5.1.2 数列中的递推（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 规律方法 [当堂达标] 数列增减性的判定方法 1.下列各项表示数列的是() (1)作差比较法 A.△，O,☆，□ ①若an+1一an>0恒成立，则数列{an}是递增 B.2008,2009,2010,…,2021 数列； C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ②若a+1一an<0恒成立，则数列{an}是递减 D.a+b,a-b,ab,λa 数列； 2.(多选)下列命题错误的是 ③若an+1一an=0恒成立，则数列{an}是常数列. A敢列子，是台·吾…的一个通项公式是@ (2)作商比较法 -n1 类别 an+1>1 am+1<1 am+1=1 an an an B.数列的图象是一群孤立的点 a0 递增数列 递减数列 常数列 C.数列1，一1,1，-1，…与数列-1,1，-1,1，…是 a,<0 递减数列 递增数列 常数列 同一数列 D.数列日子…是递增数列 ◇[变式训练] 3.已知数列√3，√7√11√/15…，则5√3是该数列的第 4已知函数f(x)=x-子，数列a}满足f(a,)= 项 4.已知数列{ 9n2-9n+2 -2n,且an>0. 9n2-1ì (1)求数列{an}的通项公式； (1)求这个数列的第10项； (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列，并说 明理由. (2)部是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. 5.1.2 数列中的递推 课程标准 素养解读 1.通过对数列递推公式的学习，提升数学抽象 1.了解数列的递推公式. 的核心素养。 2.了解数列的前n项和概念及其简单应用. 2.通过对数列前n项和的学习，达成数学抽象、 逻辑推理的核心素养， 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an=n [知识点一]数列的递推关系 表示.容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可 如果已知数列的 ,且数列的相邻两项或两 用它的前一项表示出来，即am=am-1十1(n≥2)，这就 项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个 是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主 公式为数列的 (也称为递推公式或递归公 要内容：递推公式 式) 第五章数列 ?思考1.所有数列都有递推公式吗？ 2.数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和 与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系： 2.仅由数列{an}的关系式an=an-1十2(n≥2，n∈ N)就能确定这个数列吗？ [预习自测] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项. 3.通项公式与递推公式有何关系？ (2)有些数列可能不存在最大项。 (3)递推公式是表示数列的一种方法， (4)所有的数列都有递推公式. 2.数列{an}中，an+1=ant2一am,a1=2,a2=5,则 [知识点二]数列的前n项和公式 a5= 1.数列{an}的前n项和 A.-3 B.-11 把数列{a,}从第1项起到第n项止的各项之和，称为 C.-5 D.19 数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn= 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n十1，则an= 课堂。互动学亲 题型一 由递推关系写出数列的项 ◇[变式训练] [例1] 已知数列{an}中，a1=1,a2=2,以后各项由 1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式 am=am-1十am-2(n≥3)给出. 4给出，试写出这个数列的前5项 (1)写出此数列的前5项； （2)通过公式6.=。 a构造一个新的数列{b.),写 出数列{bn}的前4项. 题型二数列的前项和公式及应用 [例2]（多空题）若数列{an}的前n项和S=n 10m(n=1,2,3,…),则数列的通项公式为 ;数 列{nan}中数值最小的项是第 项 规律方法 规律方法 已知Sn求am的3个步骤 由递推公式写出数列的项的方法 (1)先利用a1=S1求出a1; (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清 (2)用n一1替换Sn中的n得到一个新的关系，利 楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后 用an=Sn一Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时 面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1 an的表达式； (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2 +1. 