11.3.3 第1课时 平面与平面平行的判定（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.3.3 平面与平面平行 第一课时 平面与平面平行的判定 课程标准 素养解读 1.了解空间不重合的两个平面有平行和相交两种位置关系 2.掌握平面与平面平行的判定定理，会用判定定理证明两 掌握面面平行的判定方法并能灵活应用，培养 学生的逻辑推理素养，提升直观想象素养 平面平行 课前。预习学案 对应学生用书P67 [情境引入] ?思考1.若平面a中有无数条直线与平面3平行， 工人师傅将水平仪（如图(1）)在桌面上交叉放置两 则平面a与平面3一定平行吗？ 次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌 [提示]不一定.α与3可能相交或平行. 面是水平平面（注意：当水平仪的气泡居中时，水平 2.若一个平面内的两条直线分别与另一个平面平 仪所在的直线就是水平线) 行，则两个平面有何位置关系？ [提示]当两条直线相交时，两平面平行； 当两条直线平行时，两平面可能相交也可能平行， 3.平面与平面平行的判定定理的实质是什么？ [提示]由线面平行可以得到面面平行. [预习自测] (1) 1.已知a是平面a外的一条直线，过a作平面3，使 问题该检测原理即为两平面平行的判定定理，如 B∥a,这样的3有 ( A.只能作一个 B.至少一个 何判定两平面平行？ C.不存在 D.至多一个 提示一个平面内的两条相交直线分别与另一个 解析：D[a是平面a外的一条直线，∴.a∥a或 平面平行，则两平面平行 a与a相交，当a∥a时，3只有一个；当a与a相交 [知识梳理] 时，3不存在.] [知识点一]两个平面的位置关系 2.下列说法正确的是 () 两个平面的位置关系 ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行②一个平面内有无数条直线 位置 图示 表示法 公共点个数 都与另外一个平面平行，则这两个平面平行③一 关系 个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两 个平面平行④一个平面内有两条相交直线与另 两平面 a 外一个平面平行，则这两个平面平行 a∥B 0个 平行 A.①③ B.②④ /B C.②③④ D.③④ 解析：D[由两平面平行的判定定理知③④正确.] 两平面 无数个点 3.已知平面a和B,在平面a内任取一条直线a,在3 a∩3=l 内总存在直线b∥a,则a与3的位置关系是 相交 (共线) (填“平行”或“相交”) 解析：假若α∩B=l,设在平面α内，与1相交的直线 [知识点二]平面与平面平行的判定定理 为a,且a∩l=A,对于B内的任意直线b,若b过点 (1)定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行 A,则a与b相交，若b不过点A,则a与b异面，即 于另一个平面，那么这两个平面平行. B内不存在直线b∥a,故a∥B. 答案：平行 用符号表示为：如果lCa,mCa,l∩m≠必，l∥3， 4.在长方体ABCD-A,B,C,D1中，E为棱DD1上的 m∥B,则a∥3. 点.当平面AB,C∥平面AEC1时，点E的位置为 (2)推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 解析：由面面平行的判定定理知，当点E与，点D重 用符号表示为：如果lCa,mCa,l∩m≠必，l∥1'， 合时，平面AB1C∥平面A1EC. m∥m'且1'C3,m'CB,则a∥B. 答案：与点D重合 ·125· 数学B版·必修第四册 课堂。