11.3.3 第2课时 平面与平面平行的性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 第二课时平面与平面平行的性质 课程标准 素养解读 应用面面平行的性质进行各种平行关系的转 1.掌握平面与平面平行的性质，会应用性质解决问题 化，培养学生的直观想象素养，提升逻辑推理 2.掌握线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化 素养 课前®预习学案 [情境引入] 2.若两个平面a与3平行，则平面a内的直线与平面 平整的桌面与地面是平行 3有何关系？ 的，教室的左、右两面墙也 是平行的，生活中随处可见 互相平行的平面 问题两个平面平行有怎 样的性质？ 3.若a∥3，则在这两个平面内各取一点连得线段长 相等吗？ [知识梳理] [知识点一]平面与平面平行的性质定理 (1)内容：如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行.（如图所示） [预习自测] B 1.在长方体ABCD一A'B'C'D'中，下列结论正确的 是 ( A.平面ABCD∥平面ABBA' a∥8 B.平面ABCD∥平面ADDA' (2)符号表示：a∩y=l →l∥m C.平面ABCD∥平面CDD'C 3∩y=m D.平面ABCD∥平面A'B'C'D (3)作用：证明两直线平行 2.已知平面a∥平面3，mCa,nC3,那么下列结论正 (4)推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应 确的是 ( 线段成比例. A.m,n是平行直线 B.m,n是异面直线 2思考1.平面平行具有传递性吗？若a∥B,a∥Y, C.m,n是共面直线 D.m,n是不相交直线 则3∥y成立吗？ 3.过正方体ABCD一AB1CD1的三顶点A1,C1,B 的平面与底面ABCD所在平面的交线为，则l与 A,C的位置关系是 4.已知平面a∥平面B,A,C∈a,B,D∈3，直线AB与 CD交于S,且AS=8,BS=9,CD=34,则CS= ·70· 第十一章立体几何初步 课堂。互动学案 题型一利用面面平行证明线面平行 [思路点拨由面面平行得到线线平行，把空间 [例1]如图，在四棱柱ABCD A 问题转化为平面问题进行计算 -A,B,C1D1中，底面ABCD B 、M [尝试解答] 为直角梯形，其中AD∥BC,且 AD=2BC=2AB=4.AB L AD,四边形ABB1A1是菱形，B M为A1D的中点.求证：CM∥平面AABB. [思路点拨]根据线线平行、线面平行、面面平行 的判定、性质定理判断本题是有效的方法，另外要 规律方法 善于构造空间图形模型。 1.利用面面平行性质定理证明线线、线面平行的 [尝试解答] 一般步骤. 确定（或寻找）两 找面面 个互相平行的平面 确定（或寻找）与两个 找交面 平行平面相交的平面 定交线 确定交线 规律方法 若两平面平行，则一个平面内的任一条直线都平 定结论 由定理得出结论 行于另一个平面，这是证明线面平行的常用方法. 2.证明线线平行的常用方法 ◇[变式训练] (1)平行公理（即平行的传递性）， 1.已知AB、CD是夹在两个平行平面a、3之间的线 (2)线面平行的性质定理：a∥a,aC3,a∩3=b 段，ACC平面B,M、N分别为AB、CD的中点. →a∥b. 求证：MN∥平面a. (3)面面平行的性质定理：a∥3，a∩y=a,β∩y=b 之a∥b. ⊙[变式训练] 2.如图，在四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面ABCD为 梯形，AD∥BC,平面ADCE与B,B交于点E.求 证：EC∥A,D. 题型二利用面面平行证明线线平行 [例2]如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、 C、D均在平行四边形A'B'C'D'所确定一个平面a 外，且AA'、BB'CC、DD'互相平行. 求证：四边形ABCD是平行四边形. D Q A ·71· 数学B版·必修第四册 题型 苹行关系的相互转化 2.