11.3.1 平行直线与异面直线（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 课程标准 素养解读 1.了解空间中两条直线的位置关系 借助实物理解异面直线的概念，进行两条直线 2.理解空间平行线的传递性，会证等角定理 平行的判断，培养学生的直观想象素养与逻辑 3.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P60 [情境引入] 2.异面直线的判定：与一个平面相交于一点的直线与 1.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直 这个平面内不经过交点的直线异面. 线平行吗？ 3.空间两条直线的位置关系 提示不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 共面（相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。 2.同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边 直线平行直线：同一平面内，没有公共点 分别平行，那么这两个角相等或互补.空间中是否 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 有类似规律？ [知识点三]空间四边形 提示有.观察图形有∠AOB=∠A'OB' 顺次连接不共面的定义空间四表示 用表示顶点 的4个字母 4点所构成的图形 边形 表示 连接相邻顶 顶点 基本量- 边定义点间的线段 称为空间四 边形的边 [知识梳理] 对角线 [知识点一]平行直线 1.平行直线 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已 连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线 知直线平行 (2)平行线的传递性 ?思考1.平行公理有什么作用呢？ 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平 [提示]可用于证明空间中两条直线平行，也可 行.这一性质称为空间平行线的传递性。 用于作空间中直线的平行线. 爷号表让 2.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角 →b∥c. 在什么情况下相等，在什么情况下互补呢？ 2.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分 [提示]观察两个角在空间中张口的相对方向，当 别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 方向相同时，两角相等；当方向相反时，两角互补. [知识点二]异面直线 3.两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们 1.异面直线的定义：异面直线是不同在任何一个平面 所成的锐角（或直角）相等吗？ 内的两条直线.既不相交又不平行的直线.（画法如 [提示]相等： 图所示) [预习自测 1.空间两个角a,3的两边分别对应平行，且a=60°， 则B为 () A.60°B.120°C.30°D.60°或120 解析：D[由等角定理可知，3为60°或120°.] ·113. 数学B版·必修第四册 2.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应 解析：B[如果一个角的两边与另一个角的两边分 平行，则这两个三角形 别平行，那么这两个角相等或互补，所以①为假命 A.全等 B.相似 题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂 C.仅有一个角相等D.无法判断 直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以③ 解析：B[由等角定理知，这两个三角形的三个角 为假命题；②④是真命题.门 分别对应相等，所以这两个三角形相似.] 4.如图，在三棱柱ABC一AB1C1中，E,F分别是 3.下列命题中，真命题有 ) AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， B,C,的位置关系是 那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直， 那么这两个角相等或互补； 解析：在△ABC中，AE:EB=AF:FC, ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两 ∴.EF∥BC.又BC∥B,C1,.EF∥B,C. 条直线互相平行 答案：平行 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 课堂。互动学案 对应学生用书P62 题型一 平行线的传递性的应用 因为EF=AC.AC=BD,所以EH=ER [例1] 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH 四边形称为空间四边形)中，E,F,G,H分别为 是菱形 AB,BC,CD,DA的中点. 规律方法 证明两条直线平行的方法：(1)定义法，即在同 平面内没有公共点的两条直线是平行线；(2)利用 三角形的中位线平行于第三边这一性质；(3)利用 平行线的传递性；(4)利用平行四边形的对边互相 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； 平行这一性质. (2)如果AC=BD,求证：四边形EFGH是菱形 ⊙[变式训练] 汇思路点拔了利用平行线的传递性转化： 1.已知正方体ABCD一AB,C,D1,E,F分别为棱 [证明](1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G, AA1,CC1的中点.求证：BF LED1 H分别为AB,BC,CD,DA的中点， 证明：如图.取BB,的中点G,连接 GCGE. 所以EF∥AC,HG/I AC,EF=HG=2AC, ,F为CC1的中点，.BGLC,F, 所以EF∥HG,EF=HG, .