第11章 立体几何初步 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 所以Vr-c= 解析：A[如图，连接AB, A'B.则由已知AA'⊥平面B, ∠ABA'= 吾BB上年面a, (2)连接AE,取BC中点为 D B ∠BAB= H,连接EH,B,H, 设AB=,则B C 因为E,H分别为AC,BC 2a,BB'-2 a,在R△BA'B'中，AB 2, 的中点，所以EH∥AB, 又因为AB1∥AB,所以 B 0异别 A1B1∥EH,所以A1EHB 13.如图，在三棱锥A-BCD中， 共面， AB⊥AD,BC⊥BD,平面 易知DEC平面A,EHB1, ABD⊥平面BCD,点E,F(E 易知△FCB≌△HBB1,所以BF⊥HB1, 与A,D不重合)分别在棱 又因为BF⊥AB1,且AB1∩HB1=B1, AD,BD上，且EF⊥AD. 所以BF⊥平面A,EHB1,所以BF⊥DE. 求证：(1)EF∥平面ABC: (2)AD⊥AC. 能力提升 NENG LI TI SHENG 证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥ 12.如图所示，平面a⊥平面3，A∈a, AD,则AB∥EF.又因为EF中平面ABC,ABC B∈B,AB与两平面a,3所成的角 平面ABC,所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABDL平面BCD,平面ABD∩平面 分别为平和否过A,B分别作两 BB BCD=BD,BCC平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥ 平面交线的垂线，垂足分别为A', 平面ABD. B,则AB:A'B等于 因为ADC平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥ AD,BC∩AB=B,ABC平面ABC,BCC平面 A.2:1 B.3:1 ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为ACC平面 C.3:2 D.4:3 ABC,所以AD⊥AC 章末归纳提升 对应学生用书P86 [网络构建] 空间几何体直观图一 斜二测画法 直线与直线 空间几何体基本元素 长方体 直线与平面 空间 平面与平面 几何体 结构特征 多面体 棱柱、棱锥、棱台 侧面积（表面积） 祖啦原理，体利 立 结构特征 旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球 表面积 几 平面的基本事实与推论 何初步 直线与直线平行 空间中的平行关系 直线与平面平行 平面与平面平行 判定 直线与直线垂直 性质 空间中的垂直关系 直线与平面垂直 平面与平面垂直 ·162· 第十一章立体几何初步 [归纳提升] 题型一空间几何体的表面积和体积 1.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常 能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关 系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、 台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的 解：该平面图形旋转一周后所得的几何体是一个圆 平面图形的作用. 台挖掉半个球， 2.常用的计算方法 (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式 白随高得号5a=号X4X2=8a(cnm), 求解 (2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几 Sm6M=x(2+5W(5-2)+4=35x(cm2),Sm6下度 何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而 =πX52=25π(cm),所以该几何体的表面积为 求出原几何体的体积. 8π+35π+25π=68π(cm2). (3)等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角 又Va6=号×(2+2X5+5)×4=52x(cm). 度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积 不变的原理来求原几何体的体积， V=2×誓×2-1(m. 3 [例1]如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方 所以该几何体的体积为V台-V=52x-16 3 形，且△ADE,△BCF均为正三角 形，EF∥AB,EF=2,则该多面体 140r(cm3). 3 的体积为 题型三 空间中的平行关系 A号 B 在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与 3 线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗 c n 透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低 [解析]A[如图，分别过点 维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平 A,B作EF的垂线，垂足分别 行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序 为G,H,连接DG,CH, 相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定 容易求得BG=HF=日 理，特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件 决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于 AG-GD-BH-HC- 2， 规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图. 取AD的中点O,连接G0,易得G0- 面面平行判定 21 线面平行判定 面面平行判定 线线平行 线面平行 面面平行 线面平行的 面面平行的 2 4； 性质是线线 性质是线面 平行的判定 平行的判定 ·多面体的体积V=V三被能EA心十V三较维F-H十 面面平行的性质是线线平行的判定 V:发算DBc=2V:线条EG十V三我袋GD-e=子义 3 [例2]如图所示，四边形ABCD是 x号×2+Ex1= 平行四边形，PB⊥平面ABCD, 4 2 学.