11.3.3 第2课时 平面与平面平行的性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 13.如图所示的一块四棱柱木料 (2)因为DD1∥AA1,EF∥AA1,所以D,D∥EF. ABCD-A1B,C1D1,底面ABCD P 所以D,D与EF确定一个平面a. 是梯形，且CD∥AB. (1)要经过面ABC,D1内的一 点P和侧棱DD1将木料锯开， 应怎样画线？ (2)所画的线之间有什么位置 关系？ D 解：(1)如图所示，连接D,P并延长交A,B1于E, A B 过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E, 又因为平面ABCD∥平面A,B1C1D1,a∩平面 EF,FD就是应画的线 ABCD=DF,a∩平面A1B1C1D1=D1E,所以 D,E∥DF.且DF,D,E都与EF相交. 第二课时 平面与平面平行的性质 课程标准 素养解读 应用面面平行的性质进行各种平行关系的转 1.掌握平面与平面平行的性质，会应用性质解决问题 化，培养学生的直观想象素养，提升逻辑推理 2.掌握线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化 素养 课前。预习学案 对应学生用书P70 [情境引入] 配思考1.平面平行具有传递性吗？若a∥B,a∥y, 平整的桌面与地面是平行 则3∥y成立吗？ 的，教室的左、右两面墙也 [提示]具有传递性，即平行于同一个平面的两 是平行的，生活中随处可见 个平面也互相平行.成立 互相平行的平面 2.若两个平面a与3平行，则平面α内的直线与平面 问题两个平面平行有怎 3有何关系？ 样的性质？ [提示]平行.因为若α∥3则两平面没有公共 提示两平行平面同时与第三个平面相交，则交线 点，则平面α内的任一条直线都与3无交点，故 平行. 平行. [知识梳理] 3.若α∥3，则在这两个平面内各取一点连得线段长 相等吗？ [知识点一]平面与平面平行的性质定理 [提示]不确定，当各线段平行时，必相等。 (1)内容：如果两个平行平面同时与第三个平面相交， [预习自测] 那么它们的交线平行.（如图所示） 1.在长方体ABCD一A'B'C'D'中，下列结论正确的 是 ( A.平面ABCD∥平面ABBA' B.平面ABCD∥平面ADD'A' C.平面ABCD∥平面CDD'C D.平面ABCD∥平面A'B'C'D a∥3 解析：D[如图， D' (2)符号表示：a∩y=l →l∥m 80r=m. B (3)作用：证明两直线平行 (4)推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应 D 线段成比例. B 平面ABCD∥平面A'B'C'D'.] ·130· 第十一章立体几何初步 2.已知平面a∥平面3，mCa,nCB,那么下列结论正 平面为Y.因为Y∩a=AC,y∩3=BD,a∥B,所以 确的是 A.m,n是平行直线 B.m,n是异面直线 3,所以8=，CS AC//BD,则AS=CS 934-cs,解得Cs C.m,n是共面直线 D.m,n是不相交直线 =16, 解析：D[:平面a∥平面B,m,n不会相交，故 选D.] 3.过正方体ABCD-A1BCD1的三顶点A1,C1,B 的平面与底面ABCD所在平面的交线为1，则1与 A,C的位置关系是 B 解析：因平面ABCD∥平面AB,C,D,1,平面ABCD∩ 图① 图② 平面A,C1B=I,平面AB,C1D1∩平面ACB= (2)S位于平面a,3同侧，如图②所示.由于AB∩ AC,所以1∥A,C(面面平行的性质定理). CD=S,可设AB,CD所在平面为y.因为Y∩a= 答案：平行 AC,yNB=BD,a∥A,所以AC∥BD,所以AS BS 4.已知平面a∥平面3，A,C∈a,B,D∈B,直线AB与 CS CD交于S,且AS=8,BS=9,CD=34,则CS= CS,即8=干34解得CS=272.故CS=16 或272. 解析：分两种情况讨论：(1)S位于平面a,B之间， 答案：16或272 如图①所示.由于AB∩CD=S,可设AB,CD所在 课堂。