11.3.3 第1课时 平面与平面平行的判定（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.3.3 平面与平面平行 第一课时 平面与平面平行的判定 课程标准 素养解读 1.了解空间不重合的两个平面有平行和相交两种位置关系 2.掌握平面与平面平行的判定定理，会用判定定理证明两 掌握面面平行的判定方法并能灵活应用，培养 学生的逻辑推理素养，提升直观想象素养 平面平行 课前。预习学案 [情境引入] 用符号表示为：如果ICa,mCa, ,∥， 工人师傅将水平仪（如图(1）)在桌面上交叉放置两 m∥m'且'C3,m'CB,则a∥3. 次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌 ?思考1.若平面α中有无数条直线与平面3平行 面是水平平面（注意：当水平仪的气泡居中时，水平 则平面α与平面3一定平行吗？ 仪所在的直线就是水平线)」 水平仪 2.若一个平面内的两条直线分别与另一个平面平 行，则两个平面有何位置关系？ (1) (2) 问题该检测原理即为两平面平行的判定定理，如 何判定两平面平行？ 3.平面与平面平行的判定定理的实质是什么？ [知识梳理] [知识点一]两个平面的位置关系 两个平面的位置关系 [预习自测] 位置 1.已知a是平面a外的一条直线，过a作平面3，使 关系 图示 表示法 公共点个数 Ba,这样的B有 ( A.只能作一个 B.至少一个 C.不存在 D.至多一个 两平面 a 平行 a∥3 0个 2.下列说法正确的是 ( /B ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行②一个平面内有无数条直线 都与另外一个平面平行，则这两个平面平行③一 两平面 无数个点 个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两 相交 (共线) 个平面平行④一个平面内有两条相交直线与另 外一个平面平行，则这两个平面平行 A.①③ B.②④ [知识点二 平面与平面平行的判定定理 C.②③④ D.③④ (1)定理：如果一个平面内有两条 直线分别平 3.已知平面a和3，在平面a内任取一条直线a,在3 行于另一个平面，那么这两个平面平行 内总存在直线b∥a,则a与B的位置关系是 用符号表示为：如果l二a,mCa, ,l∥3， (填“平行”或“相交”) m∥B,则a∥B. 4.在长方体ABCD-A1BCD,中，E为棱DD1上的 (2)推论：如果一个平面内有两条 直线分别平 点.当平面AB,C∥平面A1EC,时，点E的位置为 行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面 平行 ·67 数学B版·必修第四册 课堂。互动学案 -0 题型一 两个苹面的位置关系 [思路点拨]应用判定定理证明面面平行的关键 [例1]已知下列说法： 是在一个平面内找到两条相交线都与另一个平面 ①若两个平面a∥3，aCa,bC3,则a∥b; 平行 ②若两个平面a∥B,aCa,bCB,则a与b是异面 [尝试解答] 直线： ③若两个平面a∥3，aCa,bC3,则a与b一定不 相交； ④若两个平面a∥B,aCa,bCB,则a与b平行或 异面； 规律方法 ⑤若两个平面a∩g=b,aCa,则a与b一定相交. (1)证明面面平行，可从证明线面平行入手，而证 其中正确的序号是 (将你认为正确的序号 明线面平行又可通过线面平行的判定定理转化为 都填上). 证明线线平行.证明线线平行的途径有很多，如利 思路点拨借助长方体，寻找两平面之间的 用对应线段成比例关系、平行四边形对边平行、梯 关系 形两底边平行、平行公理等，做题时应灵活应用. [尝试解答 (2)判断或证明面面平行的方法 ①平面与平面平行的定义（常用反证法），此法很 少使用. ②平面与平面平行的判定定理， ③判定定理的推论. ④如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这 规律方法 两个平面平行（平行的传递性）： 两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公 ◇[变式训练] 共点则平行，有公共点则相交，熟练掌握这两种位 2.如图，点P是△ABC所在平 置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键， 面外一点，点A',B,C分别是 ⊙[变式训练] △PBC,△PAC,△PAB的 α、3是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是 重心 (1)求证：平面A'B'C'∥平 ①平面a内有两条直线a、b都与平面B平行，那么 面ABC. a∥B; (2)求AB′：AB的值. ②平面a内有无数条直线平行于平面3，那么a∥B; ③若直线a与平面a和平面B都平行，那么a∥3： ④平面a内所有的直线都与平面B平行，那么a∥B. 题型二平面与平面平行的判定 [例2]如图所示，在三棱柱ABC一AB,C,中，点 D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A,EB ∥平面ADC· ·68· 第十一章立体几何初步 题型三有关面面平行的探索性问题 ⊙[变式训练] [例3]如图所示，在正方体ABCD-A,BC,D1中， 3.如图，已知三棱柱ABC O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q ABC1,E,F分别为CC1,BB A 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面 上的点，且EC=B,F,过点B作 D,BQ∥平面PAO?