的表达式合并。 (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前 面的项表示后面的项的形式，如Qn+1 ◇[变式训练] 2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n十1，则an= an-1 2 。5. 数学B版·选择性必修第三册 题型由递推公式求数列的通项公式 规律方法 [例3](1)已知数列{an}满足a1=-1,am+1=a,十 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 nn十n∈N‘,求通项公式a,; 1 an+1=an十f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别 通过累加或累乘法求得通项公式，即： 2)设数列a,)中，a=1a,=（1-,1(n≥ (1)累加法：当an=an-1十f(n)时，常用an=(an 2),求通项公式am: -am-1)十(an-1-an-2）+…+(a2-a1)+a1求 通项公式. [思路点拨](1)先将an+1=an n(n+1)变形 (2)累乘法：当01=g(n)时，常用a,=01 an-1 11 an-1 为a+1一a,=n十，照此递推关系写出前n a-l,.2,a1求通项公式. 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别 An-2 a 相加即可求解！ 2)先将a-(1-.1≥2)变形为，品 ◇[变式训练] an-1 3.已知数列1a.}中，a=2,a+=a.+l(1+) 二1，按此递推关系，写出所有前后两项满足的 求an 关系，两边分别相乘即可求解。 [当堂达标] [母题变式] 1.(多选题)符合递推关系式an=√2a,-1的数列是 1.(变条件)将例题(2)中的条件“a1=1,an= ( 1-日.a≥2)”变为a,=2a,4=3a,n∈ A.1,2,3,4,… B.1√2,2,2√2，… C.√2,2,2√2,4，… D.0,√2,2√2,2，… N)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明. 2.已知数列{an}的首项a1=2,am+1=2an十1(n≥1，n ∈N*),则a为 () A.7 B.15 C.30 D.47 3.数列{an}中，若am+1一am一n-0,则a221一a2020= 4.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10,…; 11 11 (2)-1X2'2X3’3X4'4X5’…9 2.将例题(1)中的条件“a1=一1，am+1=am十 (3)1,0,1,0,…; n(n十Dn∈N"变为“a=2a,a-1=a-1-a (4)9,99,999,9999,…. (n≥2)”求数列{an}的通项公式. 。6数学B版·选择性必修第三册 所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2一21n一2=0不存在正整数解，所以1不是 {an}中的项. (2)假设{an}中存在第m项与第m十1项相等，即am= am+1,解得m=10. 所以数列{an》中存在连续的两项，即第10项与第11项 相等. [例4幻[解](1)由题意可知an=f()=”二1=1- n1 又因为nEN,所以0<日≤1， 因此0≤1-1<1；即0≤an<1. (②)周为e+1-a=1-十）-1-2）=0十D 1 1 又因为n十1>n≥1，所以nm+>0, 从而an+1-an>0,即an+1>an 因此{an}是递增数列. 变式训练 4解：1x)=-子fa,)=-2m -1=-2m,即a2+2man-1=0, .an一an 解得an=-n士√n2十1， am>0,.an=√n2+1-n. (2)(方法一：作差法) :a+1-an=√(n+1)2+1-(n十1)-(W2+1-n) =√(n+1)2+1-√n2+1-1 _m+1)2+1-√m+m+)2+1hW+-1 √(n+1)2+1+√2+1 (n+1)+n -1, √(n+1)2+1+√n2+1 又√(n+1)2+1>n+1Wn2+1>n, (n+1)+n <1 √(n+1)2+1+√n2+1 .an+1-an<0,即am+1<an 数列{an}是递减数列. （方法二：作商法) :a,>0,:.a+1=√m+1)2+1-n+D= an Vn2+1-n √n2+1+n <1 √(n+1)2+1+(n+1) ∴.ant1<a .数列{an}是递减数列. 当堂达标 1.B[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图 形、文字、向量等，只有B项符合，] 。