互动学案 对应学生用书P71 题型一利用面面平行证明线面平行 证明：①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC [例1]如图，在四棱柱ABCD 与a、3的交线为AC、BD.:a∥B,∴.AC∥BD, -AB,C1D1中，底面ABCD 又M、N为AB,CD的中点，∴.MN B 、M 为直角梯形，其中AD∥BC,且 ∥BD. /B A AD=2BC=2AB=4.AB⊥ ,BDC平面a,MN丈平面a, AD,四边形ABB1A1是菱形，B .MN∥平面a. M为A,D的中点.求证：CM∥平面AA,B,B. ②若AB、CD异面，如图，过A作 AE∥CD交a于点E,取AE中点 [思路点拨]根据线线平行、线面平行、面面平行 P,连接MP、PN、ED、BE. 的判定、性质定理判断本题是有效的方法，另外要 ,AE∥CD,∴AE、CD确定平面AEDC. 善于构造空间图形模型， 则平面AEDC与a、3的交线为ED、AC. [证明]如图，取AD的中点 D a∥B,.AC∥ED. N,连接MN,CN. 又P、N分别为AE、CD的中点，∴.PN∥ED. 在△ADA1中，AN=ND,AM ∴.PN∥a.同理可证MP∥BE,∴.MP∥a. =MD,所以MN∥A1A. 又PN∩MP=P,∴.平面MPN∥平面a. 在直角梯形ABCD中，BC∥ 又MNC平面MPN, AD,且BC-AD=AN, .MN∥平面a.综上，MN∥平面a. 所以四边形ABCN是平行四边形，所以AB∥CN. 题型二利用面面苹行证明线线平行 又AB∩AA,=A,CN∩MN=N. [例2]如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、 所以平面AA1B,B∥平面CMN. C、D均在平行四边形A'B'C'D'所确定一个平面a 又CMC平面CMN,所以CM∥平面AA,B,B. 外，且AA'、BB、CC、DD'互相平行. 规律方法 求证：四边形ABCD是平行四边形. 若两平面平行，则一个平面内的任一条直线都平 行于另一个平面，这是证明线面平行的常用方法， ◇[变式训练] 1,已知AB、CD是夹在两个平行平面a、3之间的线 段，ACC平面B,M、N分别为AB、CD的中点. 求证：MN∥平面a. ·131· 数学B版·必修第四册 [思路点拨]由面面平行得到线线平行.把空间 [证明](1)如图，取DC中点Q,连接MA,NQ. 问题转化为平面问题进行计算， ,NQ是△PDC的中位线， [证明]在□A'B'CD'中，A'B'∥CD', .NQ∥PD. ,A'B'庄平面CD'DC,CD'C平面CD'DC, ,NQt平面PAD,PDC .A'B'∥平面CD'DC. 平面PAD,.NQ∥平 同理A'A∥平面C'D'DC 面PAD. 又A'A∩A'B'=A', :M是AB中，点，ABCD是 ∴.平面AB'BA∥平面CD'DC. 平行四边形，.MQ∥AD,又MQ中平面PAD,AD ,平面ABCD∩平面A'B'BA=AB, C平面PAD. 平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,.AB∥CD. 从而MQ∥平面PAD. 同理AD∥BC. .MQ∩NQ=Q,∴.平面MVQ∥平面PAD. ∴.四边形ABCD是平行四边形. .MNC平面MNQ,.MN∥平面PAD. (2)由(1)知平面MNQ∥平面PAD,又平面PEC 规律方法 ∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE, 1.利用面面平行性质定理证明线线、线面平行的 .MN∥PE. 一般步骤 规律方法 确定（或寻找）两 1.线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整 (找面面 个互相平行的平面 体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行 关系的关键，其内在联系如下图所示： 确定（或寻找）与两个 找交面 平行平面相交的平面 直线与 判定 直线与 判定 平面与 直线平行 性质 平面平行面面平行定义 平面平行 定交线 确定交线 性质 (定结论 由定理得出结论 解题时，往往通过构造辅助平面将线线平行、线 2.证明线线平行的常用方法 面平行转化为面面平行. (1)平行公理（即平行的传递性）. 2.