故选A.] MA∥PB,PB=2MA.在线段PB ⊙[变式训练] 上是否存在一点F,使平面AFC∥ 1.如图所示（单位：cm)的四边形ABCD是直角梯形， 平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存 求图中阴影部分以AB所在直线为旋转轴旋转一 在，请说明理由. 周所成几何体的表面积和体积. ·163· 数学B版·必修第四册 [解]当点F是PB的中点 (2)判定线面垂直的方法有： 时，平面AFC∥平面PMD,证 ①线面垂直的定义（一般不易验证任意性）； 明如下：如图，连接BD交AC ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,bCa,cCa, 于点O,连接FO,则PF b∩c=M→a⊥a); ZPB. ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,bLa→a⊥a): ④面面垂直的性质(a⊥B,a∩B=l,aCB,a⊥l→a ,四边形ABCD是平行四边形， a); ∴O是BD的中点，∴.OF∥PD. ⑤面面平行的性质(a⊥a,a∥3→a⊥3)； 又OF吐平面PMD,PDC平面PMD, ⑥面面垂直的性质(a∩B=l,a⊥y,B⊥Y→l⊥Y), OF∥平面PMD.又MA47PB, (3)面面垂直的判定方法有： ∴.PF LMA..四边形AFPM是平行四边形. ①根据定义（作两平面构成的二面角的平面角，计 .AF∥PM.又AF丈平面PMD,PMC平 算：其为90)； 面PMD. ②面面垂直的判定定理(a⊥3，aCa→a⊥β). ∴.AF∥平面PMD. 2.垂直关系的转化是： 又AF∩OF=F,AFC平面AFC,OFC平面AFC, (3)① ∴.平面AFC∥平面PMD. (2)② 线线垂直0问 3)② 线面垂直； 面面垂直 ⊙[变式训练] (2)④ (1)3 2.如图，△ABC为正三角形，EC⊥ 平面ABC,DB⊥平面ABC,CE [例3]如图所示，在四棱锥 =CA=2BD,M是EA的中点，N P-ABCD中，AB∥CD,AB N是EC的中点，求证：平面 ⊥AD,CD=2AB,平面PAD DMN∥平面ABC ⊥底面ABCD,PA⊥AD,E 证明：，M,N分别是EA与EC 和F分别为CD和PC的中 的中点，∴.MN∥AC. 点.求证： 又，ACC平面ABC,MN中平面ABC, (1)PA⊥底面ABCD: ∴.MN∥平面ABC, (2)BE∥平面PAD: ,DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,∴.BD∥EC (3)平面BEF⊥平面PCD. ,N为EC中点，EC=2BD,.NC LBD. [证明](1)因为平面PAD⊥底面ABCD,PA在 ∴.四边形BCND为矩形..DN∥BC. 平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD, 又，DN中平面ABC,BCC平面ABC 所以PA⊥底面ABCD, ∴.DN∥平面ABC.又.MN∩DN=N,MNC平 (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点， 面DMN,DNC平面DMN,.平面DMN∥平 所以AB∥DE,且AB=DE. 面ABC. 所以四边形ABED为平行四边形. 题型” 空间中的垂直关系 所以BE∥AD 1.空间垂直关系的判定方法： 又因为BE中平面PAD,ADC平面PAD, (1)判定线线垂直的方法有： 所以BE∥平面PAD. ①计算所成的角为90°（包括相交直线所成的角和 (3)因为AB⊥AD,四边形ABED为平行四边形. 异面直线所成的角)； 所以BE⊥CD,AD⊥CD. ②由线面垂直的性质（若a⊥a,bCa,则a⊥b); 由(1)知PA⊥底面ABCD,又CDC平面ABCD, ③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交 所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,PAC平面PAD, 形成的二面角的平面角为90°； ADC平面PAD, ·164· 第十一章立体几何初步 所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引 因为E和F分别是CD和PC的中点， 起足够重视. 所以PD∥EF,所以CD上EF 2.求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交 所以BE∩EF=E,BEC平面BEF, 直线的夹角). EFC平面BEF, 3.求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂 所以CD⊥平面BEF. 线、找射影)： 因为CDC平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD. 4.常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法： ⊙[变式训练] (2)垂线法：(3)垂面法。 3.如图所示，在四棱锥P一ABCD 总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来 中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, 计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算 AC⊥CD,∠ABC=60°，PA=AB [例4]如图，在四棱锥P一ABCD =BC,E是PC的中点. 中，AD⊥平面PDC,AD∥BC 证明：(1)CD⊥AE; PDLPB,AD=1,BC=3,CD=4, (2)PD⊥平面ABE. PD=2. 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； :PA⊥底面ABCD, (2)求证：PD⊥平面PBC; CDC平面ABCD,∴.PA⊥CD (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. .AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, (1)[解]由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即 .CDL平面PAC 为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面 而AEC平面PAC,.CD⊥AE. PDC,PDC平面PDC,所以AD⊥PD.