11.4.2 第1课时 平面与平面垂直的判定（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直 第一课时 平面与平面垂直的判定 课程标准 素养解读 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判 通过探究发现及应用平面与平面垂直的判定定 定定理及性质定理，并加以证明： 理和性质定理，重点培养数学抽象素养及提升 2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面 逻辑推理素养和直观想象素养。 垂直. 课前。预习学案 对应学生用书P79 ● [情境引入] ?思考1.两个平面相交，构成几个二面角？它们的 我们常说“把门开大一点”，当门绕着门轴旋转时， 平面角的大小有什么关系？ 门所在的平面与墙面形成了一个角 [提示]4个，相对的两个二面角相等，相邻的两个 二面角互补 2.二面角的大小范围是多少？ [提示]二面角的平面角的范围是[0，π]，当两个 半平面重合时，平面角为0：当两个半平面合成一 个平面时，平面角为元. 3.二面角的平面角的大小和在棱上所选点的位置有 问题 如何描述和度量门所在平面与墙面所形成 关吗？ 的角？ [提示]根据“等角定理”可知，二面角的平面角 提示用二面角的平面角来度量」 的大小和棱上所选的点无关 [知识梳理] 3.二面角的平面角、直二面角 [知识点一]二面角 (1)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该 点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射 1.二面角的定义 线，则这两条射线所构成的角叫作二面角的平面 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这 角.如上图(1)，O为棱AB上任意一点，在平面a 两部分都叫作半平面. 内过点O作OP⊥AB,在平面B内过点O作OQ (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的 ⊥AB,则∠POQ为二面角a一AB-3的平面角. 图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱，这两 (2)二面角的大小：二面角的大小可以用它的平面角 来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面 个半平面叫作二面角的面；如图(1)(2)，棱为AB 角是多少度 或l,面分别为a,3. (3)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角。 [知识剖析] (1)二面角的大小与棱上取点的位置无关.一个二面 角的平面角有无数个，它们的大小是相等的 (2)二面角的平面角必须具备三个条件：①二面角的 2 平面角的项点在二面角的棱上；②二面角的平面 2.二面角的表示方法 角的两条边分别在二面角的两个半平面内；③二 (1)棱为AB,面分别为a,B的二面角记作二面角a 面角的平面角的两条边都与棱垂直.前两个条件 AB-3,如上图(1). 决定了二面角的平面角在同一个平面内，第三个 (2)棱为l,面分别为a,3的二面角记作：二面角a一l 条件决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面 角所在的平面与棱垂直. 3,如上图(2). (3)二面角的平面角0的范围是0°≤≤180°.当两个 (3)若在a,3面内分别取不在棱上的点P,Q,这个二 半平面重合时，0=0°；当两个半平面合成一个平 面角可记作二面角P一AB-Q,如上图(1). 面时，0=180. ·149· 数学B版·必修第四册 4.二面角和它的平面角的画法 (2)图形语言：如图(1)(2). 画二面角和它的平面角，最常用的有以下两种 方法： (1)直立式画法，如图甲、乙； (1) (2) (3)符号语言：lC3,l⊥a→3⊥a. ?思考4.证明面面垂直的关键是什么？判定定理 的实质是什么？ 甲 乙 [提示](1)判定定理简记为“若线面垂直，则面面 (2)平卧式画法，如图丙、丁 垂直”.因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找 5.求二面角的平面角的步骤 其中一个平面的垂线，即证线面垂直 (1)找到或作出二面角的平面角； (2)两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 (2)证明(1)中的角就是所求的角； 互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的平 面的依据.如建筑工人在准备砌墙时，常常在较高处 (3)计算出此角的大小. 固定一条下端系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，这样 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”. 就能保证所砌的墙面与水平面垂直。 [知识点二]平面与平面垂直 [预习自测] 1.平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 1.