5.1.1数列的的概念（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

参芳 第五章数列 5.1数列基础 5.1.1数列基础 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.一定的次序项首项a1a项第1项（或 首项)第2项第n项 2.{an} 3.列表法图象法 [思考] 1.[提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项 是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数 是指该数列中的项的总数.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2， 4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合 {1,2,3,4,5》与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致， 另一方面，集合中的元素具有无序性. 知识点二、 通项 [思考] 2.[提示](1)并不是所有的数列都有通项公式 (2)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如 数列-1,1，-1,1，-1,1，…的通项公式可以写成an=(- 1)”,an=(-1)n+2,an=cosx等. 知识点三、大于小于相等 知识点四、 [思考] 3.[提示]如图，数列可以看成以 An) 正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,…,n})为定义域的函数，an =a1 =f(n),当自变量按照从小到大 -a2 的顺序依次取值时所对应的一 "a3 列函数值.不同之处是定义域， 数列中的n必须是从1开始且 连续的正整数，函数的定义域可 以是任意非空数集， 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.C[an+1=an,n∈N*,即数列的各项相同，故数列{an}是常 数列.] 3.2[a2=2×22-3×2=2.] 课堂互动学案 [例1][解析]①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减 数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是 周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有 穷数列，也是常数列 [答案]①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④ 变式训练 1.(1)BC[对A,因为数列的项是有顺序的，因此两个数列 是不同的数列，故A是错误的；对B,由数列和函数的关 ·6 参考答案 答案 系可知是正确的；对C,由数列的表示可知正确；对D,由 于数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故D 错误.] (2)解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递 增数列；②为常数列；③为摆动数列. 答案：①②③①②③ [例2][解](1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3， 4…,0好是序号分数亦分分别为日，号，是，号…， 与序号n的关系是”， 是十，所以这个数列的一个通项公式 是a时帝 (2)这个数列可以改写为10+1,100+2,1000+3,10000 十4，…，所以这个数列的一个通项公式是Qm=10”十n. (3)这个数列可以改写为10-1,100-1,1000-1,10000 -1,…,所以这个数列的一个通项公式是an=10”一1. （④)转每一项都统一写减分号为2的分数，即宁，号，昌， 吕空…，所以它的-个通项公式是a一号 1625 变式训练 2.[解](1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3=4-1， 8=9-1,15=16一1,24=25一1，…，所以它的一个通项 公式是am=n2-1(n∈N*). (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇 数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个 通项公式为an=(-1)m+1(2n-1)(n∈N*). (3③)原教列的各项可支为号×9，日×9，号×99，日×9 999,…,易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为 a,=10m-1,所以原数列的一个通项公式为an=号(10 -1)(n∈N*). [例3][解](1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62- 28×6=-60. (2)由3m2-28m=-49,解得n=7或m=子（含去），所以 -49是该数列的第7项；由3n2-28n=68解得n=-2 或n=,均不合题意，所以68不是该数列的项。 母题探究 [解](1)因为an=3n2-28,所以a3=3×32-28×3= -57,ag=3×82-28×8=-32. (2)令3-28m=20,解得1=10或m=-号（含去)，所以 20是该数列的第10项. 变式训练 3.[解](1)若0是{a,}中的第n项，则2-，21n=0, 2 因为n∈N*,所以n=21.所以0是{an}中的第21项. 若1是{a}中的第n项，则n2-21n-1, 2 数学B版·选择性必修第三册 所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2一21n一2=0不存在正整数解，所以1不是 {an}中的项. (2)假设{an}中存在第m项与第m十1项相等，即am= am+1,解得m=10. 所以数列{an》中存在连续的两项，即第10项与第11项 相等. [例4幻[解](1)由题意可知an=f()=”二1=1- n1 又因为nEN,所以0<日≤1， 因此0≤1-1<1；即0≤an<1. (②)周为e+1-a=1-十）-1-2）=0十D 1 1 又因为n十1>n≥1，所以nm+>0, 从而an+1-an>0,即an+1>an 因此{an}是递增数列. 变式训练 4解：1x)=-子fa,)=-2m -1=-2m,即a2+2man-1=0, .an一an 解得an=-n士√n2十1， am>0,.an=√n2+1-n. (2)(方法一：作差法) :a+1-an=√(n+1)2+1-(n十1)-(W2+1-n) =√(n+1)2+1-√n2+1-1 _m+1)2+1-√m+m+)2+1hW+-1 √(n+1)2+1+√2+1 (n+1)+n -1, √(n+1)2+1+√n2+1 又√(n+1)2+1>n+1Wn2+1>n, (n+1)+n <1 √(n+1)2+1+√n2+1 .an+1-an<0,即am+1<an 数列{an}是递减数列. （方法二：作商法) :a,>0,:.a+1=√m+1)2+1-n+D= an Vn2+1-n √n2+1+n <1 √(n+1)2+1+(n+1) ∴.ant1<a .数列{an}是递减数列. 当堂达标 1.B[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图 形、文字、向量等，只有B项符合，] 。