平行关系综合问题的证明需灵活运用三种平行 (2)线面平行的性质定理：a∥a,aCB,a∩B=b 关系的判定和性质定理作为论证的依据. 3.对于空间平行的探索性问题，可采用猜想再证 →a∥b. (3)面面平行的性质定理：a∥3，a∩y=a,3∩y 明的思路 bPa∥b. ◇[变式训练] ◇[变式训练] 3.如图，在四棱锥P一ABCD 2.如图，在四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面ABCD 中，AB∥CD,E,F分别为 为梯形，AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E PC,PD的中点，在底面 求证：EC∥AD. ABCD内是否存在点Q,使平 D 面EFQ∥平面PAB?若存 在，确定点Q的位置；若不存 在，说明理由 解：取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE, GH,EG. ,F,G为DP,DA的中点， .FG∥PA. B ,FG庄平面PAB,PAC平 证明：四棱柱ABCD一A1B,C1D1.AD∥BC, 面PAB, BB,∥AA..平面ADD,A1∥平面BCC,B1, .FG∥平面PAB. 又平面A,DCE∩平面ADD1A1=A,D,平面 :AB∥CD,EF∥CD, A,DCE∩平面BCC,B,=EC,.EC∥AD EF∥AB. 题型 平行关系的相互转化 而EF中平面PAB,ABC平面PAB,∴.EF∥平面 [例3]已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱 PAB.:EF∩FG=F,∴.平面EFG∥平面PAB. 锥P-ABCD棱AB,PC的中点，平面CMN与平 又GH∥CD,∴.GH∥EF.∴.平面EFG即平面 面PAD交于PE,求证： EFGH..平面EFGH∥平面PAB. (1)MN∥平面PAD: 又点Q∈平面ABCD, (2)MN∥PE. .点Q∈（平面EFGH∩平面ABCD). [思路点拨]利用平行之间的相互转化解题 ∴.点Q∈GH.∴，点Q在底面ABCD的中位线GH上. 132 第十一章立体几何初步 随堂。步步夯实 对应学生用书P72 1.已知平面a∥平面3，过平面a内的一条直线a的平 4.如图，在长方体ABCD D 面y与平面3相交，交线为直线b,则a,b的位置关 A1BCD1中，过BB1的中 系是 ( ) 点E作一个与平面ACB A.平行 B.相交 平行的平面交AB于M,交 C.异面 D.不确定 解析：A[用面面平行的性质定理即可判断.门 2.(多选题)给出下面四个命题正确的是 ( C于N,则器 A.分别在两个平行平面内的两直线平行 B.若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条 解析：，平面MNE∥平面ACB1,平面BCC,B,∩ 直线必平行于另一平面 平面MNE=NE,平面BCC,B,∩平面ACB,= C.如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则 B,C,故由面面平行的性质定理可得EN∥B,C,同 这两个平面平行 理EM∥B1A,又E为BB1中点，.M,N分别为 D.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一 个平面，则这两个平面平行 BA,BC的中点，∴.MN= AC即= 解析：BD[A错误，可能异面；B正确；C错误，只 有这两条直线是相交直线才满足；D正确.门 答案：司 3.给出四种说法： 5.如图，O是长方体ABCD-AB1CD1底面对角线 ①若平面a∥平面B,平面3∥平面y,则平面a∥平 面y; AC与BD的交点，求证：B,O∥平面A,CD. ②若平面a∥平面B,直线a与a相交，则a与3 相交； ③若平面a∥平面B,P∈a,PQ∥B,则PQCa; ④若直线a∥平面3，直线b∥平面a,且a∥B, 则a∥b. 其中正确说法的序号是 解析：①正确，因平面a与Y没 证明：如图，连接B1D1交A1C1于点O1,连接DO, 有公共，点；②正确.若直线a与 D 平面3平行或aCB,则由平面 a∥平面3知aCa或a与a无 公共点，这与直线a与a相交 矛盾，所以a与3相交；③正 确.如图，过直线PQ作平面y,y∩a=a,y∩B=b, 由a∥B得a∥b.