11.4.1 第2课时 直线与平面垂直的性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 第二课时直线与平面垂直的性质 课程标准 素养解读 1.掌握并会应用直线与平面垂直的性质定理 2.理解平行与垂直之间的关系 通过直线与平面垂直性质的运用，培养学生的 3.进一步理解线线垂直、线面垂直、相互转化及转化的数学 逻辑推理素养和直观想象素养 思想 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]直线与平面垂直的应用 在阳光下旗杆直立于地面 1.直线与平面所成的角 上，在另一侧路边电线杆也 直立于地面上。 问题垂直于同一个平面 的两条直线平行吗？ (1)斜线：与平面a相交，但不和平面a垂直，图中直 [知识梳理] 线PA. [知识点一]直线与平面垂直的性质 (2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A. 1.直线与平面垂直的性质定理 (3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过 如果两条直线垂直于同一个平面，那 垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射 文字语言 么两条直线平行 影，图中斜线PA在平面a上的射影为直线AO. (4)直线与平面所成的角： 符号语言 l⊥a→l∥m ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 m⊥aJ 成的锐角. ②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直 图形语言 角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成 的角是0的角. (5)取值范围：0°≤0≤90°. 2.对性质定理的理解 2.常用规律：设P是三角形ABC所在平面a外一点， (1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法. O是P在a内的射影. (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联 (1)若PA=PB=PC,则O为△ABC的外心.特别地 系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (3)与垂直有关的结论 当∠C=90°时，O为斜边AB的中点. ①如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个 (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心. 平面，则另一条直线也 这个平面 (3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的 ②过空间中一点.有且只有一条直线与已知平面 内心 垂直 3.点、直线到平面的距离 ?思考1.两条平行线中的一条垂直一个平面，另一 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这 条垂直这个平面吗？ 个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的 距离. (2)直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这 2.垂直于同一个平面的两个平面一定平行吗？ 条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条 直线和这个平面的距离。 3.证明两条直线平行的常用方法有哪些？ [预习自测] 1.若直线a⊥直线b,且a⊥平面a,则 A.b⊥a B.bCa C.b∥a D.b∥a或bCa ·76· 第十一章立体几何初步 2.直线a与平面a所成的角为50°，直线b∥a,则直线 4.如图，在四棱锥P一ABCD中， b与平面a所成的角为 ( 底面ABCD是矩形，AB⊥平 A.40°B.50° C.90° D.1509 面PAD,AD=AP,E是PD 3.如图所示，在三棱锥S一ABC中，AB =AC,SB=SC,则直线SA与BC所 的中点，M,N分别在AB,PC 成的角大小为 上，且MN⊥AB,MN⊥PC.则AE与MN的位置 关系为 课堂。互动学案 题型一 线面垂直性质定理的应用 题型二 求直线与平面所成的角 [例1] 如图，正方体A1B1C1D, [例2]如图，在棱长为1的正方体ABCD ABCD中，EF与异面直线AC,AD A1BC1D1中，E是A1B,的中点.求直线AE与平 面ABC,D,所成的角的正弦值. 都垂直相交 求证：EF∥BD 思路点拨]要证线线平行，先证线面垂直，证 EF⊥平面AB,C,BD1⊥平面AB,C. [尝试解答」 [思路点拨]先作出AE在平面ABC,D1上的射 影，找角，再求角 [尝试解答] 规律方法 证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. 规律方法 (2)利用三线平行的传递性：证两线同时平行于第 求斜线与平面所成角的步骤 三条直线。 (1)作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射 (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化 影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜 为证线面平行. 足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置 (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化 要与问题中已知量有关，才能便于计算. 为证线面垂直。 (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直 (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化 角三角形中计算， 为证面面平行： ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.