1 2.ACD[由通项公式知a1=2,A不正确；易知B正确；由 于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C 不正确；D中的数列为递减数列，所以D不正确.] ·7 3.解析：观察可得数列的一个通项公式是an=√/4n一I,而5 √3=√75=√4×19-1，所以53是该数列的第19项. 答案：19 4.[解]设f(m)=9m2_9m+2_(3m-1)(3m-2=3n-2 9m2-1-(3n-1)(3n+1)3n+1 (①)令m=10,得第10项a0=10-器 2②)今3导-器得9a=80. 此方程无正整数解，所以器不是该数列中的项。 3 月：‘a,n=3n二2=3nf1,=1一 3n+13n+1 3 又neN，0<3m+1<10Cam<1 即数列中的各项都在区间(0,1)内， 5.1.2数列中的递推 课前预习学案 知识梳理 知识点一、首项（或前几项）递推关系 [思考] 1.[提示]不一定.例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足 近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…没有递推公式. 2.[提示]不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递 推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数 列是不能确定的. 3.[提示] 类别 区别 联系 通项 an是序号n的函数式an= 都是给出数 公式 f(n) 列的方法， 已知a1(或前几项)及相邻 递推 都可求出数 公式 项（或相邻几项）间的关 列中任意 系式 一项 知识点二、l.a1十a2十…十am2.Sn序号n3.anS,n=1 Sn-Sn-1,n≥2 预习自测 1.(1)/(2)√(3)√(4)× 2.D[a3=a2十a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+ a3=12十7=19，故选D.] 3.解析：当n=1时，a1=S1=2, 当n≥2时，am=Sn-Sn-1=m2+1-[(n-1)2+1]=2n-1, a=2不满足上式.放4，-2n=1, 2n-1,n≥2，n∈N*. (2,n=1, 答案： 2m-1,n≥2，n∈N* 课堂互动学案 [例1][解](1)：an=an-1十a-2(n≥3)，且a1=1,a2=2, ∴.a3=a2十a1=3,a4=a3十a2=3+2=5,a5=a4十ag=5+3 =8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,ag=3,a4=5,a5 =8.第五章数列 第五章 数列 5.1数列基础 5.1.1数列的的概念 课程标准 素养解读 通过数列概念及数列与函数关系及通项公 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法 式的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算 2.了解数列是一种特殊函数， 的核心素养 ● 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.(1)数列的项和它的项数是否相同？ 古语云：“勤学如春起之 (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4， 苗，不见其增，日有所长”，如 5}有什么区别？ 果对“春起之苗”每日用精密 仪器度量，则每日的高度值按 日期排在一起，可组成一个数 列.那么什么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点二]数列的通项公式 [知识点一]数列的有关概念 如果数列{an}的第n项a与它的序号n之间的对 1.数列相关概念 应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 一般地，我们把按照 排列的一列数称为数 这个数列的 公式. 列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ?思考2.(1)所有的数列都有通项公式吗？ 数列的第一个位置上的数叫做 ,常用符号 (2)同一数列的通项公式唯一吗？ 表示，第n个位置上的数叫做这个数列的 第n项，用 表示 数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列 中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个 数列的 …， … [知识点三] 数列的单调性 2.数列的表示 递增 从第2项起，每一项都 它的前一项 数列的一般形式是a1,a2,ag,…,a,…,简记为 数列 的数列 递减 从第2项起，每一项都 它的前一项 3.数列的表示方法 数列 的数列 数列的表示方法一般有三种：通项公式、 常数列各项都 的数列 数学B版·选择性必修第三册 [知识点四]数列与函数 [预习自测] 数列{an}是从正整数集N(或它的有限子集{1,2， 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 …,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n,对 打“/”，错误的打“×” 应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n). (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}. ( ?思考3.数列的通项公式an=f(n)与函数解析式 (2)数列的项不能相等， y=f(x)有什么异同？ (3)数列可以用图形表示。 (4)数列的通项公式不唯一 2.已知an+1一an=0,n∈N*,则数列{an}是 ( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 3.若数列{an}的通项公式为an=2m2一3n,则a2 课堂。互动学案 题型一 数列的概念及分类 ⊙[变式训练] [例1]已知下列数列： 1.(1)(多选)下面四个结论正确的是 ①2016,2017,2018,2019,2020,2021； A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 11 B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有 ②1,24…2… 限子集{1,2,3…，n})上的函数 C,数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 2n-1 的点 ④1,0，-1，in受 D.数列的项数是无限的 ⑤2,4,8,16,32，…； (2)给出下列数列： ⑥-1，-1，-1，-1. ①2014~2021年某市普通高中生人数（单位：万 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180； 递增数列是 ,递减数列是 ,常数 ②无穷多个√3构成数列3，√5，√3，√5，…； 列是 ,摆动数列是 (填序号). ③一2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数 列-2,4，-8,16，一32，…. 