5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，通过钢管堆放问题引入倒序相加法推导公式，系统梳理Sn=n(a1+an)/2与Sn=na1+n(n-1)d/2的应用，衔接最值问题（二次函数性质及正负项分界）与实际应用，构建“概念推导-公式应用-问题解决”的学习支架。 资料以生活实例驱动公式推导培养逻辑推理，通过一题多解（如最值问题的配方法与正负项法）和变式训练提升数学运算，实际应用（房地产利润问题）渗透数学建模。课中例题变式助教师突破重难点，课后易错案例与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

5．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学业标准 素养目标 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点、难点) 3．会利用等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式解决实际问题最值问题．(重点、易错点) 1．借助等差数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数学运算核心素养． 2．通过等差数列前n项和的学习，培养数学运算、逻辑推理核心素养． 3．借助等差数列前n项和的最值研究，考查数学建模核心素养． [对应学生用书P16] 导学1　等差数列的前n项和公式 如图所示，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． 　假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？ [提示]　(4＋9)×6＝78. 　原来有多少根钢管？ [提示]　×78＝39. 　能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? [提示]　Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝. ◎结论形成 等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝＝__na1＋d__． 导学2　等差数列前n项和的最值 　将等差数列前n项和Sn＝na1＋d变形为Sn关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？ [提示]　由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn相应的函数是二次函数，且常数项为0. 　类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ [提示]　由二次函数的性质可以得出：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． ◎结论形成 1．在等差数列{an}中， (1)当a1＞0，d＜0时，Sn有最__大__值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； (2)当a1＜0，d＞0时，Sn有最__小__值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． 2．因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看： 当d＞0时，Sn有最__小__值； 当d＜0时，Sn有最__大__值； n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N＋.(　　) (2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”．(　　) (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则a3＋a4＋a5＝S5－S2.(　　) (4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列也是等差数列．(　　) 解析　(1)n＞1且n∈N＋. (2)等差数列具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征，可用倒序相加法． (3)由数列的前n项和的定义可知此说法正确． (4)设数列{an}的首项为a1，公差为d， 则＝＝a1＋d， ∴－＝－＝d， ∴数列为等差数列． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　) A．12　　　　　　　　　 B．24 C．36 D．48 解析　在等差数列中，S10＝＝120， ∴a1＋a10＝24. 答案　B 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝______． 解析　S19＝＝＝19a10＝19×10＝190. 答案　190 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝________． 解析　因为a1＋a18＝a2＋a17＝20， 所以S18＝＝＝180. 答案　180 [对应学生用书P17] 题型一　与前n项和有关的基本量的运算　(一题多解) 　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝5，a10＝95，求S10； (2)已知a1＝100，d＝－2，求S50； (3)已知d＝2，S100＝10 000，求a1与an； (4)已知S5＝24，求a2＋a4. [解析]　(1)S10＝＝＝500. (2)S50＝50a1＋d＝50×100＋×(－2)＝2550. (3)因为S100＝100a1＋×2＝10 000， 所以a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (4)方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝24，得5a1＋10d＝24，即a1＋2d＝， 所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d) ＝2×＝. 方法二　由S5＝＝24，得a1＋a5＝.所以a2＋a4＝a1＋a5＝. a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可“知三求二”，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． [触类旁通] 1. (1)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．－2　　 B．　　　 C．1　　　 D．