如图，在正四面体A一BCD中，E是棱AD的中 1.在正方体ABCD一ABC,D1中，如图E、F、G、H、 点，求直线CE与底面BCD所成的角的正弦值. M、N分别是相应棱的中点。 求证：平面EFG∥平面HMN. ·77· 数学B版·必修第四册 题型直线与平面垂直的应用 2.一条直线与一个平面平行时，这条直线上的任一 [例3]如图所示，已知P为△ABC外一点，PA, 点到这个平面的距离叫直线与平面的距离，求线 PB,PC两两垂直，PA=PB=PC=a,求P点到平 面距离常转化为求点面距离或平行线间的距离. 面ABC的距离. 3.求点面距离的常用方法； (1)直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常是 化归到某一个直角三角形中去求解； (2)转移法：借助于线面平行将点转移到直线上某 一特殊点到平面的距离求解； (3)等积法：利用三棱锥的特征选择恰当的底面来 求点到面的距离（即棱锥的高） [思路点拨]先作线面垂直，再解△AOB求出 ◇[变式训练] OA,然后解Rt△OPA求出PO,即点P到平面 3.如图所示，三棱锥A一BCD中，AB ABC的距离. ⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD: [尝试解答] (2)若AB=BD=CD=1,M为AD 中点，求三棱锥A一MBC的体积， 规律方法 1.求点线距离：一般先作点到直线的垂线段，再把 此垂线段放在一个三角形中，解此三角形求垂 线段的长度， 随堂。步步夯实 1.已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC 5.如图所示，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点， ⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 AB=2,AC=1,P为⊙O所在平面外一点，且PA A.平行四边形 B.矩形 垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45°. C.正方形 D.菱形 2.如图所示，已知六棱锥P一ABCDEF的底面是正 六边形，PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正 确的是 ( (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求点A到平面PBC的距离. A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45 3.若斜线段AB是它在平面a的射影长的2倍，则 AB与平面a所成角为 4.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面 ABCD,底面是边长为2的菱形，且∠ABC=45°， PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切 值为 C温攀提 学习至此，请完成配套训练 ·78·[例3][证明]连接AE,取AB的中点F,连接CF,DF. AC=BC,.CF⊥AB. 又AD=BD,.DF⊥AB. .'CF∩DF=F,CFC平面CDF,DFC 平面CDF, .AB⊥平面CDF. B 又，CDC平面CDF,.CD⊥AB. 又CD⊥BE,AB∩BE=B,ABC平 面ABE,BEC平面ABE, .CD⊥平面ABE. 又AHC平面ABE,∴.CD⊥AH. 又，AH⊥BE,且BE∩CD=E,BEC平面BCD,CDC平 面BCD, .AH⊥平面BCD. 变式训练 3.证明(1)，SA=SC,D为AC的中点，∴.SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD=DC=BD,又SA=SB, .△ADS≌△BDS.∴.SD⊥BD. 又AC∩BD=D,AC,BDC平面ABC, .SD⊥平面ABC. (2)BA=BC,D为AC的中点，.BD⊥AC 又由(1)知SD⊥BD, 于是BD垂直于平面SAC的两条相交直线. ∴.BD⊥平面SAC 随堂步步夯实 1.A「由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所 在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所 以该直线与它们所在的平面不一定垂直，」 2.B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB 与平面CDE不垂直； 对于②，易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E, 所以AB⊥平面CDE: 对于③，易证AB与CE所成角为60°，所以直线AB与平 面CDE不垂直： 对于④，易证ED⊥平面ABC,得ED⊥AB,易证EC AB,可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3.C[l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,.1⊥平面ABC,同 理m⊥平面ABC,.l∥m.] 4.解析：由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在 BAPAC中，n☑C1-0-店誓/C1=r 答案：30 5.证明：由已知得：AC⊥BD,AD=CD, 又由AE=CR,得带需故AC/ER 因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H. 由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB2-AOP=4. 由F∥AC特器-铝所以OH=1, D'H=DH=3. 于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH 又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,OH,EFC平面ABCD 所以D'H⊥平面ABCD. 第二课时直线与平面垂直的性质 课前预习学案 情境引入 提示平行. 知识梳理 知识点一、2.(3)垂直于 [思考] 1.[提示]垂直. ·1 参考答案 2.