11.1.6 第2课时 台体与球的体积（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 2.在梯形ABCD中，∠ABC=2,AD/BC,BC=2AD 4.如图所示，在棱长为4的正方体 ABCD-A1B1CD1中，P是A1B 2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形 上一点，且PB,=子A,B,则四棱 成的曲面所围成的几何体的体积为 ( 锥P一BCCB,的体积为 A B誓C D.2x 5.在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，把 3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱，则四棱锥 △ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形 成的几何体的体积是多少？ C-AA'B'B的体积是 A C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 第二课时台体与球的体积 课程标准 素养解读 1.掌握台体和球的体积公式 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的 2.会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体 直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数 问题 学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.组合体的体积是各个几何体的体积之 街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球 和吗？ 2.柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？ 问题如何计算球的体积？ [知识梳理] 1.台体的体积 [预习自测] 棱台与圆台统称为台体，台体的体积的计算公式是 1.一个球的外切正方体的全面积等于6cm,则此球 V台体一 ,其中，S,S分别是台体上、 的体积为 下底面的面积，h为台体的高. 2.球的体积 A.含xcm Ben 球的半径为R,则V球= 3.组合体 C.n D on! 由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合 2.若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该 体，求组合体的体积（表面积）时，只需要算出其中 棱台的体积为 每个几何体的体积（表面积），然后再处理即可· 3.一个球的表面积是16π，则它的体积是 ·53· 数学B版·必修第四册 课堂。互动学案 -● 题型一 台体的体积 (2)三个球的半径之比为1：2：3，那么最大的球 [例1]已知正四棱台两底面边长分别为20cm和 的体积是其他两个球的体积和的 ( 10cm,侧面积是780cm2.求正四棱台的体积. A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 汇思路点拨]求出棱台的高，利用台体的体积公 题型三 组合体体积（表面积） 式求解 [例3]如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC= [尝试解答】 90°，AD=a,BC=2a,∠DCB=60°，在平面ABCD 内过点C作1⊥CB,以1为轴旋转一周.求旋转体 的表面积和体积. 规律方法 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台 体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆 台的轴截面寻求相关量之间的关系。 汇思路点拨]先判断由哪些几何体组合得到的组 ◇[变式训练] 合体，分别求出各几何体的体积（表面积），再结合 1.圆台上底的面积为16πcm2,下底半径为6cm,母 图形进行计算 线长为10cm,那么，圆台的侧面积和体积各是 多少？ [尝试解答] 题型二 球的体积 [例2] 已知球的直径为6cm,求它的表面积和 规律方法 体积. 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成， [思路点拨]直接利用球的体积公式求解， 其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然 [尝试解答] 后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相 减，求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体 的体积，然后再相加或相减。 ⊙[变式训练] 规律方法 3.(1)如图，有一个水平放置的无盖正 球的基本性质是解决与球有关的问间题的依据，球 方体容器，容器高8cm,将一个球放 半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的 在容器口，再向容器内注水，当球面 直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要 恰好接触水面时测得水深为6cm, 方法 若不计容器的厚度，则球的体积为 ◇[变式训练] ( 2.(1)若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积 A.500x cm B.866x cm 扩大为原来的 ( 3 3 A.8倍B.4倍 C.2√2倍 D.2倍 C.1372x cm D.2 048 cm 3 3 ·54· 第十一章立体几何初步 (2)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体 规律方法 木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的 球与几何体的切、接问题的解题思路 底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)， 1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面 则该器皿的表面积S为 上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几 何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几 何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并 作出合适的截面进行求解. 