四边形BGCF为平行四边形， 所以四边形EFGH是平行四边形. ∴.BFLGC1. (2)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为 又：EG⊥A1B1,A1B1LDC1, AB,BC,CD,DA的中点， .EGLD C, 所以EH∥BD,EH=2BD. .四边形EGCD1为平行四边形，.ED1LGC. ∴.BFED1. ·114· 第十一章立体几何初步 题型二空间等角定理及其应用 证明：如图，连接EE1 [例2]如图，在正方体ABCD一A1BCD1中，E, F,E1,F1分别为棱AD,AB,B,C1,CD1的中点. 求证：∠EA1F=∠E,CF. E1,E分别为A1D1,AD的中点， ..A EZAE, ∴.四边形AE,EA为平行四边形， 思路点拨町等角定理的结论是相等或互补，在 ..AA ZE E. 实际应用时，一般再借助于图形判断是相等还是 又A1ALB1B,E1ELB1B, 互补，还是两种情形都有可能. ∴.四边形EEBB,是平行四边形 [证明]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ∴EB1∥EB.同理E,C∥EC 又∠BE,C1与∠BEC的两边分别对应平行，且方 取A,B,的中点M,则BF=A,M=号AB.连接 向相同， MF1,MB,FC.BF∥A1M, ∴.∠B,E,C1=∠BEC ∴.四边形A1FBM为平行四边形，∴.AF∥BM 题型三】 异面直线的判定或证明 F1,M分别为C1D1,A1B1的中点， [例3]如图，若点P是△ABC所在平面外一点，PA :.F MLC B. ≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M为AB的中点.求 .C B LCB,..F MLCB, 证：PN与MC为异面直线. .四边形F,MBC为平行四边形， .BM∥FC. 又BM∥AF,.AF∥FC. 取A1D1的中点N, 连接E,C,ND. 同理得AE∥CE1· [思路点拔 ∠EA1F与∠ECF1的两边分别对应平行，且两 定理法 利用异面直线的判定定理证明 边方向对应相反， .∠EA1F=∠ECF 提出假设，将假设作为条件，推 规律方法 反证法 出矛盾，从而肯定结论 1.证明角相等常用以下三种方法：(1)利用三角形 [证明]（法一：反证法） 相似：(2)利用三角形全等；(3)利用空间等角 假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面a, 定理. 使得PNCa,MCCa,于是P∈a,C∈a,N∈a,M 2.根据等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两 Ea. 个角的两条边分别对应平行；(2)证明两个角的 ,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M是AB的中 两条边的方向相同或者相反 点，点M与点N不重合 ◇[变式训练] .M∈a,N∈a,∴.直线MNCa. 2.如图所示，在正方体ABCD一 .A∈直线MN,B∈直线MN,∴.A∈a,B∈a AB,CD1中，E,E1分别是棱AD, 即A,B,C,P四，点均在平面a内，这与，点P在平面 AD1的中点.求证：∠BEC ABC外相矛盾. =∠B,E,C1. ∴.假设不成立，即PN与MC为异面直线. ·115· 数学B版·必修第四册 (法二：判定定理法) ◇[变式训练] ,PA≠PB,点N与点M不重合 3.如图，正方体ABCD一A1B1C,D1,证明直线A1B ,N∈平面ABC,P在平面ABC,CMC平面ABC, 与B,C,AB与BC为异面直线. NECM, D 根据异面直线判定定理可知，直线PN与MC为 异面直线 规律方法 B 判定或证明异面直线的方法有两种：(1)定义法， 解：：直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且 由定义法判定两条直线不可能在同一平面内，常 没有交点，两直线平行，直线D,D与直线DC 用反证法； 相交于D1点，点A1,B,B1在平面A1BB1内，而，点 (2)判定定理法，过平面外一点与平面内一点的直 C不在平面A,BB1内，直线AB与直线BC异 线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 面.同理，直线AB与直线B,C异面 随堂。步步夯实 对应学生用书P63 1.如果直线a与b没有公共点，那么直线a与b的位 4.如图所示，四棱柱ABCD一A1B1C,D,中，底面是 置关系是 梯形，AB∥CD,则所有与∠A1AB相等的角是 A.异面 B.平行 C.相交 D.平行或异面 解析：D[由空间中两条直线的位置关系可知，直 线a与b的位置关系是平行或异面.] 2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则 它与另一条 ) A.相交 B.异面 解析：因四棱柱ABCD一A1B,C1D1中AA1∥ C.相交或异面 D.平行 DD.又AB∥CD,所以∠A1AB与∠D1DC相等. 解析：C[如图所示的长方体ABCD一A,B,C,D 又由于侧面A1ABB,,D1DCC1为平行四边形，所 中，直线AA与直线B,C1是异面直线，与B,C1平 以∠A1AB与∠A1B1B,∠D,C,C也相等. 行的直线有A,D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D, 答案：∠D1DC,∠D1CC,∠A1B1B 相交，与BC异面.] 5.在棱长为a的正方体ABCD一A'B'C'D'中，M,N 分别为棱CD,AD的中点.求证：四边形MNA'C 是梯形 证明：如图，连接AC 3.如图所示，AA是长方体的一条棱，这个长方体中 .M,N分别为棱CD,AD的中点， 与AA1异面的棱有 条 D MNL号AC D 由正方体的性质可知AC业A'C', MNL行A'C,A'N与MC'相交， 解析：与AA1异面的棱有BC,B,C1、CD、CD1共4 即A'N不平行于MC',MN平行于A'C', 条 ∴.四边形MNA'C'是梯形. 答案：4 ·116· 第十一章立体几何初步 课后。