并说明理由. 截面BMN,使得截面交线段AC 于点M,交线段CC,于点N. (1)若EC=3BF,确定M,N的位置，使平面BMN ∥平面AEF,并说明理由. (2)若K,R分别为AA1,C,B,中点，求证：KR∥ 平面AEF. B [思路点拨町线线平行>线面平行>面面平行： [尝试解答] 规律方法 对于探索性问题，一是可直接运用题中条件，结合 所学过的知识探求；二是可先猜想，再证明猜想的 正确性，这两种方法都可培养创造性思维， ● 随堂。步步夯实 1.下列条件中可以推出平面a∥平面3的是( 5.如图，在三棱锥S一ABC中，D,E, A.存在一条直线a,a∥a,a∥3 F分别是棱AC,BC,SC的中点.求 B.存在一条直线a,aCa,a∥3 证：平面DEF∥平面ABS. C.存在两条平行直线a,b,aCa,bCB,a∥B,b∥a D.存在两条异面直线a,b,aCa,bC3,a∥B,b∥a 2.若a∥a,b∥3，a∥3，则a与b的位置关系是( A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面或相交 3.若平面a∥平面B,直线a∥a,点B∈B,且B年a则 在B内过点B的所有直线中 () A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 4.已知三条互相平行的直线a,b,c中，aCa,b,cCB, @温馨提 则a与3的位置关系是 学习至此，请完成配套训练 ·69·架是PQ/ER 又PQt平面CBE,ERC平面CBE, .PQ∥平面CBE. 变式训练 1.证明法一：如图(I),作ME∥BC,交BB1于E,作NF ∥AD,交AB于F,连接EF, 则EFC平面AA1B1B, ME BM NF BN BC B C'AD BD 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， D CM=DN, ..B M=NB. 又BC=D架器恶 N ∴.ME=NF. 又ME∥BC∥AD∥NF, (1) ∴.四边形MEFN为平行四边形， ∴.MN∥EF. MN中平面AA1B1B,EFC平面AA1B1B, ∴.MN∥平面AA1B,B. 法二：如图(2)，连接CN并延长交 D BA所在直线于点P,连接B1P, 则B1PC平面AA1B1B. △NDC∽△NBP, 器器 P 又CM=DN,B1C=BD, 瑞-器 .MN∥B1P. MNt平面AA1B1B,B1PC平面AA1B1B, .MN∥平面AA1B1B. [例2][证明]AB∥平面MNPQ,过AB的平面ABC 交平面MNPQ于MN,∴.AB∥MN. 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ, ∴.AB∥PQ,.MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ. .四边形MNPQ为平行四边形. 变式训练 2.解：D为AA'的中点，证明如下： 取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC'交于点O,易 证A'ELAF,易知A',E,F,A共面，因为A'E∥平面 DBC',A'EC平面A'EFA,且平面DBC∩平面A'EFA =DO.所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中，因为O 是EF的中点（因为EC∥BC,且EC=BF),所以D点 为AA'的中点. [例3][解](1)平行，理由如下： 因为BC∥AD,BC寸平面PAD, ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD. 又平面PBC∩平面PAD=I,BCC平面PBC, 所以BC∥1. (2)平行.证明如下：如图所示， ·1 参考答案 取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且 NE=AM.所以四边形AMNE是平行四边形， 所以MN∥AE. 又AEC平面PAD,MNt平面PAD. 所以MN∥平面PAD. 变式训练 3.解：直线1∥平面PAC,证明如下： 因为E,F分别是PA,PC的中点，所以EF∥AC. 又EF亡平面ABC,且ACC平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EFC平面BEF, 且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥L. 因为I亡平面PAC,EFC平面PAC, 所以1∥平面PAC. 随堂步步夯实 1.D[由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平 面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点， 所以与另一个平面平行.由此可知，本题中这条直线可能 在平面内.否则过此直线作第三个平面与已知两平面相 交，用面面平行的性质定理、平行线的传递性及线面平行 的判定定理可证此直线与另一个平面平行.] 2.D[a∥b,b∥c,.a∥c,c∥a,∴a∥a或aCa.] 3.解析：由直线与平面平行的判定定理知CD∥平面α. 答案：平行 4.解析：，AB∥平面a,ABC平面ABDC,平面ABDC∩平 面a=MN,∴.AB∥MN又M是AC的中点，∴.MN是梯 形ABDC的中位线，故MN=7(AB+CD)=5. 答案：5 5.