互动学案 对应学生用书P68 题型一 两个平面的位置关系 [例1]已知下列说法： ①若两个平面a∥3，aCa,bC3,则a∥b: ②若两个平面a∥3，aCa,bCB,则a与b是异面 直线； ③若两个平面a∥3，aCa,bC3,则a与b一定不 [思路点拨]应用判定定理证明面面平行的关键是 相交； 在一个平面内找到两条相交线都与另一个平面平行 ④若两个平面a∥3，aCa,bC3,则a与b平行或 [证明]由棱柱的性质知，B1C,∥BC,B,C1=BC, 异面； 又D,E分别为BC,B,C的中点，所以CE∥DB, ⑤若两个平面a∩3=b,aCa,则a与b一定相交. CE=DB,则四边形C,DBE为平行四边形，因此 其中正确的序号是 (将你认为正确的序号 EB∥C,D,又C,DC平面ADC1,EB寸平面ADC1, 都填上) 所以EB∥平面ADC [思路点拨]借助长方体，寻找两平面之间的关系 连接DE,同理，EB1∥BD, [解析]①错，a与b也可能异面；②错，a与b也 EB=BD, 可能平行：③正确，，α∥B,a与B无公共点， 所以四边形EDBB1为平行四 又，aCa,bCB,∴.a与b无公共点；④正确，由已知 边形，则ED∥B,B,ED 及③知a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面； =B1B. ⑤错，a与b也可能平行. 因为B1B∥A1A,B1B=A1A [答案]③④ (棱柱的性质)， 规律方法 所以ED∥A1A,ED=A1A,则四边形EDAA1为平 两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公 行四边形，所以A1E∥AD, 共点则平行，有公共点则相交，熟练掌握这两种位 又A,E中平面ADC1,ADC平面ADC, 置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键 所以AE∥平面ADC1, ◇[变式训练] 由A,E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1,A,EC平 a、3是两个不重合的平面，下面说法中，正确的 面A1EB,EBC平面A1EB, 是 且A,E∩EB=E,所以平面A,EB∥平面ADC1. ①平面a内有两条直线a、b都与平面3平行，那么 规律方法 a∥B; (1)证明面面平行，可从证明线面平行入手，而证 ②平面a内有无数条直线平行于平面3，那么a∥B; 明线面平行又可通过线面平行的判定定理转化为 ③若直线a与平面a和平面3都平行，那么a∥3； 证明线线平行.证明线线平行的途径有很多，如利 ④平面a内所有的直线都与平面B平行，那么a∥B. 用对应线段成比例关系、平行四边形对边平行、梯 解析：①、②都不能保证Q、3无公共点，如图1 形两底边平行、平行公理等，做题时应灵活应用. 所示； (2)判断或证明面面平行的方法 ①平面与平面平行的定义（常用反证法），此法很 少使用. ②平面与平面平行的判定定理. 图1 图2 ③判定定理的推论. ③中当a∥a,a∥B时a与B可能相交，如图2所示； ④如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这 只有④说明a、3一定无公共点. 两个平面平行（平行的传递性）： 答案：④ ◇[变式训练] 题型二平面与平面平行的判定 2.如图，点P是△ABC所在平 [例2]如图示，在三棱柱ABC一AB1C1中，点 面外一点，点A',B,C分别是 D,E分别是BC与B,C,的中点.求证：平面AEB △PBC,△PAC,△PAB的 A ∥平面ADC. 重心 (1)求证：平面A'B'C'∥平 面ABC. ·126· 第十一章立体几何初步 (2)求A'B′：AB的值. :Q为CC1的中点，P为 (1)证明如图，连接PA',并 DD1的中点，连接PQ, 延长交BC于点M,连接 易证四边形PQBA是平行 PB,并延长交AC于点N,连 四边形，.QB∥PA. 接PC,并延长交AB于点Q, 又，APC平面APO,QB吨 连接MN,NQ. 平面APO..QB∥平 A',B',C分别是△PBC, 面APO. △PAC,△PAB的重心， :P,O分别为DD1,DB的中点，.DB∥PO. .M,N,Q分别是△ABC的边BC,AC,AB的中 同理可得D,B∥平面PAO,又D,B∩QB=B, 点，1-5=2△PgAo△PNM. .平面D1BQ∥平面PAO 规律方法 .A'B∥MN. 对于探索性问题，一是可直接运用题中条件，结合 同理可得B'C'∥NQ. 