11.4.1 第1课时 直线与平面垂直的判定（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第一课时 直线与平面垂直的判定 课程标准 素养解读 1.了解直线与平面所成的角，会求直线与平面所成的角 通过对直线与平面垂直的判定与性质的运用， 2.了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判 培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养 定定理 课前。预习学案 对应学生用书P73 [情境引入] 2.直线与平面垂直的判定定理 鲁班是我国古代一位出色的发 文字语言 图形语言 符号语言 明家，他在做木匠活时，常遇到 直角，为省事他经过改进做成 如果一条直线与 一把“L”形的木尺，叫曲尺.现 l⊥m, 一个平面内的两 l⊥n, 在的木工要检查一根木棒是否和板面垂直.只需用 条相交直线垂 m mCa, →la 曲尺在不同的方向（不是相反方向）检查两次，曲尺 的两边分别与木棒和板面密合即可 直，则这条直线 nCa, 问题这种操作得出木板与板面垂直的依据是 与这个平面垂直 m∩n=P 什么？ 3.判定定理的理解 提示直线与平面垂直的判定定理. [知识梳理] (1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若 没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线， [知识点一]直线与直线所成的角 1.两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得 也不能判定直线垂直于平面. 到的不大于直角的角的大小 (2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线 2.一般地，如果a,b是空间中的两条异面直线，过空 与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已 间中任意一点，分别作与a,b平行或重合的直线 知直线有交点，无关紧要 a',b',则a',b所成角的大小，称为异面直线a与b 4.线面垂直的判定方法 所成角的大小 ①用定义：证1和α内任意一条直线垂直.②用定 3.规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°.两条 理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把 直线所成的角α也称为两条直线的夹角，范围是 定理简化为线线垂直→线面垂直.③利用平行线： 0°≤a≤90°，特别地，空间中两条直线1，m所成角 若a⊥a,证l∥a即可知l⊥a. 的大小为90时，称1与m垂直，记作lLm. ?思考1.如果直线与平面内无数条直线垂直，那它 [知识点二]直线与平面垂直及其判定定理 和平面垂直吗？ 1.直线与平面垂直的定义 提示：不一定，当直线与平面不垂直时，平面内也 文字语言 图形语言 符号语言 有无数条直线与直线垂直. 如果直线1与平 2.aCa,bCa,l⊥a,l⊥b,则l⊥a对吗？ 面a内的任意一 提示：不一定.只有当a与b相交时，才有l山a, 条直线都垂直， 预习自测] 就说直线1与平 1.下列条件中，能使直线m⊥a的是 面a互相垂直， 直线1叫做平面 l⊥a台HmCa, A.m⊥b,m⊥c,bCa,cCa B.m⊥b,b∥a a的垂线，平面a C.m∩b=A,b⊥a 叫做直线（的垂 D.m∥b,b⊥a 面，它们唯一的 解析：D[对A,缺少b与c相交，不能推出m⊥a; 公共点P叫做 对B,当m⊥b,b∥a时，可能有m∥a或mCa;对 垂足 C,可能有m∥a或m二a或m与a相交.] ·136· 第十一章立体几何初步 2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和 知∠A'BC'=60°.由AD∥BC知AD与BC'所成 三角形的第三边的位置关系是 的角就是∠C'BC,易知∠CBC=45°. A.平行 B.垂直 D' C.相交不垂直 D.不确定 解析：B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则 其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边.门] 3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中， 则：(1)BC与CD'所成的角为 (2)AD与BC'所成的角为 解析：如图，连接BA',A'C',则BA'∥CD,故∠A'BC 答案：(1)60°(2)45 就是BC'与CD'所成的角.由△A'BC'为正三角形， 课堂。互动学案 对应学生用书P74 题型一求异面直线所成角的大小 2.求两条异面直线所成的角的一般步骤； [例1]在三棱柱ABC-AB,C1中，AA1与AC,AB (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平移法 所成的角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC= 作出异面直线所成的角或其补角； AA1,求异面直线A,B与AC,所成角的余弦值. (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角： [思路点拔先通过找平行线作出角，再求解。 (3)计算：求角度，常利用三角形求解； [解]如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABCD (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所 -AB CD 求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则 连接BD1,A1D1,AD, 它的补角就是所求异面直线所成的角· 由四棱柱的性质知BD1∥AC, ◇[变式训练] 则∠ABD1就是异面直线A1B 与AC1所成的角， 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=AA1= 设AB=a, 2,E为BC的中点，BC=2AE=2√2，则异面直线 'AA1与AC、AB所成的角均为60°，且AB=AC AE与A,C所成的角是 =AA1, 解析：如图，取B,C1的中，点E1,连接 ∴.A1B=a,BD1=AC1=2AA1cos30°=3a. AE,E C, 又∠BAC=90°，.在矩形ABDC中，AD=√2a, ,AE∥A,E,∴∠E1AC是异面直 ∴.A1D1=√2a,.A1D+A1B2=BD,.∠BA1D 线AE与AC所成的角或其补角」 =90°， A1C1=A1B1=AA1=2,B1C1=22, ·在Rt△BAD中，cos∠ABD,= ABa .∠B1A1C1=90°. BD1√3a 在正方形AA1C1C中，A,C=2√2 5即异面直线A,B与AC,所成角的余弦值 AE1⊥B1C,AE1⊥CC1,B,C1∩CC1=C1 装 A1E1⊥平面BB1C1C,.AE1⊥CE 规律方法 ·在Rt△A,EC中，cos∠E,A,C=4E AC2√2 1.平移法作异面直线所成角的策略： (1)直接平移； (2)找等分点（如中点）平移： .异面直线AE与A,C所成的角是60°. (3)补形平移. 答案：60 ·137· 数学B版·必修第四册 题型 线面垂直概念的理解 题型直线与平面垂直的判定定理 [例2]下列命题中，正确的序号是 [例3]如图，已知空间四边形ABCD的边BC= ①若直线1与平面α内的无数条直线垂直，则ILa: AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于 ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥a; 点H.求证：AH⊥平面BCD. ③若直线l不垂直于平面a,则a内没有与I垂直的 直线： ④若直线1不垂直于平面a,则a内也可以有无数 条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条， 汇思路点拨了“正确理解线面垂直的定义是解题的 [思路点拨]在平面BCD内寻找两条相交直线 关键， 都和AH垂直即可， [解析]当直线l与平面α内的无数条平行直线 [证明]连接AE,取AB的中点F,连接CF,DF. 垂直时，l与a不一定垂直，所以①不正确；当l与a AC=BC,.CF⊥AB. 内的一条直线垂直时，不能保证1与平面α垂直， 又：AD=BD,.DF⊥AB 所以②不正确；当1与a不垂直时，l可能与a内的 ,CF∩DF=F,CFC平面CDF, 无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一 DFC平面CDF, 点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正 AB⊥平面CDF 确.故填④⑤. 又.CDC平面CDF,∴.CD⊥AB [答案]④⑤ 又.CD⊥BE,AB∩BE=B,ABC平面ABE, BEC平面ABE,..CD平面ABE 规律方法 又，AHC平面ABE,.CD⊥AH. 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线 又，AH⊥BE,且BE∩CD=E,BEC平面BCD, 的任意性要注意理解，实际上，“任何一条”与 CDC平面BCD,.AH⊥平面BCD. “所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时， 规律方法 该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此 1.要证线面垂直，即证这条直线垂直于平面内的 可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线 两条相交直线，而要证线线垂直，又可以考虑证 不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面 一条直线垂直于另一条直线所在的平面.若两 垂直. 条直线共面还可以用平面几何的知识或勾股定 2.由定义可得线面垂直→线线垂直，即若a⊥a,b Ca,则a1h. 理的逆定理来证明. 2.线线垂直和线面垂直的相互转化 ◇[变式训练] 线面垂直的定义 2.设1，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列 命题正确的是 ( 线面垂直的判定定理 线面垂直 A.若l⊥m,mCa,则l⊥a B.若I⊥a,l∥m,则m⊥a C.若l∥a,mCa,则l∥m 如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂 直，那么另外一条直线也与此平面垂直 D.