证明：如图所示，在PC上取一，点E,连接ED、EB、 BD、AC, 设AC∩BD=O,连接OE, -0 若PA∥平面BDE, ,PAC平面PAC,且平面PAC∩平面BDE=EO, .PA∥EO 又O为AC的中点，.E为PC的中点. 反之，若E为PC的中点，O为AC的中点， 必有EO∥PA. ,EOC平面EBD,PA平面EBD,∴.PA∥平面EBD. 11.3.3平面与平面平行 第一课时平面与平面平行的判定 课前预习学案 情境引入 提示一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平 行，则两平面平行. 知识梳理 知识点二、(1)相交l∩m≠心(2)相交l∩m≠ [思考] 1.[提示]不一定.a与3可能相交或平行. 2.[提示]当两条直线相交时，两平面平行： 当两条直线平行时，两平面可能相交也可能平行」 3.[提示]由线面平行可以得到面面平行. 预习自测 1.D[.a是平面a外的一条直线，a∥a或a与a相交， 当a∥a时，3只有一个：当a与a相交时，3不存在.门] 数学B版·必修第四册 2.D[由两平面平行的判定定理知③④正确.] 3.解析：假若a∩3=l,设在平面a内，与l相交的直线为a, 且a∩1=A,对于B内的任意直线b,若b过点A,则a与b 相交，若b不过点A,则a与b异面，即3内不存在直线b ∥a,故a∥R. 答案：平行 4.解析：由面面平行的判定定理知，当点E与点D重合时， 平面AB1C∥平面A1EC. 答案：与点D重合 课堂互动学案 [例1][解析]①错，a与b也可能异面：②错，a与b也 可能平行：③正确，a∥B,a与3无公共点，又aCa,b C3,∴a与b无公共点；④正确，由已知及③知a与b无公 共，点，那么a∥b或a与b异面：⑤错，a与b也可能平行. [答案]③④ 变式训练 1.解析：①、②都不能保证a、3无公共点，如图1所示： 图1 图2 ③中当a∥a,a∥3时a与B可能相交，如图2所示； 只有④说明a、3一定无公共点. 答案：④ [例2][证明]由棱柱的性质知，BC1∥BC,B1C1=BC, 又D,E分别为BC,B1C1的中，点，所以C1E∥DB,C1E= DB,则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C,D, 又CDC平面ADC1, EB平面ADC1, 所以EB∥平面ADC. 连接DE,同理，EB1∥BD, EB=BD, 所以四边形EDBB1为平行四边 A 形，则ED∥B1B,ED=B1B. 因为B1B∥A1A,B1B=A1A(棱柱 的性质)， 所以ED∥A1A,ED=A1A,则四 边形EDAA1为平行四边形，所以 A1E∥AD, 又A1E丈平面ADC,ADC平面ADC, 所以A1E∥平面ADC1, 由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1,A1EC平面 A1EB,EBC平面A1EB, 且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC. 变式训练 2.(1)证明如图，连接PA',并延长 交BC于点M,连接PB,并延长 交AC于点N,连接PC,并延长 交AB于点Q,连接MN,NQ. :A',B,C分别是△PBC, △PAC,△PAB的重心， .M,N,Q分别是△ABC的边 BC,ACAB的中点a%-器-2， .△PB'A'c∽△PNM, ∴.A'B∥MN. 同理可得B'C'∥NQ. ,A'B∥MN,MNC平面ABC,A'B'平面ABC, .A'B'∥平面ABC 同理可证B'C'∥平面ABC. ·11 又：A'B'∩B'C'=B,A'BC平面A'B'C',B'C'C平面 A'B'C', ∴.平面A'BC'∥平面ABC (2)解：由(1)知A'B'∥MN,且AB=PA=2 MN PM3 即AB'=号MN :M,N分别是BC,AC的中点MN=2AB. AB=号MN=×AB=A 器=号中：AB的维为子 [例3][解]当Q为CC1的中，点时，平面D1BQ∥平面 PAO.理由如下： Q为CC1的中点，P为DD1 的中点，连接PQ, 易证四边形PQBA是平行四边 形，∴.QB∥PA. 又：APC平面APO,QB丈平 面APO.∴.QB∥平面APO. P,O分别为DD1,DB的中 点，∴.D1B∥PO. 同理可得D1B∥平面PAO,又D1B∩QB=B, .平面DBQ∥平面PAO. 变式训练 3I据：当兴-≥-子时，手面BMN∥手面AEr 3 理由如下： EN=EC,BF-EC, EN LBF,四边形BFEN为平行四边形， .BN∥EF A芒器MN/AE :MN,BNC平面BMN,且MN∩BN=N,AE,EFC平 面AEF,且AF∩EF=F, ∴.平面BMN∥平面AEF (2)证明：如图所示，连接BC,交FE于 点Q,连接QR,AQ. 由已知可得△BQF≌△C1QE, .BQ=CQ,.QR∥AK且QR=AK. .KR∥AQ,KRt平面AEF,AQC 平面AEF, .KR∥平面AEF 随堂步步夯实 1.D[由面面平行的判定定理知，D正确.门 2.D[按不同位置关系摆放，看是否符合即可.] 3.D[过一点有且只有一条直线与已知直线平行.] 4.平行或相交 5.证明：，D,E分别是棱AC,BC的中点， .DE是△ABC的中位线，.DE∥AB. ,DE丈平面SAB,ABC平面SAB, .DE∥平面SAB. 同理可得DF∥平面SAB. 又DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平面DEF, .平面DEF∥平面ABS. 第二课时平面与平面平行的性质 课前预习学案 情境引入 提示两平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行.