所学过的知识探求；二是可先猜想，再证明猜想的 ,A'B∥MN,MNC平面ABC,A'B'在平面ABC, 正确性，这两种方法都可培养创造性思维， .A'B'∥平面ABC. ◇[变式训练] 同理可证BC'∥平面ABC 又：A'B'∩B'C'=B',A'B'C平面A'B'C', 3.如图，已知三棱柱ABC B'C'C平面A'B'C', AB1C1,E,F分别为CC1,BB 上的点，且EC=B,F,过点B作 .平面A'B'C'∥平面ABC (2)解：由(1)知A'B'∥MN,且AR'PA-2 截面BMN,使得截面交线段AC MNPM3 于点M,交线段CC1于点N. 中AB'-号MN (1)若EC=3BF,确定M,N的 位置，使平面BMN∥平面AEF,并说明理由. M,N分别是BC,AC的中点，MN=AB (2)若K,R分别为AA1,CB1中点，求证：KR∥ 平面AEF. ÷AB'-号MN=号×号AB=号AB, (1)解：当-=号时，手西BMN∥手 3 器-号甲A浴：静的植为号 面AEF. 理由如下： 题型三有关面面平行的探索性问题 :EN=号EC,BF=专EC. [例3]如图所示，在正方体ABCD-AB,C,D,中， O为底面ABCD的中心，P是DD,的中点，设Q .EN业BF,.四边形BFEN为平行四边形， 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面 .BN∥EF D,BQ∥平面PAO?并说明理由. 兴器avAE 0 MN,BNC平面BMN,且MN∩BN=N,AE, EFC平面AEF,且AF∩EF=F, .平面BMN∥平面AEF (2)证明：如图所示，连接BC1交 FE于点Q,连接QR,AQ. 由已知可得△BQF≌△C,QE, .BQ=CQ,∴.QR∥AK且QR [思路点拔]线线平行→线面平行之面面平行， =AK. [解]当Q为CC,的中，点时，平面D,BQ∥平面 .KR∥AQ,KR中平面AEF, PAO.理由如下： AQC平面AEF,∴.KR∥平面AEF 随堂。步步夯实 对应学生用书P69 1.下列条件中可以推出平面α∥平面3的是( C.存在两条平行直线a,b,aCa,bCB,a∥B,b∥a A.存在一条直线a,a∥a,a∥3 D.存在两条异面直线a,b,aCa,bC3,a∥B,b∥a B.存在一条直线a,aCa,a∥B 解析：D[由面面平行的判定定理知，D正确.] ·127· 数学B版·必修第四册 2.若a∥a,b∥B,a∥B,则a与b的位置关系是( 4.已知三条互相平行的直线a,b,c中，aCa,b,cCB, A.平行 B.异面 则a与3的位置关系是 C.相交 D.平行或异面或相交 答案：平行或相交 解析：D[按不同位置关系摆放，看是否符合 5.如图，在三棱锥S一ABC中，D,E, 即可.门 F分别是棱AC,BC,SC的中点.求 3.若平面a∥平面B,直线a∥a,点B∈3，且B在a则 证：平面DEF∥平面ABS. 在B内过点B的所有直线中 ) 证明：D,E分别是棱AC,BC的 A A.不一定存在与a平行的直线 中点， B.只有两条与a平行的直线 .DE是△ABC的中位线，.DE∥AB. C.存在无数条与a平行的直线 ,DE平面SAB,ABC平面SAB, D.存在唯一一条与a平行的直线 .DE∥平面SAB.同理可得DF∥平面SAB. 解析：D[过一点有且只有一条直线与已知直线 又，DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平面 平行.] DEF,∴.平面DEF∥平面ABS 课后。素养提升 对应学生课时P34 基础过关 4.已知m,n表示直线，a,3,y表示平面，有以下命题： JI CHU GUO GUAN ①m,n相交且都在平面a,3外，m∥a,m∥B,n∥a, 1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互 n∥B,则a∥B;②若a∩y=m,3∩y=n,且m∥n,则 相平行，那么两个平面的位置关系一定是( a∥3：③若m∥a,n∥3，m∥n,则a∥B.其中正确命 A.平行 B.相交 题的个数是 C.平行或相交 D.