在 (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°， Rt△PDA中，由已知，得AP=√JAD+PD=√5， 可得AC=PA. ,E是PC的中点，，AE⊥PC 故cos∠DAP-怎所以异质直线AP与C 由(1)，知AE⊥CD,又PC∩CD=C,PC,CDC平 面PCD, 所成角的余弦值为5 AE⊥平面PCD, (2)[证明]因为AD⊥平面PDC,直线PDC平 而PDC平面PCD,.AE⊥PD. 面PDC,所以AD⊥PD.又BC∥AD,所以PD⊥ ,PA⊥底面ABCD,ABC底面ABCD, BC,又PD⊥PB,BC∩PB=B,BC,PBC平面 ∴.PA⊥AB. PBC,所以PD⊥平面PBC 又：AB⊥AD且PA∩AD=A,PA,ADC平 (3)[解]过点D作AB的平行 面PAD, 线交BC于点F,连接PF,则DF .AB⊥平面PAD,而PDC平面PAD, 与平面PBC所成的角等于AB ∴.AB⊥PD.又：AB∩AE=A,AB,AEC平 与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,故 面ABE, PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为 ∴.PD⊥平面ABE 直线DF和平面PBC所成的角. 题型四 空间角问题 由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.由已知， 1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面 得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC.在 所成的角以及二面角.这些角是对点、直线、平面所 Rt△DCF中，可得DF=√CD+CF=2√5，在 组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计 算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含 R△DPF中，可得sin∠DFP-架- 义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的 知识熟练解题.空间角的题目一般都是各种知识的 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 5 ·165· 数学B版·必修第四册 ◇[变式训练] 取PC的中点F,连接FH,BF,则FH∥CE 4.△ABC所在平面外有一点S,已知SC⊥AB,SC与 BH丈平面AEC,EGC平面AEC,.BH∥平 底面ABC所成角为，二面角S一AB一C的大小 面ACE, 为p,且0十9=90°，求二面角C-SB-A的大小 同理FH∥平面AEC, 解：如图，作SO⊥平面ABC于 又BH∩FH=H,BHC平面BHF,FHC平 点O,连接CO并延长交AB于 面BHF, 点D,连接SD. .平面BHF∥平面AEC,又BFC平面BHF, 则∠SCO是SC与平面ABC所 ∴.BF∥平面AEC. 成的角，∴∠SCO=0. 故在棱PC上存在一点F,使BF∥平面AEC. ,SO⊥平面ABC,ABC平面ABC, ◇[变式训练] .SO⊥AB. 5.如图，四棱柱ABCD一A1B1CD1中，底面四边形 又.SC⊥AB,SO∩SC=S,SCC平面SDC,SOC ABCD为菱形，∠ABC=60°，AA1=AC=2,A1B= 平面SDC,.AB⊥平面SDC. AD=2√2，点E在线段A1D上 ,SD,CDC平面SDC,.AB⊥CD,AB⊥SD. .∠SDO是二面角S-AB一C的平面角，即 ∠SDO=. ,0+p=90°，.SC⊥SD. 又.'SC⊥AB,AB∩SD=D,ABC平面SAB, SDC平面SAB,∴.SC⊥平面SAB. 又，SCC平面SBC,.平面SBC⊥平面SAB, (1)证明：AA1⊥平面ABCD; .二面角C-SB-A的大小为90°. (2当合S为何值时A,B/平面EAG.并求唐北时 题型五立体九何中的探索性问题 三棱锥E一ACD的体积. 解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分 (1)证明：：底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后 ..AB=AD=AC=2. 结合已知条件求解. .AA=2,A B=22,AB=2,..AA2+AB2 [例5]在底面是菱形的四棱锥 =AB2, P-ABCD中（如图），∠ABC= .AA1⊥AB 60°，PA=AC=a,PB=PD= 同理，AA1⊥AD, √2a,点E在PD上，且PE: 又，ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, ED=2:1. AB∩AD=A, (1)证明：PA⊥平面ABCD; .AA1⊥平面ABCD. (2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面 (2)解：当E为A1D的中点时， AEC?证明你的结论. A,B∥平面EAC. [证明](1)，'底面ABCD是菱形且∠ABC= 证明：连接BD交AC于O,连接 60°，∴.AB=AD=AC=a. OE,则OE∥AB. 在△PAB中，PA+AB2=2a2=PB2, 又OEC平面EAC,AB￠平 .PA⊥AB,同理PA⊥AD. 面EAC, 又AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, .AB∥平面EAC, .PA⊥平面ABCD. (2)如图，连接BD交AC于G, 北时能器1 则G是BD的中，点，连接GE.取 .设AD的中，点为F,连接EF,则EF∥AA1且 PE的中点H,连接BH. EF=2A,A=1. ,PE:ED=2:1,∴.PH=HE 又由(1)知AA1⊥平面ACD,.EF⊥平面ACD, =ED,即E是DH的中点. 三棱锥E一ACD的体积 在△BHD中，EG为中位线， .EG∥BH. V:w=号×1X号×2X2x9- 2-3 ·166·