2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的 A.54 B.54+2π 截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这 C.54十元 D.54+3元 个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映 题型四 球的切、接问题 出几何体与球的位置关系和数量关系， [例4幻一个高为16的圆锥内接于一个体积为972 ◇[变式训练] 的球，在圆锥里又有一个内切球.求： 4.半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为6， (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积. 则这个半球的体积为 思路点拔了选取适当的截面，找出球的半径，利 5.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶 用平面几何知识解决问题， 点在一个球面上，则该球的表面积为 [尝试解答] A.xa c D.5πa2 随堂。步步夯实 1.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是 球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为 A.4:9 B.9:4 C.4:27 D.27:4 5.如图所示，在三棱柱ABC一A1BC,中，E,F分别 2.圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是 6π，这个圆台的体积是 为AB,AC的中点，平面EB,C,F将三棱柱分成两 A.23x 部分，求这两部分的体积之比。 3 B.2√3π C.7v③x 6 n 3.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁 球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器 的水面下降了号cm,则这个铁球的表面积为 cm. 4.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装 C温馨提弱 有适量的水，若放人一个半径为r的实心铁球，水 学习至此，请完成配套训练 面高度恰好升高r,则尽 ·55·数学B版·必修第四册 第二课时台体与球的体积 课前预习学案 情境引入 提示V球= 3R3. 知识梳理 1.(S+V5丽+S2.号R [思考] 1.[提示]不一定，要看这几个几何体如何组合，也可能为 体积的差. 2.[提示]V=ssV-号S+V55+ShS9V=号s% 柱体 台体 锥体 所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 预习自测 1.C[由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长 为a,则6a2=6,故a=1,所以V=专x(合)°=日x (cm3).] 2.解析：V&=子(S+VSS+S)=号×34+VXI6+ 16)=28. 答案：28 3.解析：设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π，故R= 2所以球的朱积V-青R-号。 3 答案：号 课堂互动学案 [例1][解]如图所示，正 四棱台ABCD-A1B1CD1 中，A1B1=10cm,AB= B 20cm. 取A1B1的中点E,AB的 中点E,连接E1E, 则E,E是侧面ABB1A 的高. 设O1,O分别是上、下底面 的中心，连接O1E1,O1O,OE, 则四边形EOOE1是直角梯形. 由S%=4×710+20)·EE=780,得EE,=13. 在直角梯形BO0,E中，0E=合AB=5, 0E=2AB=10, ∴.O1O=√JEE2-(OE-O1E1)2=12, V2骏6=子×12×(102+202+10×20)=280(cm3). 故正四棱台的体积为2800cm3. 变式训练 1.解析：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4cm, 于是S圈台侧=π(r十r')l=100π(cm2). ·1 圆台的高h=BC=√BD-(OD-AB)2 √/102-(6-4)z=4W6(cm), Va6=子A(S+V53+S)=子×4万x16x十 √16xX36x+36x)=3046r(cm3). [例2][解]直径为6cm,.半径R=3cm, ∴.表面积S球=4xR2=36π(cm2), 体积V4=专xR8=36x(cm3). 变式训练 2.解析：(1)大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为原 来的√2倍，所以球的体积扩大为原来的2√瓦倍. (2)设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积V3= 号xX33=36x,两个小球的体积和V十V,=号xX13十 23)=12π.则最大球的体积是其他两个球的体积和的 3倍. 答案：(1)C(2)C [例3][解]在梯形ABCD中，∠ABC=90°， AD∥BC,AD=a,BC=2a, ∠DCB=60°， ∴CD=BC-AD C0s60° 2a, AB=CDsin60°=√5a, .DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a, D0=2DD'=a: 由于以1为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为 圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥。 