不能确定 A.0 B.1 解析：C[如图所示，由图可知C正确. C.2 D.3 解析：B[设m∩n=P,记m与n确定的平面为 y.由题意知：Y∥a,y∥B,则a∥B.故①正确；②③ 中，a与阝即可平行，也可相交，故均错误.] B 5.(多选题)下列说法正确的是 ) 2.设直线l,m,平面a,B,下列条件能得出a∥3的有 A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平 ( 行，则这两个平面平行 ①lCa,mCa,且l∥B,m∥β；②lCa,mCa,且l∥ B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平 m,l∥B,m∥B;③l∥a,m∥B,且l∥m;④l∩m=P, 行，则这两个平面平行 C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则 lCa,mCa,且l∥3，m∥3. 这两个平面平行 A.1个 B.2个 D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平 C.3个 D.0个 行，则这两个平面平行 解析：A[①错误，因为l,m不一定相交；②错误， 解析：CD[由两平面平行的判定定理知CD 一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这 正确.] 两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交； 6.(多选题)平面α内有不共线的三点到平面3的距 ④正确.] 离相等且不为零，则α与3的位置关系为() 3.在正方体EFGH一E,F,GH1中，下列四对截面 A.平行 B.相交 中，彼此平行的一对截面是 ( C.垂直 D.重合 A.平面E,FG,与平面EGH 解析：AB[若三，点分布于平面3的同侧，则a与3 B.平面FHG1与平面F1HG 平行，若三，点分布于平面3的两侧，则α与B相交.] 7.如图所示，在正方体ABCD一 D C.平面F,H1H与平面FHE M AB,C1D1中AB=4,M,N分 D.平面E,HG1与平面EH1G A 别为棱A1D1,AB1的中点，过 解析：A[EG∥E,G1,EG丈平面E1FG1,E,G1C 点B的平面a∥平面AMN,则 平面EFG1,∴.EG∥平面E,FG1,同理EH1∥平面 平面α截该正方体所得截面的 E,FG1,又EG∩EH1=E,∴.平面EGH1∥平 面积为 面E,FG1.] 答案：18 ·128· 第十一章立体几何初步 8.如图，L,M,N分别为正方体对 E是A,C的中点，D是BC的中点 应棱的中点，则平面LMN与平 :D1是BC1的中点，.BD1∥CD,AD 面PQR的位置关系 ∥AD, 是 又AD,∩BD1=D1,A1D1,BD1C平面A1BD1, 解析：如图，分别取另三条棱的 AD,C1DC平面ACD, 中点A,B,C,将平面LMN延 ∴.平面ABD1∥平面ACD. 展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ∥AL,PR 11.在正方体ABCD-AB,C1D1中，M,E,F,N分别 ∥AM,且PQ与PR相交，PQ,PRC平面PQR, 是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点 AL,AMC平面LMN,所以平面PQR∥平面 求证：(1)E,F,B,D四点共面； AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR. (2)平面MAN∥平面EFDB. 证明：(1)如图，连接B1D1, D Di F 答案：平行 A M B1 9.如图是正方体的平面展开图.在 E,F分别是棱BC1,CD1的中点， 这个正方体中， .EF∥B1D1,而BD∥B1D1,∴.BD∥EF ①BM∥平面DE;②CN∥平面 E,F,B,D四点共面 AF;③平面BDM∥平面AFN; (2)易知MN∥B,D1,B,D1∥BD,.MN∥BD ④平面BDE∥平面NCF.