平行关系综合问题的证明需灵活运用三种平行 [例3]已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱 关系的判定和性质定理作为论证的依据. 锥P-ABCD棱AB,PC的中点，平面CMN与平 3.对于空间平行的探索性问题，可采用猜想再证 面PAD交于PE,求证： 明的思路 (1)MN∥平面PAD: ⊙[变式训练] (2)MN∥PE. 3.如图，在四棱锥P一ABCD 思路点拨了利用平行之间的相互转化解题.■ 中，AB∥CD,E,F分别为 [尝试解答] PC,PD的中点，在底面 D ABCD内是否存在点Q,使平 面EFQ∥平面PAB?若存 在，确定点Q的位置；若不存 规律方法 在，说明理由. 1.线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整 体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行 关系的关键，其内在联系如下图所示： 直线与 判定 直线与 判定 平面与 直线平行 性质 平面平行面面平行定义 平面平行 性质 解题时，往往通过构造辅助平面将线线平行、线 面平行转化为面面平行. 随堂。步步夯实 1.已知平面a∥平面3，过平面a内的一条直线a的平 4.如图，在长方体ABCD D 面y与平面3相交，交线为直线b,则a,b的位置关 A1BC1D1中，过BB1的中 点E作一个与平面ACB, A 系是 A.平行 B.相交 平行的平面交AB于M,交 D C.异面 D.不确定 C于N,则C 2.（多选题)给出下面四个命题正确的是 A.分别在两个平行平面内的两直线平行 5.如图，O是长方体ABCD一AB,C,D1底面对角线 B.若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条 AC与BD的交点，求证：B,O∥平面A1CD. 直线必平行于另一平面 D C.如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则 这两个平面平行 D.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一 个平面，则这两个平面平行 3.给出四种说法： ①若平面a∥平面B,平面β∥平面y,则平面a∥平 面y; ②若平面a∥平面B,直线a与a相交，则a与3 相交； ③若平面a∥平面3，P∈a,PQ∥3，则PQCa; ④若直线a∥平面B,直线b∥平面a,且a∥B, ⊙温攀提 则a∥b. 学习至此，请完成配套训练 其中正确说法的序号是 ·72·数学B版·必修第四册 2.D[由两平面平行的判定定理知③④正确.] 3.解析：假若a∩3=l,设在平面a内，与l相交的直线为a, 且a∩1=A,对于B内的任意直线b,若b过点A,则a与b 相交，若b不过点A,则a与b异面，即3内不存在直线b ∥a,故a∥R. 答案：平行 4.解析：由面面平行的判定定理知，当点E与点D重合时， 平面AB1C∥平面A1EC. 答案：与点D重合 课堂互动学案 [例1][解析]①错，a与b也可能异面：②错，a与b也 可能平行：③正确，a∥B,a与3无公共点，又aCa,b C3,∴a与b无公共点；④正确，由已知及③知a与b无公 共，点，那么a∥b或a与b异面：⑤错，a与b也可能平行. [答案]③④ 变式训练 1.解析：①、②都不能保证a、3无公共点，如图1所示： 图1 图2 ③中当a∥a,a∥3时a与B可能相交，如图2所示； 只有④说明a、3一定无公共点. 答案：④ [例2][证明]由棱柱的性质知，BC1∥BC,B1C1=BC, 又D,E分别为BC,B1C1的中，点，所以C1E∥DB,C1E= DB,则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C,D, 又CDC平面ADC1, EB平面ADC1, 所以EB∥平面ADC. 连接DE,同理，EB1∥BD, EB=BD, 所以四边形EDBB1为平行四边 A 形，则ED∥B1B,ED=B1B. 