若l∥a,m∥a,则l∥m 解析：B[对于A,直线I⊥m,m并不代表平面a ◇[变式训练] 内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B, 3.如图所示，Rt△ABC所在平面 因l⊥a,则l垂直a内任意一条直线，又l∥m,由异 外有一点S,且SA=SB=SC, 面直线所成角的定义知，m与平面。内任意一条直 点D为斜边AC的中点. 线所成的角都是90°，即m⊥a,故B正确；对于C, (1)求证：SD⊥平面ABC; 也有可能是1，m异面；对于D,l,m还可能相交或 (2)若AB=BC,求证：BD⊥平 异面.] 面SAC. ·138· 第十一章立体几何初步 证明(1)，SA=SC,D为AC的中点， .SD⊥平面ABC SD⊥AC. (2),BA=BC,D为AC的中点，.BD⊥AC 在Rt△ABC中，AD=DC=BD,又SA=SB, 又由(1)知SD⊥BD, ∴.△ADS≌△BDS..SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC的两条相交直线. 又AC∩BD=D,AC,BDC平面ABC, .BD⊥平面SAC. 随堂。步步夯实 对应学生用书P75 1.如果一条直线垂直于一个平面的下列各种情况，能 4.矩形ABCD中，AB=1,BC=√2，PA⊥平面ABCD, 保证该直线与平面垂直的是 PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是 ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； ④正六边形的两条边 解析：由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成 A.①③ B.② C.②④ D.①②④ 的奇东RPaC中，∠PCA沿店-停， 解析：A[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于 .∠PCA=30°. ①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一 答案：30° 定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一 5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, 定垂直.] AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上，AE= 2.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE CF=,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到 垂直的是 △DEF的位置，OD'=√IO.证明：DH⊥平面 ABCD. ① ② ③ ④ A.①② B.②④ C.①③ D.②③ 解析：B[对于①，易证AB与CE所成角为45°， 所以直线AB与平面CDE不垂直； 证明：由已知得：AC⊥BD,AD=CD, 对于②，易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E, 又由AE=CF,将船-器女AC/EP 所以AB⊥平面CDE; 因此EF⊥HD,从而EF⊥DH. 对于③，易证AB与CE所成角为60°，所以直线 由AB=5,AC=6得DO=BO=√JAB2-AO=4. AB与平面CDE不垂直； 对于④，易证ED⊥平面ABC,得ED⊥AB,易证 由ErAC谷器铝=，所以OH=1.DH EC⊥AB,可得AB⊥平面CDE.故选B.] =DH=3, 3.△ABC所在的平面为a,直线l⊥AB,l⊥AC,直线 于是DH+OH=32+1=10=D'O2, m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( ) 故D'H⊥OH. A.相交 B.异面 又DH⊥EF,而OH∩EF=H,OH,EFC平面 C.平行 D.不确定 ABCD 解析：C[:1⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,∴.I⊥平 所以D'H⊥平面ABCD. 面ABC,同理m⊥平面ABC,∴l∥m.] ·139· 数学B版·必修第四册 课后。素养提升 对应学生课时P38 ----● 基础过关 A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG JI CHU GUO GUAN C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF 1.正方体ABCD一AB,C,D,中与AD1垂直的平面 解析：A[在图①中，SG1⊥G1E,SG⊥G3F,因此 是 在图②中，SG⊥GE,SG⊥GF,又GE∩GF=G, A.平面DD,C,C B.平面A,DB ∴.SG⊥平面EFG.] C.平面AB1C1D D.平面A1DB 5.(多选题)已知m,n表示两条不同直线，a表示平 解析：D[如图，，AD1⊥AD,AD1⊥AB1,A1D 面.下列说法错误的是 () ∩AB1=A1,.AD1⊥平面A1DB1,故选D.] A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m⊥a,nCa,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a D.