2 (2)(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 解析　(1)由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝. (2)设等差数列{an}的公差为d，则由题可得⇒ 所以S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×(－3)＝－15. 故选B. 答案　(1)B　(2)B 题型二　等差数列前n项和的最值　(一题多解　一题多变) 　[教材例3提升]已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ [解析]　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)方法一　a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋·(－2) ＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2＜0， ∴{an}是递减数列． 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. ∵n∈N＋，∴n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0. ∴S5最大． [母题变式] 1．(变条件)若题中条件变为“等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11”，则n＝________时，Sn取最大值． 解析　方法一　S3＝S11，所以其对称轴为n＝＝7，知n＝7时Sn取最大值． 方法二　因为S3＝S11，所以a4＋a5＋…＋a11＝4(a7＋a8)＝0，又a1＝13＞0，故a7＞0，a8＜0，所以n＝7时，S7最大． 答案　7 2．(变条件)若题中条件变为“等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 020＞0，S2 021＜0”，则n＝______时，Sn取最大值． 解析　由等差数列的性质知，S2 021＝2 021a1 011＜0， 所以a1 011＜0， 又S2 020＝＝1 010(a1 010＋a1 011)＞0， 所以a1 010＋a1 011＞0，而a1 011＜0，故a1 010＞0. 因此当n＝1 010时，Sn最大． 答案　1 010 [素养聚焦]　本题主要考查求等差数列前n项和的最值，突出考查逻辑推理和数学运算核心素养． 一般地，在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则其前n项和Sn有最大值；若a1＜0，d＞0，则其前n项和Sn有最小值，具体求解方法如下： (1)利用Sn＝n2＋n，用配方法求得最值以及取最值时n的值． (2)利用等差数列的性质，找出数列{an}中正、负项的分界项．当an＞0，d＜0时，前n项和Sn有最大值，可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当an＜0，d＞0时，前n项和Sn有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值． [触类旁通] 2．(2025·辽宁丹东高二月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝10，a4＝6. (1)求an； (2)当Sn取最大值时，求n的值． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝10，a4＝6， 所以解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝14－2n. (2)Sn＝na1＋d＝－n2＋13n＝－2＋， 所以当Sn取最大值时，n＝6或n＝7. 题型三　等差数列前n项和公式的实际应用 　某房地产开发商投资81万元建一座公寓，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把公寓出租，每年收入租金30万元，若扣去投资和各种装修费用，则从第几年开始获取纯利润？ [解析]　设第n年获取利润为y万元， n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，则装修费共有n＋×2＝n2.因此利润y＝30n－(81＋n2)，令y＞0，解得3＜n＜27， 所以从第4年开始获取纯利润． 应用等差数列解决实际问题的一般思路 (1)根据题设条件，建立数学模型 ①分析实际问题的结构特征； ②找出所含元素的数量关系； ③确定为何种数学模型． (2)利用相关的数列知识加以解决 ①分清首项、公差、项数等； ②分清是an还是Sn问题； ③选用适当的方法求解． (3)把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解． [触类旁通] 3．如图，某报告厅的座位是这样的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位． (1)求第六排的座位数； (2)要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？ 解析　(1)根据题意每排座位数构成等差数列{an}，且a1＝9，d＝2. 所以a6＝9＋2×5＝19，即第六排的座位数为19. (2)因为每排座位数都为奇数， 所以得到第一排坐5人，第二排坐6人，第三排坐7人，……. 即每排人数构成等差数列{bn}，且b1＝5，d＝1，n＝10. 所以S10＝10×5＋＝95，即最多可安排95人同时参加会议． [缜密思维提能区]　易错案例 等差数列前n项和公式的综合应用 [典例]　已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝(n∈N＋)，求. [解析]　 方法一　由于等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＝an， 设Sn＝(7n＋1)×kn， Tn＝(4n＋27)×kn， 所以a11＝S11－S10 ＝(7×11＋1)×11k－(7×10＋1)×10k＝148k， b11＝T11－T10＝(4×11＋27)×11k－(4×10＋27)×10k＝111k. 所以＝＝. 方法二　＝＝＝＝. 又＝＝＝， 故＝. [纠错心得]　错误的原因是“设Sn＝(7n＋1)k，Tn＝(4n＋27)k，k≠0”．这种设法虽然可以使＝成立，但是相对于变量n来说，k是常数，故Sn＝(7n＋1)k，Tn＝(4n＋27)k是n的一次函数，与公差不为零的等差数列的前n项和为n的二次函数不符合． 知识落实 技法强化 (1)等差数列的前n项和公式． (2)等差数列前n项和公式的函数特征． (1)方程思想的应用：等差数列前n项和公式涉及五个量，可以“知三求二”． (2)函数思想的应用：可以应用二次函数法求等差数列前n项和的最值． 学科网（北京）股份有限公司 $