由上述计算知，圆柱母线长√3a,底面半径2a: 圆锥的母线长2a,底面半径a. .圆柱的侧面积S1=2π·2a·√3a=4√3πa2, 圆锥的侧面积S2=元·a·2a=2πa2, 圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2, 圆锥的底面积S4=πa2, .组合体上底面积S=S3-S4=3πa2, ∴.旋转体的表面积S=S1+S2十S3十S5=(4√3+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去 一个圆锥的体积. V柱=Sh=π·(2a)2·√3a=4√3πa3. Vas%=子2a-g iv-Va-Va-4ing 3 变式训练 3.解析：(1)设球的半径为Rcm,根据已知条件知正方体的 上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm,球心到截面 圆的距离为(R-2)cm,所以由42+(R-2)2=R2,得R= 5,所以球的体积为V=号R3=号xX53=50四(cm). 3 (2)器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半 径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即 器豆的表面积S=6×(3X3)-xX12+号×(4x×13) 54-π+2π=54+π 答案：(1)A(2)C [例4][解](1)如图所示，作出轴 截面，则等腰三角形SAB内接于 圆O,而圆O1内切于△SAB. 设圆0的丰径为R,则有号R3= 10 0 972π，∴.R=9,.SE=2R=18. .SD=16,.ED=2. D 连接AE,又SE是圆O的直径， ∴.SA⊥AE, .SA2=SD×SE=16×18=288,SA=12√2. AB⊥SD,D为AB中点， .AD2=SD·DE=16×2=32,AD=4√2. ∴.S图维侧=π×ADXSA=π×4√2×12√2=96π. (2)设内切球的半径为r,即圆O1的半径为r, △SAB的周长为2×(12V2+4√2)=32√2， ∴X32E-宁×8x16,得r=4 故圆锥内切球的体积V魏=73_256 4 3元 变式训练 4.解析：过正方体对角面作截面如图所 A' 示，设半球的半径为R,因为正方体的 棱长为，6，所以CC=6,0C=×5 2 0 =. 在Rt△CCO中，由勾股定理，得 CC2+OC=OC2,即（√6）2+（√3）2=R2,所以R=3. 故V=分×专R=18 答案：18元 5.B[如图所示，设O1,O分别为上、A1 ：01 下底面的中心，连接OO,则球心 B O2为O01的中点，连接AO并延 0, 长交BC于D点，连接AO2. AD=9,A0=号AD=9。 31 3a, 00=A0=2+2 B 2,故接球的表面积S=:×司02=子 3a2.] 随堂步步夯实 1.C[设球的半径为r,则圆锥的底面半径是3r,设圆锥的 高为A,别号=子3rh,解得片=青r,所以圆维的 高与底面半径之比为易】 2.D[设上、下底面半径为r',r,母线长为l, r2=元， r'=1, 则{xr2=4x, .{r=2, (x(r'+r)·l=6π，（l=2. 圆台的高h=√2-(r-r)z=√5， V题台=子(+·4际+4xw5-7Bx,] 1 3.解析：设该铁球的半径为r,则由题意得 号xX=元X102×号解得户=5=5 .这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm2) 答案：100x 1 参考答案 4.解析：水面高度上升r,则圆柱体积增加xR2·r, 恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此得号=xR g-2 答案2 5.解：截面EB1CF将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台 AEF-A1B1C1,另一部分是一个不规则几何体，故可以 用棱柱的体积减去棱台的体积求得。 设被柱的底面积为S,高为A,则△AEF的面积为S, 令V=Vr-AaC=子A·(+S+)=是AS,剩 余的不规则几何体的体积为 V,=V-V=AS-是AS=品AS,所以两部分的依积之比 为V1:V2=7:5. 11.2平面的基本事实与推论 课前预习学案 情境引入 提示如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个 面内，那么这个面就是平面. 知识梳理 知识点一、(2)平行四边形 知识点二、A∈aA庄a ICa 1中a 「思考 1.「提示1不是，平面是无限延展的. 2.[提示]不一定.当1与a相交时，1在a外，但有一个 公共点 知识点三、(1)不在一条直线上A、B、C∈a(2)A∈1B ∈l1Ca(3)公共直线∈∈(4)确定相交平行 [思考] 3.[提示]根据基本事实2，易知以上三个条件都能确定一 个平面.此三个结论可作为“基本事实2”的三个推论，在 推理证明中可直接运用. 4.[提示]都在交线上，可证明多点共线问题. 预习自测 1.C[不共线的三，点可以确定一个平面，排除A;四边形可 以是空间四边形，排除B;根据基本事实3可以知道D不 正确，故选C. 2.D 3.A[选项A是面面平行的性质定理，是由基本事实推证 出来的，而基本事实是不需要证明的，故选A.] 4.∈庄C丈AC平面ABC 平面BCD 5.证明：已知点A,B,C不在同一条直线上。 由基本事实1，知过A,B,C三，点可以确定一个平面a. 则A∈a,B∈a.由基本事实2，知ABCa. 同理可证AC二a,BCCa. .直线AB,BC,CA共面 课堂互动学案 [例1][解析]A[由平面的概念和特征知，平面是平 滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确.其余的 命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不 正确.故选A.门]