因为PQ∥3，PQCy,所以PQ∥b. 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 因为B1B∥D1D,B,B=D1D, 平行，所以直线a与直线PQ重合.因为aCa,所以 所以四边形BBDD,为平行四边形，所以OB1∥ PQCa;④错误.若直线a∥平面B,直线b∥平面a, DO,O1B1=DO,所以OB,OD为平行四边形，所以 且a∥3，则a与b平行、相交和异面都有可能， B1O∥OD,因为B1O平面A,C1D,O1DC平面 答案：①②③ AC1D,所以BO∥平面A1C1D. 课后。素养提升 对应学生课时P36 基础过关 A.DM∥A,C B.BM∥CC JI CHU GUO GUAN C.BM∥AA D.DM∥AC 1.（多选题)如图，在三棱台ABC1一ABC中，点D 解析：ABD[,平面BDM∥平面A,C,CA,AA 在A1B,上，且AA1∥BD,点M是棱B1C1上的点， ∥BD,.DM∥AC,DM∥A,C,BM∥CC1.] 且有平面BDM∥平面A,CCA,则 ( 2.已知平面a∥平面B,直线aCa,直线bC3,下面四 种情形：①a∥b;②a⊥b;③a与b异面；④a与b相 交.其中可能出现的情形有 ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 ·133· 数学B版·必修第四册 解析：C[因为平面a∥平面B,直线aCa,直线b 解析：BC[过P点的直线m,n确定一个平面Y, CB,所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直 线b共面时，a∥b;当直线a与直线b异面时，a与b a/则AB∥CD是器当P在a9的同 所成的角大小可以是90°.综上知，①②③都有可能 侧可得：BD-;当P在a3之同时得BD=24.] 出现，共有3种情形.门 3.设a∥B,A∈a,B∈3，C是AB的中点，当A,B分别 在平面α，B内运动时，那么所有的动点C( 。D A.不共面 B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移 动时才共面 D.不论A,B如何移动，都共面 7.如图，四边形ABCD所在的平面 解析：D[由面面平行的性质定理，点C应在过 与平面a平行，且四边形ABCD AB中点且平行于a(或B)的平面内.故选D.] 在平面。内的平行投影 4.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面a∥平面 A1B,C1D1是一个平行四边形， ABC,线段PA,PB,PC分别交a于点A',B,C, 则四边形ABCD的形状一定是 若AMC= ( S△ABC 解析：因为平面AC∥a,平面AA1B1B∩a=A1B1, 平面AA,B,B∩平面ABCD=AB,所以AB∥ A1B1,同理可证CD∥C,D1.又A1B1∥CD1,所以 AB∥CD.同理可证AD∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形. 答案：平行四边形 8.给出下列命题：①mCa,nCa,m∥B,n∥B→a∥B; ②a∥3，mCa,nC3→m∥n;③a∥3，lCa→l∥3； A.号 B名 ④a内的任一直线都平行于B→a∥B. c君 D 其中正确的命题是 解析：根据面面平行的判定与性质知①②错误， 解析：D[由a∥平面ABC,得AB'∥AB,B'C'∥ ③④正确. BC.又由等角定理得∠A'B'C'=∠ABC,故△ABC 答案：③④ p△A'B'C', 9.如图，已知a∥B,GH,GD,EH分别交a,B于A,B, 濡是路器 C,D,E,F,且GA=9,AB=12,BH=16,则AC与 AC 5.(多选题)下列命题中，正确的是 BD的关系为 BD A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个 平面平行，则这两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也 互相平行 DB/ D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平 行于另一平面 B 解析：ABD[由面面平行的判定定理和性质知A, B,D正确；对于C,位于两个平行平面内的直线也 VH 可能异面.] 