直线l⊥平面a,lC平面B,则a与3的位置关系是 直二面角，就说这两个平面互相垂直， A.平行 B.可能重合 [知识剖析] C.相交且垂直D.相交不垂直 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况.两 解析：C[由面面垂直的判定定理知C正确.] 直线垂直是利用两条直线所成的角是直角来定义 2.不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ( 的，两平面垂直是利用两相交平面所成的二面角是 A.两个平面相交，所成二面角是直二面角 直二面角来定义的 B.一个平面经过另一个平面的一条垂线 2.两个平面互相垂直的画法 C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 在画两个互相垂直的平面时，通常将表示直立平面 D.平面a内的直线a与平面3内的直线b是垂 直的 的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行 解析：D[直二面角表示两平面垂直，B是判定定 四边形的横边垂直，如图(1)(2)，平面α与平面3 理，C也符合判定定理.门 垂直，记作a⊥B. 3.若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和 △ABC都是边长为2的正三角形，PA=√6，那么 二面角P一BC-A的大小为 解析：如图，取BC的中点D,连接 (1) (2 DA,DP,则∠PDA为二面角P D/B BC-A的平面角.：DP=DA=c [知识点三]平面与平面垂直的判定定理 √3，PA=√6，.DP2=DA=PA, (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那 .∠PDA=90°. 么这两个平面垂直 答案：90° 课堂。互动学亲 对应学生用书P80 题型一平面与平面垂直的基本问题 思路点拨]依据线面垂直，面面垂直的判定定 [例1]已知m、l是直线，a、B是平面，给出下列 理判断. 说法： [解析]①③符合线面垂直，面面垂直的判定定理； ①若1垂直于a内两条相交直线，则l⊥a; ②错误，并不能得出a⊥3：④错误，l与m可以异面. [答案]①③ ②mCa,lCB,且l⊥m,则a⊥3； 规律方法 ③若1Cβ，且l⊥a,且a⊥B: 对于用符号语言表示的命题形式的判定，一是将 ④若mCa,lCB,且a∥B,则l∥m. 符号语言转化为图形语言，结合定理判定其正确 其中正确的序号是 性；二是利用模型（几何体）进行验证： ·150· 第十一章立体几何初步 ◇[变式训练] 题型目 1.已知直线a,b与平面a、3、y,下列能使a⊥3成立的 求三面角 条件是 ( [例3] 如图所示，在△ABC A.a⊥Y,3⊥y B.a∩B=a,b⊥a,bC3 中，AB⊥BC,SA⊥平面 C.a∥B,a∥a D.a∥a,a⊥3 ABC,DE垂直平分SC,且分 解析：D[由a∥a,知a内必有直线l与a平行，而 别交AC,SC于点D,E,又 a⊥B,.l⊥3，∴.a⊥3.] SA=AB,SB=BC. 题型三用判定定理判断面面垂直 (1)证明：BD⊥平面SAC: [例2]如图，在四棱锥S-ABCD (2)求二面角E-BD-C的大小 中，底面四边形ABCD是平行四 边形，SC⊥平面ABCD,E为SA 汇思路点拨“求二面角大小要先找出二面角的平 的中点.求证：平面EBD⊥平面 面角，然后在三角形内求解 ABCD. (1)[证明]，SB=BC,且E为SC的中，点， [思路点拨]欲证平面EBDL平面ABCD,只需 ∴.BE⊥SC,又，DE⊥SC,BE∩DE=E, 在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD, 而已知SC⊥平面ABCD,故只需在平面EBD内 .SC⊥平面BDE,又BDC平面BDE, 找一条直线与SC平行即可， ∴.BD⊥SC [证明]如图，连接AC,与BD交于点F,连 ,SA⊥平面ABC,BDC平面ABC, 接EF. .SA⊥BD,又SA∩SC=S,.BD⊥平面SAC. ,F为□ABCD对角线AC与 (2)[解]由(1)BD⊥平面SAC及AC,DEC平面 BD的交点，.F为AC的中点. SAC,可得BD⊥DE,BD⊥AC, E为SA的中点，.EF为 △SAC的中位线，.EF∥SC. .∠EDC为二面角E一BD一C的平面角， ,SC⊥平面ABCD,.EF⊥平 设SA=a,则AB=a, 面ABCD. 在Rt△ABS中，SB=√2a,∴.BC=√2a. 又，EFC平面EBD,∴.平面EBD⊥平面ABCD. 规律方法… 在Rt△ABC中，AC=√JAB+BC=√3a, 利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已 .SC=2a,∴.∠ASC=60°， 知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线 又：∠EDC=∠ASC,∴.∠EDC=60°， 存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样 .二面角E一BD一C的大小为60°. 的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决 规律方法 ⊙[变式训练] 2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC,AD 1.