[提示]不一定.例如正三棱柱的两个侧面都垂直于底 面，但它们不平行 3.[提示](1)平行线的传递性：(2)线面平行的性质定理： (3)面面平行的性质定理：(4)线面垂直的性质定理. 预习自测 1.D[当bCa时，a⊥a,则a⊥b:当b∥a时， a⊥a,则a⊥b.故选D.] 2.B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b 与a所成的角也是50°.] 3.解析：如图所示，取BC的中点M,连接AM,SM. 因为AB=AC,SB=SC,所以AM⊥BC,SM⊥BC. 又AM∩SM=M,故BC⊥平面SAM, 又SAC平面SAM,则BC⊥SA. 所以直线SA与BC所成角的大小为受 答案：受 4.解析：AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,AB⊥AE 又AB∥CD,∴.AE⊥CD. AD=AP,E是PD的中，点，.AE⊥PD. 又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD .MN⊥AB,AB∥CD,.MN⊥CD. 又，MN⊥PC,PC∩CD=C,∴.MN⊥平面PCD. ∴.AE∥MN. 答案：AE∥MN 课堂互动学案 [例1][证明]如图所示， 连接AB1,B1D1,B1C,BD, DD1⊥平面ABCD, D ACC平面ABCD,∴.DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BD1C平面BDD1B1, .AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C, D 又AC∩B1C=C, .BD1⊥平面AB1C. EF⊥A1D,A1D∥B1C,.EF⊥B1C. 又，EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴.EF⊥平面ABC,∴.EF∥BD1. 变式训练 1.证明：连接D1B、DB可知， EF⊥DB,EF⊥DD,且DB∩DD =D, EF⊥平面D1DB, ∴.EF⊥D1B. 同理EG⊥D1B,EF∩EG=E. DB⊥平面EFG. 同理D1B⊥平面HMN ∴.平面EFG∥平面HMN. [例2][解]如图，取CD的中点 F,连接EF交平面ABCD1于点 O,连接AO,B1C,BC. 由ABCD一A1BC1D1为正方体； 易得B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC ∩D1C1=C1,BC1C平面ABC1D1, 数学B版·必修第四册 D1C1C平面ABC1D1,∴.B1C⊥平面ABC1D1 E,F分别为A1B1,CD的中点，∴EF∥B1C, .EF⊥平面ABC1D1,即∠EAO为直线AE与平面 ABC1D1所成的角。 在R△B0A中，B0-子EF=B,C-9, AE√A,+AA√兮2+1P=5, 2 ∴sin∠EAO=E0=o AE 5 ·直线AE与平面ABC,D,所成的角的正弦值为四 5 变式训练 2.解：设正四面体A一BCD的棱长为1. 如图，作AO⊥平面BCD,垂足 为O,则O是△BCD的重心，故 过点E作EG∥OA,EG∩OD= G,则EG⊥平面BCD.连接CG, 于是∠ECG就是直线CE与底 面BCD所成的角. 在RI△EGC中，BG=号A0=分VAD-DO 1 √12-(2- 3 6 ,CE=5 2 E ∴.sin∠ECG= EG6=2 2 “直线CE与底面BCD所或的角的正候位为号 [例3]解]如图所示，过P作PO⊥平面ABC于O点， 0 B 连接AO,BO,CO, '.PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC ,PA=PB=PC=a, .△PAO≌△PBO≌△PCO, ∴.OA=OB=OC,∴.O为△ABC的外心. 又PA,PB,PC两两垂直，∴.AB=BC=CA=√2a, 5△1BC0为正三商形01-号AB=S。 3. P0P-A0-原. 三点P到平面ABC的距离为得 变式训练 3.(1)证明：，AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, .AB⊥CD 又CD⊥BD,AB∩BD=B, ABC平面ABD,BDC平面ABD,∴.CD⊥平面ABD. (2)解：由AB⊥平面BCD,BDC平面BCD, 得AB⊥BD. AB=BD=1,.S△ABD=2 1 ·1 :M是AD的中点，∴.S△ABM= 1 由(1)知，CD⊥平面ABD, .三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A- MBC的体款Ve=子S2Aw·A=立 随堂步步夯实 1.D[如图所示，PA⊥平面ABCD, P xC .PA⊥BD.,PC⊥BD,且PA∩PC=P,BD⊥平面 PAC,.AC⊥BD.∴.四边形ABCD为菱形.] 2.D[设AB长为1，由PA=2AB得PA=2,又ABCDEF 是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC,所以 PA⊥AD,所以△PAD为直角三角形. PA=AD,∠PDA=45°，.PD与平面ABC所成的 角为45°，故选D.] 3.解析：线面角。的余弦值为7，所以。=60° 答案：60° 4.解析：作AE⊥BC于点E,则BC⊥平面PAE,可知点A 在平面PBC上的射影在直线PE上，故∠APE为所求的 角.AR=An45”-,m∠APE=货-号 答案号 5.解析：(1)证明：PA⊥平面ABC,.PA⊥BC. AB是圆O的直径，C为圆上一点，BC⊥AC 又，PA∩AC=A,∴.BC⊥平面PAC. (2)如图所示，过点A作AD⊥PC于点D, BC⊥平面PAC,ADC平面PAC,∴.BC⊥AD, ,∴.AD⊥平面PBC. ∴.AD即为点A到平面PBC的距离. D ∴.依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角， 即∠PBA=45°，∴.PA=AB=2,AC=1,可得PC=5. AD·C=PA:ACAD-2-25,甲点A到年 5 面PBC的距离为25 5 11.4.2平面与平面垂直 第一课时平面与平面垂直的判定 课前预习学案 情境引入 提示用二面角的平面角来度量， 知识梳理 [思考] 1.[提示]4个.相对的两个二面角相等，相邻的两个二面角 互补 22·