lna. 又+-+号}是以受为首项8为公 又f-a)=ae“>0,所以函数f(x)在(-a,-lna) 比的等比数列 上也有一个零点，所以，当Q>1时，函数f(x)有两个 相异零点 (2)由(1)知1+ 3 .a= 2 3-1 综上所述，当a∈(0,1)U(1,+)时，函数f(x)有 两个相异零点. bm2 模块双测卷B卷·素养提升卷 1=1x+2x分+3x+…+a-1 2-2十 1.A[:等差数列{an}中，a2=1,a3十a5=4, a2=a1+d=1 nX2-' (a+2d+a1+4d=4 解得d=名1=7d该数 27+2 22++(n-1X 1 27+nX 21 列公差为2] 两式相减得安++0+…十 1 2T-nX 2.B[f(x)=-2x+a+2=-2x2+ax+2 x 2 2-1+2 要使函数f(x)=-x2+ax+2lnx在(1,2)上有最 2 大值， T=4导 则函数f(x)=-x2+ax+2lnx在(1,2)上有 2M-1· 极大值. 22.解：(1)因f(x)=ae-x-a,所以f'(x)=ae-1. 即方程-2x2十ax十2=0有两个不等实根，且较大根 ①当a≤0时，f'(x）=ae-1<0, 在区间(1,2). 所以x∈(-o∞，十∞)时，f'(x)<0,所以函数f(x) /-2×12+a·1+2>0 在（一∞，十∞）上单调递减.此时，函数f(x)无极值. 解得0<a<3.] ②当a>0时，令f(x)=aex-1=0,得x=-lna, ÷{2×20+a2+20 3.D[设数列{a}是公差为d,(d≠0)，首项为a1,因为 当x∈(-o∞，-lna)时，f(x)<0,所以函数f(x)在 (-o∞，-lna)上单调递减； 7a,+7x(?-1Dd a+a?+7=0,所以a1+a1+6d 2 当x∈(-lna,十o∞)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在 (-lna,十oo)上单调递增. 此时，函数f(x)有极小值为f(-lna)=lna一a十1， =0,所以3a1十9d=0,所以a1=-3d,所以 无极大值. a1+4d 子 d (2)存在实数a,使得f(x)有两个相异零点. 6a1+6x9-Da 由(1)知：①当a≤0时，函数f(x)在(-∞，十∞)上 2 单调递减； 又f(0)=0,所以此时函数f(x)仅有一个零，点： 4A[函量的务数为y=中61=1-6：切点为 ②当0<a<1时，-lna>0. -b,0),代入y=x-a,得a十b=1,a、b为正实数， 因为f(0)=0,则由(1)知f(-lna)<0;取 f-2ha)=日+2ha-a(0<a<1,令ga)= a∈0.则2千号。令ga)=3。则ga a2 a(6-a +2In a-a, (3-a) >0,则画载风@)为增西最，∴行(0， 易得g(aw)=-+2-1=-a-1)2 -a2a a2 <0,所以g 2 (a)在(0,1)上单调递减，所以g(a)>g(1)=0, 5.C[设最顶层有x盏灯，则最下面一层有(x十8)盏， 所以f(-21na)=1+21na-a>0. a +8m=18x,8=18x-2,8n=12x=号x+(x十 此时，函数f(x)在(-lna,-2lna)上也有一个 n)+(x+2n)+(x+3n)+…+(x+8n)=126,9x+(1 零点. 所以，当0<a<1时，函数f(x)有两个相异零，点. +2+3++8)n=126,9.x+36m=126,9× 31+36n ③当a=1时，-lna=0,f(x)≥f(0)=0,此时函数 =126,61+361=126,42n=126,n=126÷42=3,x f(x)仅有一个零点. ④当a>1时，-lna<0,因为f(0)=0,则由(1)知f 3X号-2（盖，所以装下面-层有灯13×2=26（差） (-lna)<0: 故选C.] 61