求二面角的步骤是：(1)作出二面角的平面角； =DC,E,F,G分别是AD,DC,CA的中点. (2)证明该角两边都与棱垂直；(3)指出该角就是 求证：平面BEF⊥平面BDG 二面角的平面角；(4)计算该角的大小、简记为作、 证、指、算。 2.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半 平面内过该点分别作垂直于棱的射线， (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平 面与二面角的两个半平面形成两条交线，这两 证明：连接EG,FG.,E,F,G分别是AD,DC,CA 条射线（交线）所成的角，即二面角的平面角. 的中点，且AD=DC, (3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的 ∴.DF LEG,且DF=DE, ∴.四边形EDFG为菱形，∴.EF 平面角，这是最常用也是最有效的一种方法. ⊥DG, ⊙[变式训练] 又.AB=BC,AG=GC,∴.AC 3.如图.已知Rt△ABC,斜边BC ⊥BG, Ca,点A年a,AO⊥a,O为垂 又EF∥AC,∴.EF⊥BG.又DG 足，∠ABO=30°，∠ACO= ∩BG=G,.EF⊥平面BDG,又 ,EFC平面BEF,∴.平面BEF⊥平面BDG 45°，求二面角A一BC一O的大小. ·151· 数学B版·必修第四册 解：如图，在平面a内，过点O 又.∠ABO=30°，∠ACO=45°，CO=a, 作OD⊥BC,垂足为D,连 ∴.AO=a,AC=√2a,AB=2a. 接AD. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴.BC=√JAC+AB 设OC=a. =√6a, ,AO⊥a,BCCa,.AO⊥BC. 又.AO∩OD=O,∴.BC⊥平面AOD. AD=AB·AC=2a·V24_23 BC √6a 3a. 又ADC平面AOD, ∴.AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平 在Rt△AOD中，sin∠ADO=A0-a-3 AD 23 面角. 34 由AO⊥a,OBCa,OCCa,知AOLOB,AO⊥OC. .∠ADO=60°，即二面角A-BC一O的大小 是60°. 随堂。步步夯实 对应学生用书P82 1.二面角是 A.两平面相交所成的角 B.一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D.从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该 平面所组成的图形 .AB=AD=2W3,.OC⊥BD,CO=√6. 解析：C由二面角定义可知，故C.] .CD=BC,.CD=CB,∴.CO⊥BD. 2.下列命题中正确的是 ( ) ∴∠COC为二面角CBDC的平面角. A.平面a和3分别过两条互相垂直的直线，则α⊥3 CC-23 B.若平面α内的一条直线垂直于平面B内的两条 am∠Coc-0-后号 平行直线，则α⊥3 .∠C1OC=30°，即二面角C,BDC的大小为30°. C.若平面α内的一条直线垂直于平面3内的两条 答案：30 相交直线，则α⊥3 5.如图，过S点引三条长度相等 D.若平面a内的一条直线垂直于平面3内的无数 但不共面的线段SA,SB,SC, 条直线，则a⊥3 且∠ASB=∠ASC=60°， 解析：C[当平面a和B分别过两条互相垂直且异 ∠BSC=90°， 面的直线时，平面Q和B有可能平行，故A错；由直 求证：平面ABC⊥平面BSC. 线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.] 证明：如图，取BC中点D,由 3.把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一 SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°，得AB=AC 个二面角，此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是 =SA. 解析：此二面角的平面角为∠BDC,设AD=1,则 AB=AC=√2，又∠BAC=60°，.BC=√2，在 △BDC中，BD=CD=1,BD2+CD2=BC2, ∴.∠BDC=90°. D 答案：90 连接SD,AD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴.∠ADS是 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2√3 二面角A一BC-S的平面角. CC,=√2，则二面角C,一BD一C的大小为 又∠B5C-90,令SM=1,别SD=9AD=号， 21 解析：如图所示，取BD中点O,连接OC,OC1, ∴.SD+AD=SA2,.∠ADS=90°. .平面ABC⊥平面BSC. ·152· 第十一章立体几何初步 课后。素养提升 对应学生课时P42 基础过关 解析：A[,PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, JI CHU GUO GUAN ∴.PA⊥BC. 1.