因为B1B∥A1A,B1B=A1A(棱柱 的性质)， 所以ED∥A1A,ED=A1A,则四 边形EDAA1为平行四边形，所以 A1E∥AD, 又A1E丈平面ADC,ADC平面ADC, 所以A1E∥平面ADC1, 由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1,A1EC平面 A1EB,EBC平面A1EB, 且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC. 变式训练 2.(1)证明如图，连接PA',并延长 交BC于点M,连接PB,并延长 交AC于点N,连接PC,并延长 交AB于点Q,连接MN,NQ. :A',B,C分别是△PBC, △PAC,△PAB的重心， .M,N,Q分别是△ABC的边 BC,ACAB的中点a%-器-2， .△PB'A'c∽△PNM, ∴.A'B∥MN. 同理可得B'C'∥NQ. ,A'B∥MN,MNC平面ABC,A'B'平面ABC, .A'B'∥平面ABC 同理可证B'C'∥平面ABC. ·11 又：A'B'∩B'C'=B,A'BC平面A'B'C',B'C'C平面 A'B'C', ∴.平面A'BC'∥平面ABC (2)解：由(1)知A'B'∥MN,且AB=PA=2 MN PM3 即AB'=号MN :M,N分别是BC,AC的中点MN=2AB. AB=号MN=×AB=A 器=号中：AB的维为子 [例3][解]当Q为CC1的中，点时，平面D1BQ∥平面 PAO.理由如下： Q为CC1的中点，P为DD1 的中点，连接PQ, 易证四边形PQBA是平行四边 形，∴.QB∥PA. 又：APC平面APO,QB丈平 面APO.∴.QB∥平面APO. P,O分别为DD1,DB的中 点，∴.D1B∥PO. 同理可得D1B∥平面PAO,又D1B∩QB=B, .平面DBQ∥平面PAO. 变式训练 3I据：当兴-≥-子时，手面BMN∥手面AEr 3 理由如下： EN=EC,BF-EC, EN LBF,四边形BFEN为平行四边形， .BN∥EF A芒器MN/AE :MN,BNC平面BMN,且MN∩BN=N,AE,EFC平 面AEF,且AF∩EF=F, ∴.平面BMN∥平面AEF (2)证明：如图所示，连接BC,交FE于 点Q,连接QR,AQ. 由已知可得△BQF≌△C1QE, .BQ=CQ,.QR∥AK且QR=AK. .KR∥AQ,KRt平面AEF,AQC 平面AEF, .KR∥平面AEF 随堂步步夯实 1.D[由面面平行的判定定理知，D正确.门 2.D[按不同位置关系摆放，看是否符合即可.] 3.D[过一点有且只有一条直线与已知直线平行.] 4.平行或相交 5.证明：，D,E分别是棱AC,BC的中点， .DE是△ABC的中位线，.DE∥AB. ,DE丈平面SAB,ABC平面SAB, .DE∥平面SAB. 同理可得DF∥平面SAB. 又DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平面DEF, .平面DEF∥平面ABS. 第二课时平面与平面平行的性质 课前预习学案 情境引入 提示两平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行. 知识梳理 [思考] 1.[提示]具有传递性，即平行于同一个平面的两个平面 也互相平行.成立 2.[提示]平行.因为若α∥3则两平面没有公共点，则平面 α内的任一条直线都与3无交点，故平行， 3.[提示] 不确定，当各线段平行时，必相等. 预习自测 1.D[如图， D' C' B 平面ABCD∥平面A'B'C'D'.] 2.D[平面a∥平面B,∴.m,n不会相交，故选D.] 3.解析：因平面ABCD∥平面A1B1CD1,平面ABCD∩平 面A1CB=l,平面A1B1C1D1∩平面A1CB=A1C1,所 以1∥A1C(面面平行的性质定理). 答案：平行 4.解析：分两种情况讨论：(1)S位于平面a,3之间，如图① 所示.由于AB∩CD=S,可设AB,CD所在平面为Y,因 为yna=AC7ng=BD,e/R.所以ACfB,则3 贷片以号-解异Cs=16 图① 图② (2)S位于平面a,3同侧，如图②所示.由于AB∩CD=S, 可设AB,CD所在平面为Y.因为Y∩a=AC,Y∩B=BD,a A,片以AC/BD,所以3层即号·每得 CS=272.