1 2.ACD[由通项公式知a1=2,A不正确；易知B正确；由 于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C 不正确；D中的数列为递减数列，所以D不正确.] ·7 3.解析：观察可得数列的一个通项公式是an=√/4n一I,而5 √3=√75=√4×19-1，所以53是该数列的第19项. 答案：19 4.[解]设f(m)=9m2_9m+2_(3m-1)(3m-2=3n-2 9m2-1-(3n-1)(3n+1)3n+1 (①)令m=10,得第10项a0=10-器 2②)今3导-器得9a=80. 此方程无正整数解，所以器不是该数列中的项。 3 月：‘a,n=3n二2=3nf1,=1一 3n+13n+1 3 又neN，0<3m+1<10Cam<1 即数列中的各项都在区间(0,1)内， 5.1.2数列中的递推 课前预习学案 知识梳理 知识点一、首项（或前几项）递推关系 [思考] 1.[提示]不一定.例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足 近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…没有递推公式. 2.[提示]不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递 推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数 列是不能确定的. 3.[提示] 类别 区别 联系 通项 an是序号n的函数式an= 都是给出数 公式 f(n) 列的方法， 已知a1(或前几项)及相邻 递推 都可求出数 公式 项（或相邻几项）间的关 列中任意 系式 一项 知识点二、l.a1十a2十…十am2.Sn序号n3.anS,n=1 Sn-Sn-1,n≥2 预习自测 1.(1)/(2)√(3)√(4)× 2.D[a3=a2十a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+ a3=12十7=19，故选D.] 3.解析：当n=1时，a1=S1=2, 当n≥2时，am=Sn-Sn-1=m2+1-[(n-1)2+1]=2n-1, a=2不满足上式.放4，-2n=1, 2n-1,n≥2，n∈N*. (2,n=1, 答案： 2m-1,n≥2，n∈N* 课堂互动学案 [例1][解](1)：an=an-1十a-2(n≥3)，且a1=1,a2=2, ∴.a3=a2十a1=3,a4=a3十a2=3+2=5,a5=a4十ag=5+3 =8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,ag=3,a4=5,a5 =8. (2b,=01,且a1=1,a2=2,ag=3,44=5,45=8, an+1 =a2_2 a3_3 _a4_5 故低，的前4项候次为6=子=号6=号山= 变式训练 年 2a12 2a2 1.[解]：a1=1,an+1= 41十23ag= 2十2 2x3- 2X- 5 7a4=a22三125,46-a4+22 5 故滨发列的前5项为1，号，日号，日 [例2]解析：当n=1时，a1=S1=-9;当n≥2时，am=S一 Sn-1=n2-10m-[(n-1)2-10(n-1)]=2m-11,当n=1 时，也成立，a,=2m-11,ma=2-1n=2(n-4） ,-11)2 :n∈N*,∴当n=3时，nan有最小值.] 答案：2n-113 变式训练 2.解析：S=32-2m+1,∴.Sn-1=3(n-1)2-2(n-1)+1= 3m2-8n十6.∴.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2m十1) (3m2-8n十6)=6m-5.又当n=1时，a1=S1=2不适合上式， (2,n=1, 16n-5,n≥2. 答案：2，n=1, {6m-5,n≥2. [例3][解](1)：a+1一am=nm+)’ ∴.a2-a1=1X2 1 a3-a2=2X3 1 a4-a3-3X4 e an-an-1-(n-D)n 111 1 以上各式累加得，a,一a=1X2十2X3十…十m-Dm =(1 合+哈专++)=1-品 a+1-1-aia.=-a≥2》. 又m=1时a=一1，特合上流ia=6a∈N》 2a=1a,-（-1a≥2》， am×1-⊥×-2X…×a3×2 an-1n’nan-1an-2an-3 a2 al Xa ·7 参考答案 =”分×导×x…x号××1= n 又“n=1时，a1=1,符合上式，a=(m∈N"). 母题变式 [解]由a1=2,am+1=3an,得： a2=3a1=3X2,a3=3a2=3X3X2=32×2, a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2=34 ×2, …, 猜想：an=2X3m-1, 证明如下：由a1+十1=3an得2n中=3， an 国此可得2-32-32-3…a an3. a2 a3 将上面的n一1个式子相乘可得 a2.a3.a4..an=30-1. a1 a2 a3 an-1 即an=3n-1,所以an=a1·3m-1,又a1=2,故an=2 ·3-1 2.