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,那 又BC⊥AB,PA∩AB=A, 么有 .BC⊥平面PAB.,BCC平面PBC, A.平面ABC⊥平面ADC .平面PBC⊥平面PAB. B.平面ABC⊥平面ADB 由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A,得AD⊥平 C.平面ABC⊥平面DBC 面PAB. D.平面ADC⊥平面DBC ADC平面PAD,.平面PAD⊥平面PAB. AD⊥BC AD⊥平面BCD 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故 解析：D[AD⊥BD 又ADC平面ADC 选A.] BC∩BD=BJ 5.(多选题)下列命题，正确的是 平面ADC⊥平面DBC.] A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 2.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直， 与平面PCD垂直的平面是 ( ) 则a,b组成的角与这个二面角的平面角相等或 互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 面内作射线所成角的最小角 A.平面ABCD B.平面PBC D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置 C.平面PAD D.平面PAB 没有关系 解析：C[PA⊥CD,AD⊥CD,PA∩AD=A, 解析：BD[A.不符合二面角定义，C从运动的角 CD⊥平面PAD,又CDC平面PCD,∴.平面 度演示可知，二面角的平面角不是最小角，故 PCD⊥平面PAD.] 选BD.] 3.在三棱锥A一BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD, 6.(多选题)设1，m,n表示三条不同的直线，a,3,y表 △BCD是锐角三角形，那么必有 () 示三个不同的平面，给出下列四个选项中正确的是 A.平面ABD⊥平面ADC () B.平面ABD⊥平面ABC A.若l∥a,m∥l,m⊥3，则a⊥3 C.平面ADC⊥平面BCD B.若m⊥a,m⊥n,则n∥a D.平面ABC⊥平面BCD C.若m,n为异面直线，m∥a,n∥a,m∥B,n∥3，则 解析：C[由AD⊥BC,BD⊥AD,∴.AD⊥平面 a∥3 BCD,又ADC平面ADC,∴.平面ADC⊥平 D.若a⊥3，a⊥Y,则y⊥3 面BCD.] 解析：AC[对于B,n有可能在a内，错误；对于 4.如图，设P是正方形ABCD外一 D,则可能有a∥B,错误；AC正确.] 点，且PA⊥平面ABCD,则平面 7.ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,则二面角B PAB与平面PBC、平面PAD的 PA一C的平面角的度数为 位置关系是 )0 解析：，PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,AC A.平面PAB与平面PBC、平面 C平面ABCD,.PA⊥AB,PA⊥AC,即∠BAC即 PAD都垂直 为二面角B一PA一C的平面角，又在正方形中 B.它们两两垂直 ∠BAC=45°，故所求二面角的平面角为45°. C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不 答案：45 垂直 8.如图，四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形， D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 PA⊥底面ABCD,则这个五面体的五个面中两两 互相垂直的共有 对 ·153· 数学B版·必修第四册 在△ABD中，AB=a,BE- BD-。 , D 所以AE=√AB-BE=2 . 解析：因为PA⊥平面ABCD,所以平面PDA⊥平 同理CE=2 a.在△AEC中，AE=CE=。 .AC 面AB-CD,平面PAB⊥平面ABCD,又因为四边 =a. 形ABCD为矩形，所以AB⊥平面PAD,得平面 由于AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,所以 PAB⊥平面PAD,同理可得平面PBC⊥平面 ∠AEC=90°，所以平面ABD⊥平面BCD. PAB,平面PAD⊥平面PCD.故图中互相垂直的 11.如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB 平面共有5对. =AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明：平 答案：5 面ABM⊥平面A,B,M. 9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折 叠，使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= ,∠BAC= B 证明：由长方体的性质可知AB1⊥平面BCC1B1, 又因为BMC平面BCC1B1,所以A,B1⊥BM.