故CS=16或272. 答案：16或272 课堂互动学案 [例1][证明]如图，取AD的中 A ,点N,连接MN,CN. B 在△ADA1中，AN=ND,A,M= 、M MD,所以MN∥A1A. 在直角梯形ABCD中，BC∥AD, 且BC=号D=AN, 所以四边形ABCN是平行四边形，所以AB∥CN. 又ABOAA1=A,CN∩MN=N. 所以平面AA1B1B∥平面CMN. 又CMC平面CMN,所以CM∥平面AA1B1B. 变式训练 1.证明：①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与a、3 的交线为AC、BD .a∥B,AC∥BD. 又M、N为AB,CD的中点， ∴.MN∥BD. BDC平面a,MN中平面a,∴.MN∥平面a. ·1 参考答案 ②若AB、CD异面，如图，过A作AE∥ CD交a于点E,取AE中点P,连接 MP、PN、ED、BE. AE∥CD, ∴.AE、CD确定平面AEDC 则平面AEDC与a、B的交线为 ED、AC. a∥B,∴AC∥ED. 又P、N分别为AECD的中点， ∴.PN∥ED. ∴.PN∥a. 同理可证MP∥BE,∴.MP∥a. 又PN∩MP=P, ∴.平面MPN∥平面a. 又MNC平面MPN, ∴MN∥平面a.综上，MN∥平面a. [例2][证明]在□A'B'C'D'中，A'B∥CD', A'B'丈平面CD'DC,C'D'C平面CD'DC, ∴A'B'∥平面CD'DC. 同理A'A∥平面CD'DC 又A'A∩A'B=A', .平面A'B'BA∥平面CDDC ,平面ABCD∩平面A'B'BA=AB, 平面ABCD∩平面C'D'DC=CD, .AB∥CD 同理AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 变式训练 2.证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AD∥BC, BB1∥AA1. ∴.平面ADD1A1∥平面BCC1B1, 又平面A1DCE∩平面ADD1A1=A1D,平面A1DCE∩ 平面BCCB=EC,∴.EC∥A1D. [例3][证明](1)如图，取DC中点Q,连接MA,NQ. ,NQ是△PDC的中位线， '.NQ∥PD ,NQt平面PAD,PDC平面 PAD,∴.NQ∥平面PAD. M是AB中点，ABCD是平 行四边形， ∴.MQ∥AD,又MQt平面PAD,ADC平面PAD. 从而MQ∥平面PAD. MQ∩NQ=Q,∴.平面MNQ∥平面PAD MNC平面MNQ,∴.MN∥平面PAD. (2)由(1)知平面MNQ∥平面PAD,又平面PEC∩平面 MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE, .MN∥PE. 变式训练 3.解：取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH,EG F,G为DP,DA的中点， ∴.FG∥PA. :FG丈平面PAB,PAC平 面PAB, .FG∥平面PAB. :AB∥CD,EF∥CD, ∴.EF∥AB. 而EF丈平面PAB,ABC平面 PAB,∴.EF∥平面PAB. EF∩FG=F,.平面EFG∥平面PAB. 又GH∥CD,.GH∥EF.∴.平面EFG即平面EFGH. 9 数学B版·必修第四册 ∴.平面EFGH∥平面PAB. 文，点Q∈平面ABCD ∴点Q∈（平面EFGH∩平面ABCD). .点Q∈GH ∴点Q在底面ABCD的中位线GH上. 随堂步步夯实 1.A[用面面平行的性质定理即可判断.] 2.BD[A错误，可能异面；B正确：C错误，只有这两条直 线是相交直线才满足：D正确.门] 3.解析：①正确，因平面α与Y没有公 共点；②正确.若直线a与平面？平 行或aCB,则由平面a∥平面B知a a 二a或a与a无公共，点，这与直线a 与a相交矛盾，所以a与3相交；③ B 正确.如图，过直线PQ作平面y,Y ∩a=a,Y∩B=b,由a∥3得a∥b.因为PQ∥3，PQCy,所 以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行，所以直线a与直线PQ重合.