规律方法 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性 递增数列是 ,常数列是 ,摆动数 质具有以下特点： 列是 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确 定的，集合中的元素也具有确定性； 题型二 由数列的前几项写通项公式 (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的 [例2]写出下列数列的一个通项公式，使它的前四 元素不能重复出现（即互异性）； 项为下列各数 (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有 关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中 112号34号 的元素与顺序无关（即无序性）； (2)11,102,1003,10004,…; (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可 (3)9,99,999,9999,…; 以代表除数字外的其他事物 422,号8， 2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及 数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列， 汇思路点拔]①求数列的通项公式时，是否应考 要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数 虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通 列，则看项的个数有限还是无限 项公式唯一吗？ ·2 第五章数列 规律方法… 规律方法 由数列的前几项求通项公式的思路 1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号 行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已 之间的关系。 知函数解析式和自变量的值求函数值. (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一 2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可 个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通 由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程 项公式. 有无正整数根便可确定这个数是否为数列中 (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、 的项。 正整数的平方数列、奇数列、偶数列等， 3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意 (4)符号用(-1)”或（一1）+1来调整. 它的定义域是N(或它的有限子集{1,2,3， (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助 …,n})这一约束条件. 分子、分母的关系 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 3.数列{a,}的通项公式是a.=-,21(m∈N). 2.写出下列数列的一个通项公式： 2 (1)0,3,8,15,24,…； (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是 (2)1,-3,5,-7,9,… 第几项？ (3)1,11,111,1111,…. (2)数列{a.}中是否存在连续且相等的两项？若存 题型三 数列通项公式的应用 在，分别是第几项？ [例3]已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问一49是否是该数列的一项？如果是，应是哪 一项？68是否是该数列的一项？ 汇思路点拨]"(1)将n=4,n=6分别代入an求出 数值即可； (2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n 是否为正整数并判断. 题型四 数列的函数性质 [母题探究] 若本例中的条件不变， [例4]已知函数f(x)=二1，设数列{an}的通项公 x (1)试写出该数列的第3项和第8项； 式为an=f(n),其中n∈N (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪 (1)求证：0≤an<1; 一项？ (2)判断{am}是递增数列还是递减数列，并说明 理由. 汇思路点拔了“()由不等式的性质判断a的 范围 (2)利用作差法判断函数的单调性 。3 数学B版·选择性必修第三册 规律方法 [当堂达标] 数列增减性的判定方法 1.下列各项表示数列的是() (1)作差比较法 A.△，O,☆，□ ①若an+1一an>0恒成立，则数列{an}是递增 B.2008,2009,2010,…,2021 数列； C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ②若a+1一an<0恒成立，则数列{an}是递减 D.a+b,a-b,ab,λa 数列； 2.(多选)下列命题错误的是 ③若an+1一an=0恒成立，则数列{an}是常数列. A敢列子，是台·吾…的一个通项公式是@ (2)作商比较法 -n1 类别 an+1>1 am+1<1 am+1=1 an an an B.数列的图象是一群孤立的点 a0 递增数列 递减数列 常数列 C.数列1，一1,1，-1，…与数列-1,1，-1,1，…是 a,<0 递减数列 递增数列 常数列 同一数列 D.数列日子…是递增数列 ◇[变式训练] 3.已知数列√3，√7√11√/15…，则5√3是该数列的第 4已知函数f(x)=x-子，数列a}满足f(a,)= 项 4.已知数列{ 9n2-9n+2 -2n,且an>0. 9n2-1ì (1)求数列{an}的通项公式； (1)求这个数列的第10项； (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列，并说 明理由. (2)部是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. 5.1.2 数列中的递推 课程标准 素养解读 1.通过对数列递推公式的学习，提升数学抽象 1.了解数列的递推公式. 的核心素养。 2.了解数列的前n项和概念及其简单应用. 2.通过对数列前n项和的学习，达成数学抽象、 逻辑推理的核心素养， 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an=n [知识点一]数列的递推关系 表示.容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可 如果已知数列的 ,且数列的相邻两项或两 用它的前一项表示出来，即am=am-1十1(n≥2)，这就 项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个 是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主 公式为数列的 (也称为递推公式或递归公 要内容：递推公式 式)