[解】a0a-1=a1-1-a1∴1-1=1. an an-1 品=+（品）+（）+…+ an ()2+ 士1时+=十1. (n-1)个1 =+1,ann+ 1 an 变式训练 3.[解]由题意得a+1-a,=ln”中， aa-a-1=lnn2n≥2)， 4n-1-an-2=In # n-2, 2 az-ai=In1. 当≥2时a-a=n(货…）=h an=2+lnn(n≥2). 当n=1时，a1=2+ln1=2,符合上式，∴.an=2+lnn(n ∈N*). 当堂达标 1.BC[B与C中从第2项起，后一项是前一项的√2倍，符 合递推公式an=√2an-1.] 2.D[将a1=2代入关系式am+1=2an十1得a2=5,将a2 =5再代入an+1=2am十1可得a3=1l,依次类推得a5 =47.] 3.2020[由已知a2021-a2020-2020=0,.a2021-a2020 =2020.] 数学B版·选择性必修第三册 4.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 am=2(n+1),n∈N*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通 1 项公式a.=（-1)×mm十中Dn∈N (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此数 列的一个通项公成a,=m为奇数或 10,n为偶数. a=(-10+1+7aeN 1 (4)这个数列的前4项可以写成10一1,100一1,1000一 1,10000-1,所以它的一个通项公式an=10”-1,n∈N*. 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数例的概念 课前预习学案 知识梳理 知识点一、(1)2前一项同一个常数公差d 知识点二、1.a1+(n-1)d [思考] [提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式am =a1十(n-1)d即可. 预习自测 1.(1)×;(2)×;(3)/(4)×(5)/(6)/ 2.C[an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=4-2m+2=6 -2n.] 3.解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B=A十C,又因 为A十B+C=180°，所以3B=180°，所以B=60°.] 答案：60 课堂互动学案 [例1]解：(1)，a+1-an=[3-2(m+1)]-(3-2m)=-2,是 常数， ∴.数列{an}是等差数列. (2):an+1-an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2-n)=2m,不是 常数， ∴.数列{an}不是等差数列. 变式训练 1.解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4) 不是等差数列 [例2][解](1)：a4=7,a10=25, 则/a1+3d=7, 得8=-2a,=-2+6a-1DX3=3m la1+9d=25,{d=3, -5, ∴.通项公式an=3m-5(n∈N*). 4 (2)法一：（方程组法）由 7 a7= 4 a+2d=5」 4 得 11 7解得a1=4d= 3 (a1+6d、 4 ·7 a6-a1+15-1d-+14x(） 法二：（利用an=am十(n-m)d求解）由a=ag十(7-3)d, 41 ag=a+a5-3d=号+12x(-圣）-里 变式训练 2[解]1)设a,)的公差为1.因为a1十d=15解 1a1+16d=39, 得∫417， d=2. 所以an=7+2(n-1)=2m十5. 令2m十5=91，得n=43.因为43为正整数，所以91是此数列 中的项 (②设a}的公花为d,则1十d1解得0=12， 1a1+7d=5,1d=-1. .an=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a10=13-10=3. [纠解]（①列位}是学麦数列，理由如下： a1=2,an+1= 2a2,1=4+21+1 n+2'…aa+12a2Ta 1-11 的等差数列. (②南上接可知-十a-1d=受a=是 an al 母题变式 1.[解](1)证明：6+1-6，=。1。一1 an+1-2an-2 1 am_1_am-21 （2-2a-32a-8a2a分安 又6购2宁最列认是荷项为分公基为}的等发 数列. @①加=2+6a-1Dx号-2n 6a22+2=是+2 n 2十2 数列{an}的通项公式为an= 2[解]当n≥2时，由2a+1=2弘，十3，得a+1-a.=号但a2 -a=1f2, 故数列{an}不是等差数列. 变式训练 &解J)证明：x=fx-D=3n≥2且nG N*), N*), 一（侣}是公差为号的等差数别