素养提升 对应学生课时P30 ----● 基础过关 JI CHU GUO GUAN A.MNC号AC+BD 1,若aCa,b寸a,则a与b的位置关系可能是 ( A.平行或异面 B.相交或异面 RMN<号(AC+BD) C.平行、相交或异面 D.平行或相交 解析：C[b丈a,则直线b与平面a最多一个交点， C.MN (BC+AD) 若交点在a上，则相交；若交点不在a上，则异面； D.MN<(BC+AD) 若b与α无交点，则可能平行或异面.门 解析：BD[若取BC的中点P,连接MP,PN,则 2.如果OA∥O,A1,OB∥O,B1,那么∠AOB和 ∠A1OB ( MP=AC,NP=BD.:在△MNP中有MN A.相等 B.互补 <号(AC+BD.同现，取AC的中点Q,可得MN C.相等或互补 D.大小无关 解析：C[因为角的方向不定，所以∠AOB与 <号(BC+AD.j ∠A,OB1相等或互补.] 3.如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱 72知图所示，在京间四边形ABCD中，晋-，需 所在的12条直线中，异面直线共有 ( 品.则EH与FG的位置关系是 A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 解析：B[六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底 面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样 异面直线一共有4×6=24（对）.] 4.下列说法中正确的是 A.空间中没有交点的两条直线是平行直线 解析：连接BD,如图， B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和 -品EH水BD, 另一条也相交 C.已知空间中四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d, 又带品GBD, 且a∥d,那么b∥c ∴.EH∥FG. D.分别在两个平面内的直线是平行直线 答案：平行 解析：C[没有交点的直线也可能是异面，故A 8.如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线 错；B中还可能异面；在两个平面的直线可能平行、 上，E在线段PA上，则直线AB,BC,AC,EF,AP, 相交或异面，故D错.] BP中有 对异面直线 5.(多选题)下列四个结论中假命题的是 ( A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 B.平行于同一直线的两直线平行 C.若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c D.若直线1，l2是异面直线，则与1，l2都相交的两 条直线13，l,是异面直线 B 解析：AD[正方体一个顶，点处的三条棱两两互相 解析：异面直线有AB与EF,BP与AC,BC与 垂直，故A错；D中若l3,l与11，l2中的一条相交 AP,AC与EF,BP与EF. 答案：5 于同一点，则D错.门 9.如图示，a∥a,A是a的另一侧的点，B、C、D∈a, 6.(多选题)已知在三棱锥A一BCD中，M,N分别为 线段AB、AC、AD分别交a于E、F,G,若BD=4,CF AB,CD的中点.则下列结论正确的是 ( =4,AF=5,则AC= ,EG= ·117· 数学B版·必修第四册 B 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.（2021·全国乙卷（理），5)在正方体ABCD AB1C1D,中，P为B,D1的中点，则直线PB与 AD,所成的角为 解析：AC=AF+CF=4+5=9; A晋 B晋 由E知BG/BD,品A{FG-9 91 c牙 D.8 答案99 解析：D[如图，设正方体棱 D 10.如图所示，四边形ABEF 长为2，则PB=√6，PC1= 和ABCD都是直角梯形， √2，BC=2√2，则PB+PC ∠BAD=∠FAB=90°， =BC,在Rt△PBC1中，sin BC AD,BEFA. ∠PBC1= PCL G,H分别为FA,FD的 BC 22=2,所以直线 1 中点 证明：四边形BCHG是平行四边形. PB与AD,所成的角为若] 证明：由已知FG=GA,FH=HD, 13.如图所示，在正方体ABCD D 可知GHL7AD.又BCL2AD..GH-ZEC, AB1C1D1中，E,F,E1,F1分 别为AD,AB,BC,C1D1的 .四边形BCHG为平行四边形. 中点 11.如图，已知棱长为a的正方体ABCD一A1B,C,D (1)求证：EFLE,F1: 中，M,N分别是棱CD,AD的中点. (2)求证：∠EAF=∠E,CF D 证明：(1)连接BD,B1D1. ,E,F分别为AD,AB的中点， ÷在△ABD中有EP∥BD且EF=BD, 同理，Er∥BD且EF,=BD (1)求证：四边形MNA,C1是梯形； 而在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1LDD1, (2)求证：∠DNM=∠D1AC· ∴.四边形BB,D,D为平行四边形， 证明：(1)如图，连接AC, D M .BD∥B1D1且BD=BD1,.EFLE1F1 在△ACD中， (2)取A1B1的中点M,连接BM,FM, B ,M,N分别是CD,AD的 则BF=AM=AB. 中点， D C .MN是△DAC的中位线， 又BF∥AM,.BFAM, B MN/AC,MN=号AC. .四边形AFBM为平行四边形，.A1F∥BM. M,F1分别为A1B1,C1D1的中点， 由正方体的性质得： ..F MLC B, AC∥AC1,AC=A,C. 而C1B1LBC,.FM∥BC且F,M=BC ∴MN/A,C,且MN=A,C,即MN≠A,C, .四边形F,MBC为平行四边形，∴.BM∥F,C 又BM∥AF,.A,F∥CF1· .四边形MNA,C1是梯形. 同理A1E∥CE. (2)由(1)可知MN∥AC1.又.ND∥A,D1, :∠EA,F与∠E,CF,的两边分别对应平行， .∠DNM与∠D1A,C1相等或互补 即A,E∥CE1,AF∥CF且方向都相反， 而∠DNM与∠D,A,C,均是直角三角形的锐角， .∠EAF=∠ECF1. .∠DNM=∠D1AC. ·118·