又 因为CC1=2,M为CC1的中点，所以C1M=CM 解析：因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所 =1.在Rt△B,C,M中B,M=√B,C+MC=√2， 以∠BDC是二面角B一AD一C的平面角.因为平 同理BM=√/BC十CM=√2，又因为B,B=2,所 面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD 以BM+BM=B1B,从而BM⊥B1M.又因为 中，∠BDC=90,BD=CD=号，所以BC A1B1∩B1M=B1,A1B1,B1MC平面AB,M,所 以BM⊥平面A1B,M,因为BMC平面ABM,所 以平面ABM⊥平面A1B,M. 则△ABC为正三角形，所以∠BAC=60°， 能力提升 NENG LI TI SHENG 答案：160° 12.如图所示，在四棱锥P一 10.如图，在四面体ABCD中， ABCD中，PA⊥底面ABCD, M BD=√2a,AB=AD=CB= 且底面各边都相等，M是PC D CD=AC=a.求证：平面 B 上的一动点，当点M满足 ABD⊥平面BCD. 时，平面MBD⊥平面A B 证明：取BD的中点E,连接 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) AE,CE, 解析：连接AC.,底面ABCD的各边都相等， .BD⊥AC. ,PA⊥底面ABCD,BDC平面ABCD, .BD⊥PA. 又PA∩AC=A,∴.BD⊥平面PAC 又PCC平面PAC,∴.BD⊥PC. 因为△ABD与△BCD是等腰三角形， .当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 所以AE⊥BD,BD⊥CE. 即有PC⊥平面MBD,而PCC平面PCD, 所以∠AEC是二面角A一BD一C的平面角. .平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等，答案不唯一) ·154· 第十一章立体几何初步 13.(2021·全国乙卷（文），18)如 (2)M为BC的中点， 图，四棱锥P一-ABCD的底面 是矩形，PD⊥底面ABCD,M ÷BM=2AD,且AB=DC=1①. 为BC的中点，且PB⊥AM. ,AM⊥平面PBD,BDC平面PBD, (1)证明：平面PAM⊥平 .AM⊥BD 面PBD; 则有∠BAM+∠MAD=90°，∠MAD+∠ADB (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积. =90°，即∠BAM=∠ADB, 解析：(1)证明：，PDL平面ABCD, AMC平面ABCD, 刚有△BAADB,.利有器-合祭， ∴.PD⊥AM. 将①式代入②，解得AD=√2. .PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=D,PBC平面 所以SBABCD=AD·DC=√2X1=√2. PBD,PDC平面PBD, .AM⊥平面PBD. Vp-ANCD= 又.AMC平面PAM. 答案：(1)见解析；(2)Vp-ABcD 2 .平面PAM⊥平面PBD 第二课时平面与平面垂直的性质 课程标准 素养解读 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决 运用平面与平面垂直的性质定理进行与线面垂 一些简单问题 直的转化，培养学生的逻辑推理素养和直观想 2.了解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性 象素养 质定理的相互联系 课前。预习学案 对应学生用书P82 [情境引入] [知识剖析] 米兰地标建筑垂直森林有望引入南京. (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面 内；③这条直线垂直于两个平面的交线， (2)两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可 能平行、相交（含垂直）或异面. 问题两个平面垂直，有怎样的性质？ 2.性质定理的作用 提示在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 (1)证明线面垂直、线线垂直；(2)构造面的垂线. 一个平面. [知识剖析] [知识梳理] (1)若题目所给的条件中有面面垂直的条件，一般要 [知识点]平面与平面垂直的性质定理 1.性质定理的内容 注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线.若有， 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直 则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若设 线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一 有，一般要利用性质定理作交线的垂线，转化为线 个平面垂直.简记为“若面面垂直，则线面垂直” 面垂直、线线垂直. 图形语言：如图。 (2)在证明线面垂直、线线垂直，作线面角、二面角的 符号语言：a⊥3，a∩3=l,ABC3, 平面角时往往利用性质定理. AB⊥I于点B→AB⊥a. ·155·