5.1.1 数列的概念（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数列概念核心知识点，通过导学问题链（如正整数倒数、-1的幂次等实例）引导学生观察抽象出数列定义、项与分类，进而学习通项公式的定义及应用，最后关联函数理解数列单调性，构建“具体-抽象-应用”的学习支架。 资料以数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养为导向，导学问题培养观察与抽象能力，例题变式（如通项公式应用的母题变式）强化推理，单调性分析提升运算。课中辅助教师分层教学，课后知识落实与技法强化助力学生查漏补缺，巩固重点。

5．1　数列基础 5．1.1　数列的概念 学业标准 素养目标 1．理解数列的有关概念．(难点) 2．掌握数列的函数特性、数列的通项公式及应用．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点) 1．通过学习数列的相关概念，培养数学抽象核心素养． 2．通过数列通项公式的学习及应用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P1] 导学1　数列的概念 　按顺序分别写出满足下列条件的数： (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数； (2)－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂； (3)正整数1，2，3，4，5，6，…的平方． [提示]　(1)1，，，，，. (2)(－1)1，(－1)2，(－1)3，(－1)4. (3)12，22，32，42，52，62，… 　问题1中的几列数有什么特点？ [提示]　①都是一列数；②都有一定的顺序． ◎结论形成 1．数列的概念 (1)数列：按照__一定次序__排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数都称为这个数列的项． 首项：数列的__第1项__； 末项：有穷数列的最后一项． (3)项数：组成数列的数的个数． 2．数列按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数__有限__的数列 无穷数列 项数__无限__的数列 导学2　数列的通项 　观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？ [提示]　该数列的对应关系为数列的每一项均为这一项序号的倒数，公式an＝可表示这个数列． 　如果知道了数列的每一项可以用an＝表示，这个数列的第10项是多少？第100项呢？ [提示]　第10项为a10＝，第100项为a100＝. ◎结论形成 1．数列的通项 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的__第n项__(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．此时，一般将整个数列简记为__{an}__． 2．数列的通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用__an＝f(n)__来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式． 3．通项公式的作用 (1)求数列中的任意一项． (2)检验某数是不是该数列中的项． [微点睛]　(1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，an＝(－1)n+2，an＝cos nπ等． 导学3　数列与函数的关系 　已知函数f(x)＝－x＋，你能根据这个函数构造出一个数列吗？ [提示]　在函数f(x)＝－x＋中，分别令x＝1，2，3，…，n，…，就可以得到数列2，，1，…，－n＋，…. 　函数f(x)＝－x＋和通项公式为an＝－n＋有什么根本不同？ [提示]　变量的取值不同． ◎结论形成 1．数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 2．数列按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都__大于__它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都__小于__它的前一项的数列 常数列 各项__都相等__的数列 摆动数列 从第2项起，有些项__大于__它的前一项，有些项__小于__它的前一项的数列 [微点睛]　从函数角度看数列：数列与函数的关系为，也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列．(　　) (2){an}与an是一样的，都表示数列．(　　) (3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的．(　　) (4)数列是递增数列．(　　) 解析　(1)两个数列相同，每一项都必须相同，而且数列具有顺序性． (2)因为{an}代表一个数列，而an只是这个数列中的第n项，故{an}与an是不一样的． (3)有的数列就没有通项公式，而且有的数列的通项公式不唯一． (4)由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝＞0，即数列是递增数列． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．数列2，3，4，5，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1. 答案　B 3．数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中，不是{an}的项的是(　　) A．1 B．－1 C．3 D．2 解析　25－2n不可能为偶数． 答案　D 4．若数列1，2，4，m，16，…是递增数列，则实数m的取值范围是________． 解析　有递增数列的概念知4＜m＜16. 答案　(4，16) [对应学生用书P3] 题型一　观察法求数列的通项公式 　[教材例2提升]根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，13，…； (2)，，，，，…； (3)0，1，0，1，0，1，…； (4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，－6，12，－20，30，－42，…. [解析]　(1)是从3开始的奇数列，an＝2n＋1； (2)分子为偶数，分母为相邻两奇数的积， an＝； (3)an＝或an＝； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…， 所以an＝n＋； (5)将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，…， 所以an＝(－1)n+1n(n＋1). 根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1处理． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [触类旁通] 1．写出下列数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)，2，，8，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3，33，333，3 333，…. 解析　所给4个数列的通项公式分别为 (1)an＝； (2)an＝； (3)an＝(其中k∈N＋)， 由于1＝2－1，3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成an＝(－1)n·； (4)an＝(10n－1). 题型二　数列通项公式的应用　(一题多变) 　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解析]　(1)因为an＝， 所以a4＝＝，a6＝＝. (2)令＝， 即n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋， 故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项． [母题变式] (变条件)若将本例(2)的“”变为“”，其他条件不变，结果如何？ 解析　令＝， 则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 注意到n∈N＋，所以不是此数列中的项． [素养聚焦]　本例主要考查数列通项公式的应用，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养． 求项或判断某项是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． [触类旁通] 2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). (1)判断0和1是不是数列{an}中的项，若是，指出是第几项；若不是，请说明理由． (2)判断数列{an}中是否存在连续且相等的两项，若存在，指出分别是第几项；若不存在，请说明理由． 解析　(1)令an＝0，得n2－21n＝0， ∴n＝21或n＝0(舍去)， ∴0是数列{an}中的项，是第21项． 令an＝1，得＝1，该方程无正整数解， ∴1不是数列{an}中的项． (2)假设存在连续且相等的两项am，am＋1(m∈N＋)， 则有am＝am＋1， 即＝，解得m＝10， ∴存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项． 题型三　数列的单调性及其应用 　已知数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)n-1，试判断数列{an}的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． [解析]　因为an＝(2n－1)n-1， 所以an＋1－an＝(2n＋1)n－(2n－1)n-1＝， 又n∈N＋，所以当1≤n≤2时an＋1－an>0，此时{an}单调递增， 当n≥3时，an＋1－an<0，此时{an}单调递减， 又a1<a2<a3>a4>a5>…， 所以{an}存在最大项a3＝，不存在最小项． 综上可得，当1≤n≤3时，{an}单调递增，当n≥4时，{an}单调递减，存在最大项a3＝，不存在最小项． 判断数列的单调性的方法 (1)利用数列{an}中an和an＋1的大小关系判断，若an＜an＋1(an＞an＋1)，则数列为递增(减)数列． (2)利用数列的图象直观判断，图象上升(下降)，则数列为递增(减)数列． [触类旁通] 3．(2024·河南驻马店高二月考)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由． (2)判断数列{an}的增减性并证明． 解析　(1)是这个数列的第17项． 理由如下：由an＝＝， 可解得n＝17，故是数列{an}的项，是第17项． (2)数列{an}是递增数列，证明如下： 由题知，an＋1－an＝－ ＝ ＝， ∵n∈N＋，∴n＋51>0，n＋52>0， 即an＋1－an>0， ∴数列{an}是递增数列． 知识落实 技法强化 (1)数列的有关概念． (2)数列的通项公式． (3)数列与函数的关系． (1)运用观察、归纳、概括的方法，研究数列的通项公式． (2)因为数列是特殊函数，所以用比较法研究数列的单调性，进而求最值． 学科网（北京）股份有限公司 $