若m∥a,m⊥n,则n⊥a 解析：ACD[A中m与n还可以相交、异面，B符 B 合垂直定义，C中直线n可能在a内，D中n可能与 2.如图所示，在正方体ABCD一 a平行、或斜交、在平面内.] A1BC,D1中，E,F分别是AB,A 6.(多选题)若a,b表示空间中两条不同直线，a表示 AD的中点，则异面直线AC 平面，下列说法正确的是 与EF所成的角的大小为 A.a∥a,b∥a→a∥bB.a⊥a,b⊥a→a∥b C.a∥b,bCa→a∥aD.a⊥a,a∥b→b⊥a A.30 B.45° 解析：BD[A中a与b可能相交，平行或异面，错 C.60° D.90° 误；B正确；C中缺少条件a中a,故错误，D正确.] 解析：D[连接BD1,D,C,则B,D,∥EF,因为 7.如图所示，PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则 AC1⊥B,D1,所以所求角的大小为90°.] 图中直角三角形的个数有 3.如图所示，a∩3=l,点A,C∈a, 点B∈B,且BA⊥a,BC⊥B,那么 直线1与直线AC的关系是 ( )B A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 解析： 解析：C[.BA⊥a,a∩B=l,lCa,∴.BA⊥L. PA⊥平面ABC 同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴.l⊥平面ABC PA⊥BC BDC平面ABC ,ACC平面ABC,.1⊥AC.] PA⊥AB ABC平面ABC 4.如图①，在正方形SGGG3中，E,F分别是边 PA⊥AC ACC平面ABC G1G2,G,G3的中点，D是EF的中点，现沿SE,SF PA⊥BC 及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何 BC⊥平面PAC AC⊥BC →BC⊥PC 体，使G1,G2,G,三点重合于点G,则下面结论成立 PCC平面PAC PA∩AC=A 的是 ( ∴.直线三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 答案：4 8.如图所示，在正方体ABCD-AB,C1D1中，M,N 分别是棱AA1和AB上的点，若∠B,MN是直角， 则∠C,MN= G ① ·140· 第十一章立体几何初步 证明：(1)，PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC. ,△ABC是直角三角形，AB为斜边，.BC⊥AC, 又AC∩PA=A,∴.BC⊥平面PAC. (2)由(1)知BC⊥平面PAC, ,ANC平面PAC,.BC⊥AN 解析：，B,C1⊥平面ABB,A1,MNC平面 又，AN⊥PC,BC∩PC=C, ABB1A1∴.B,C⊥MN.又，MN⊥B,M,B,C∩ .AN⊥平面PBC,又PBC平面PBC, B,M=B1,∴.MN⊥平面CB,M,又C,MC平面 .AN⊥PB,又.PB⊥AM,AM∩AN=A, CBM,∴.MN⊥C,M..∠C,MN=90. .PB⊥平面AMN. 答案：909 9.(多空题)如图，在棱长为a的 能力提升 D NENG LI TI SHENG C 正方体ABCD-A1B,CD1A1 12.在直三棱柱ABC-A,B,C中，BC=CC1,当底面 B 中，M,N,P,Q是相应棱的中 A1B,C满足条件 时，有AB1⊥BC1· 点，则(1)MN与PQ的位置 (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑 关系是 ,它们所成 &N 所有可能的情况) M 的角是60°；(2)MN与B1D 解析：如图所示，连接BC,由 的位置关系是异面，它们所成的角是 BC=CC1,可得BC1⊥B,C,因A 解析：PQ,MN与DC的延长线能交于一点，故 此，要证AB1⊥BC,则只要证 MN与PQ相交.又MN∥AC,且AC⊥平面 明BC1⊥平面AB,C,即只要证 BDD1B1,.AC⊥BD,∴.MN⊥B,D. AC⊥BC1,即可，由直三棱柱可 B 答案：(1)相交(2)90 知，只要证AC⊥BC即可.因为A,C1∥AC,B,C 10.如图，在空间四边形ABCD中， ∥BC,故只要证A,C1⊥B,C1即可.（或者能推出 E,F分别是AD,BC的中点，若 AC1⊥B,C1的条件，如∠A,C,B1=90°等) AC-0-a.F-号∠BDCB 答案：∠A1C1B1=90°（答案不唯一） 13.如图，在四棱锥P一ABCD =90°，求证：BD⊥平面ACD. 中，底面ABCD是矩形，PA 证明：如图，取CD的中点G, ⊥平面ABCD,AP=AB=2, 连接EG,FG, BC=2√2，E,F分别是AD, 则BG-3AC-7a, PC的中点. 证明：PC⊥平面BEF, FG-BD-u. 证明：如图所示，连接PE,EC, :EF-号EF=EG+FG .∠EGF=90°. .AC∥EG,BD∥FG,∴.BD⊥AC. ,∠BDC=90°，.BD⊥DC .AC∩DC=C,.BD⊥平面ACD. 在Rt△PAE和Rt△CDE中， 11.在斜边为AB的Rt△ABCP .'PA=AB=CD,AE=DE,..PE=CE, 中，过点A作PA⊥平面 即△PEC是等腰三角形， ABC,AM⊥PB于M,AN⊥ 又，F是PC的中点，.EF⊥PC PC于N.求证： 又，BP=√JAP+AB=2√2=BC, (1)BC⊥平面PAC; F是PC的中点，.BF⊥PC (2)PB⊥平面AMN. 又，BF∩EF=F,∴.PC⊥平面BEF ·141·