以上 又MN中平面EFDB,BDC平面EFDB, 四个命题中，正确命题的序号是 .MN∥平面EFDB. 解析：根据展开图，折叠得正方体，如图.由线面平 连接DF,MF.,M,F分别是A1B1,CD1的 行、面面平行的判定易知①②③④都正确. 中点， .MF∥A1D1,MF=AD1, 又A,D1∥AD,AD,=AD, ∴.MF∥AD,MF=AD. ∴.四边形ADFM是平行四边形，∴.AM∥DF. 又AM在平面BDFE,DFC平面BDFE, 答案：①②③④ .AM∥平面BDEF. 10.如图所示，三棱柱ABC 又，AM∩MN=M,∴.平面MAN∥平面EFDB. AB,C1中，D是BC上一点， 能力提升 NENG LI TI SHENG 且A,B∥平面AC,D,D1是 12.在正方体ABCD-AB1C,D1中，M为棱A1D1上 B1C1的中点. 的动点，O为底面ABCD的中心，E,F分别是 求证：平面ABD,∥平 A1B1,C,D1的中点，下列平面中与OM扫过的平 面ACD. B 面平行的是 () 证明：如图所示，连接AC,AC1交于点E,连 A.平面ABB1A B.平面BCC1B 接ED. C.平面BCFE D.平面DCC,D 解析：C[设AB,DC的中点分别为E,和F1,则 OM扫过的平面即为平面A1E1FD1.(如图) D M 1 ,四边形A1ACC是平行四边形， .E是AC的中点. D :AB∥平面AC,D,平面A1BC∩平面AC1D E =ED, 故平面AE,FD1∥平面BCFE.] .AB∥ED. ·129· 数学B版·必修第四册 13.如图所示的一块四棱柱木料 (2)因为DD1∥AA1,EF∥AA1,所以D,D∥EF. ABCD-A1B,C1D1,底面ABCD P 所以D,D与EF确定一个平面a. 是梯形，且CD∥AB. (1)要经过面ABC,D1内的一 点P和侧棱DD1将木料锯开， 应怎样画线？ (2)所画的线之间有什么位置 关系？ D 解：(1)如图所示，连接D,P并延长交A,B1于E, A B 过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E, 又因为平面ABCD∥平面A,B1C1D1,a∩平面 EF,FD就是应画的线 ABCD=DF,a∩平面A1B1C1D1=D1E,所以 D,E∥DF.且DF,D,E都与EF相交. 第二课时 平面与平面平行的性质 课程标准 素养解读 应用面面平行的性质进行各种平行关系的转 1.掌握平面与平面平行的性质，会应用性质解决问题 化，培养学生的直观想象素养，提升逻辑推理 2.掌握线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化 素养 课前。预习学案 对应学生用书P70 [情境引入] 配思考1.平面平行具有传递性吗？若a∥B,a∥y, 平整的桌面与地面是平行 则3∥y成立吗？ 的，教室的左、右两面墙也 [提示]具有传递性，即平行于同一个平面的两 是平行的，生活中随处可见 个平面也互相平行.成立 互相平行的平面 2.若两个平面a与3平行，则平面α内的直线与平面 问题两个平面平行有怎 3有何关系？ 样的性质？ [提示]平行.因为若α∥3则两平面没有公共 提示两平行平面同时与第三个平面相交，则交线 点，则平面α内的任一条直线都与3无交点，故 平行. 平行. [知识梳理] 3.若α∥3，则在这两个平面内各取一点连得线段长 相等吗？ [知识点一]平面与平面平行的性质定理 [提示]不确定，当各线段平行时，必相等。 (1)内容：如果两个平行平面同时与第三个平面相交， [预习自测] 那么它们的交线平行.（如图所示） 1.在长方体ABCD一A'B'C'D'中，下列结论正确的 是 ( A.平面ABCD∥平面ABBA' B.平面ABCD∥平面ADD'A' C.平面ABCD∥平面CDD'C D.平面ABCD∥平面A'B'C'D a∥3 解析：D[如图， D' (2)符号表示：a∩y=l →l∥m 80r=m. B (3)作用：证明两直线平行 (4)推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应 D 线段成比例. B 平面ABCD∥平面A'B'C'D'.] ·130·