因为aCa,所以 PQCa:④错误.若直线a∥平面B,直线b∥平面a,且a∥ 3,则a与b平行、相交和异面都有可能. 答案：①②③ 4.解析：.'平面MNE∥平面ACB1,平面BCC1B1∩平面 MNE=NE,平面BCC1B1∩平面ACB=B1C,故由面面 平行的性质定理可得EN∥B1C,同理EM∥B1A,又，'E 为BB1中点， ∴M,N分别为BA,BC的中点， MN=AC即 答案：日 5.证明：如图，连接B1D1交A1C1于点O1,连接DO1 D B 因为B1B∥D1D,B1B=D1D, 所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以OB1∥DO, O1B1=DO,所以O1B1OD为平行四边形，所以B1O∥ OD,因为B1O平面A1C1D,ODC平面A1C1D,所以 BO∥平面A1C1D. 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第一课时直线与平面垂直的判定 课前预习学案 情境引入 提示直线与平面垂直的判定定理. 知识梳理 知识点一、1.不大于直角2.任意一点平行或重合 3.0°0°a90°l⊥m [思考] 1.提示：不一定.当直线与平面不垂直时，平面内也有无数 条直线与直线垂直. 2.提示：不一定.只有当a与b相交时，才有l⊥a. 预习自测 1.D[对A,缺少b与c相交，不能推出m⊥a;对B,当m⊥ b,b∥a时，可能有m∥a或mCa;对C,可能有m∥a或m 二a或m与a相交.] ·1 2.B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三 角形所在平面，从而垂直第三边，门 3.解析：如图，连接BA',A'C',则BA'∥CD',故∠A'BC'就 是BC'与CD'所成的角.由△A'BC'为正三角形，知∠A BC'=60°.由AD∥BC知AD与BC'所成的角就是∠C BC,易知∠CBC=45° D' C D 答案：(1)60°(2)45 课堂互动学案 [例1][解]如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABCD -A1B1C1D1, 连接BD1,A1D1,AD, 由四棱柱的性质知BD1∥AC1, 则∠A1BD1就是异面直线A1B与 A AC1所成的角. 设AB=a, AA1与AC、AB所成的角均为60°， 且AB=AC=AA1, .A1B=a,BD1=AC1=2AA1cos30°=√3a. 又∠BAC=90°，∴.在矩形ABDC中，AD=√2a, .A1D1=2a,.A1D+A1B2=BD,.∠BA1D1=90°， 在R△BAD中，cOs∠A1BD,能-后-号即 异面直线A,B与AC,所成角的余弦值为 3 变式训练 1.解析：如图，取B1C1的中点E,连接 A1E,E C, ,AE∥A1E1,∴.∠E1AC是异面直线 AE与A1C所成的角或其补角. A1C1=A1B1=AA1=2,B1C1=2√2， .∠B1A1C1=90°. 在正方形AA1C1C中，A1C=2√2. :A1E1⊥B1C1,A1E1⊥CC1,B1C∩CC1=C1, AE⊥平面BB1CC,∴.A1E1⊥CE1. ·在R△AEC中，cos∠EAC=AE=巨=1 AC222’ .异面直线AE与A1C所成的角是60°. 答案：60 [例2][解析]当直线l与平面a内的无数条平行直线垂 直时，1与《不一定垂直，所以①不正确：当1与《内的一 条直线垂直时，不能保证l与平面《垂直，所以②不正确： 当l与a不垂直时，l可能与a内的无数条平行直线垂直， 所以③不正确，④正确：过一点有且只有一条直线垂直于 已知平面，所以⑤正确.故填④⑤. [答案]④⑤ 变式训练 2.B[对于A,直线lLm,m并不代表平面a内任意一条直 线，所以不能判定线面垂直；对于B,因l⊥a,则l垂直a 内任意一条直线，又l∥m,由异面直线所成角的定义知， m与平面a内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥a, 故B正确；对于C,也有可能是l,m异面：对于D,l,m还 可能相交或异面.] 0