解析：因为a∩平面GAC=AC,3∩平面GBD= 6.(多选题)已知平面a∥平面3，P是a,3外一点，过 BD,且a∥B,所以AC∥BD,同理可证AE∥BE,又 点P的直线m与a,3分别交于A,C,过点P的直 因为∠EAC与∠FBD的两边同向，所以∠EAC= 线n与a,3分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD ∠FBD.又因为GA=9,AB=12,AC∥BD,所以 =8,则BD的长为 ( ) ACGA93 A.16 B.24 BDGB9+12=7: 5 C.24 D.20 答案：平行号 ·134· 第十一章立体几何初步 10.在如图所示的几何体中，四边 能力提升 NENG LI TI SHENG 形ABCD为平行四边形， 12.如图，在正方体ABCD 0 ∠ACB=90°，EF∥AB,FG∥ AB1C1D1中，E,F,G,H BC,EG∥AC,AB=2EF,M是 B 分别为CC1,CD1,DD, 线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE. CD的中点，N是BC的中 证明：因为EF∥AB,FG∥BC, 点，点M在四边形EFGH EG∥AC,∠ACB=90°，所以 及其内部运动，则M满足」 △ABCC∽△EFG,∠EGF= 时，有MN∥平 90°，由于AB=2EF,因此BC= 面BDD1B1. 2FG. 解析：如图，取B,C1的中点 如图，连接AF,由于FG∥BC,FG=BC,在 P,连接NP,NH,MN, HF,PF,则可证明平面M □ABCD中M是线段AD的中点，则AM∥BC, NPFH∥平面BDDB1, 且AM=号BC,固此FG/AM且FG=AM,所以 若MNC平面NPFH,则 四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又 MN∥平面BDD,B1· 又，点M在四边形EFGH及 因为FA至平面ABFE,GM车平面ABFE,所以 其内部运动，即M在FH上. GM∥平面ABFE. 答案：M在FH上 11.如图，在三棱柱ABC 13.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M,N分别 A1BC1中，D、P分别是棱 是A'D',A'B'的中点，在该正方体中是否存在过 AB,AB1的中点，求证： 顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作 (1)AC∥平面B,CD: 出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明 (2)平面APC∥平 理由. 面BCD. 解：与平面AMN平行的平面有如图所示的三种 证明：(1)设BC1与B1C的交，点为O,连接OD, 情况（其中，E,F均为相应棱的中点） C (1) 因为四边形BCC,B1为平行四边形，所以O为 下面以图(1)为例进行证明. B1C中点， 连接ME,D'B',易知MELA'B'LAB, 又因为D是AB的中点，所以OD是三角形 ∴.四边形ABEM是平行四边形， ABC,的中位线，则OD∥AC1,又因为AC,中平 ∴.BE∥AM,又BEC平面BDE, 面B,CD,ODC平面B1CD,所以AC1∥平 AM中平面BDE,.AM∥平面BDE. ,MN是△A'B'D'的中位线，.MN∥B'D' 面B1CD, ,D'DLA'A业BB',.四边形BDDB'是平行四 (2)因为P为线段A1B,的中点，点D是AB的 边形， 中点，所以AD∥B,P且AD=B,P,则四边形 .BD∥B'D',∴.MN∥BD ADB1P为平行四边形，所以AP∥DB1,又因为 又BDC平面BDE,MN￠平面BDE,.MN∥平 AP寸平面B,CD,DB,C平面B,CD, 面BDE. 所以AP∥平面B,CD. 又AMC平面AMN,MNC平面AMN,且AM∩ 又因为AC1∥平面B1CD,AC∩AP=A,且AC MN=M, C平面APC,,APC平面APC1所以平面APC ∴.平面AMN∥平面BDE ∥平面B,CD. 图(2)(3)两种情况可类似证明. ·135·