11.1.5 第1课时 圆柱、圆锥、圆台（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.1.5 旋转体 第一课时 圆柱、圆锥、圆台 课程标准 素养解读 通过实物和模型观察，抽象出圆柱、圆锥、圆台 1.通过实物和模型，总结出圆柱、圆锥、圆台的结构特征 的结构特征，培养学生的数学抽象，提升直观想 2.能根据圆柱、圆锥、圆台的定义和结构特征，掌握有关概 象素养；通过圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算， 念及计算圆柱、圆锥、圆台的表面积 提升学生的数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.分别以矩形ABCD(非正方形)的AB, 很多物体的形成可以看作按一定的要求旋转形成， AD边所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一 周得到的两个圆柱相同吗？ 问题一个圆台是如何旋转得到的？ [知识点三]圆锥 1.圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在直线为旋 转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体.如图所示. [知识梳理] 侧面 [知识点一]旋转体 母线、 1.定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲 面所围成的几何体. 2.轴：旋转轴叫做旋转体的轴. 底面 3.高：在轴上的边（或它的长度）. 2.圆锥中常用概念： 4.底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面」 (1)轴：旋转轴叫做圆锥的轴. 5.侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面. (2)高：在轴上的边（或它的长度）. 6.母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边. (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. 7.轴截面：通过轴的平面所得到的截面， (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面. [知识点二]圆柱 (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边， 1.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，将 [知识点四]圆台 矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.如图 1.圆台的定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线 所示. 为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体.如图所示。 轴 底面 匕轴 底面、 侧面 侧面、 母线 母线 底面 底面 2.圆柱中常用概念： 2.圆台中常用概念： (1)轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 (1)轴：旋转轴叫做圆台的轴. (2)高：在轴上的边（或它的长度）. (2)高：在轴上的边（或它的长度）. (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面. (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边， (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边， ·45· 数学B版·必修第四册 ?思考2.以平行于底面的平面截圆柱、圆锥、圆台， ?思考3.圆柱、圆锥、圆台的轴截面所得图形的边 得到的截面是什么图形？ 长与哪些量有关系？ [知识点五]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与全面积 1.轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称 为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、 等腰三角形、等腰梯形. 4.圆锥、圆台的侧面展开图是怎样的图形？如何求 2.旋转体的侧面积与全面积 侧面积？ (1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积 与底面积之和称为旋转体的表面积（或全面积）. (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 S圆柱=2πr(r十1)，r 圆柱 为底面半径，1为侧 面母线长 [预习自测] 1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几 S侧锥=πr(r十)，r 何体是 ( 圆锥 为底面半径，l为侧 A.圆柱 B.圆锥 面母线长 C.圆台 D.两个圆锥 2.下列几何体中不是旋转体的是 S侧台=π(r2+r2十 r'1+rl),为上底 圆台 面半径，r为下底 面半径，1为侧面母 D 线长 3.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为 30°，则圆锥的高为 cm. 课堂。互动学案 题型一圆柱、圆锥、圆合的结构特征 汇思路点拨了依据圆锥、圆柱、圆合的结构特征逐 [例]下列说法： -判断. (1)以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转 [尝试解答] 一周得到的旋转体为圆台； (2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面： (3)分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将 矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的 圆柱； (4)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个 圆台. 其中正确说法的序号是」 ·46· 第十一章立体几何初步 规律方法 ◇[变式训练] 1.圆柱、圆锥、圆台都是一个平面图形绕其特定边 2.一个圆锥的高为2cm,母线与轴的夹角为30°，求 (弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体 圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积 对旋转轴的具体要求. 2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由 此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些 概念有关的命题的正误 ◇[变式训练] 1(多选题)下列命题正确的是 A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两 点的连线是圆柱的母线 B.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆 题型圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用二 锥的母线 [例3](1)若圆台的上、下底面半径分别是10cm和 C在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，则 点的连线是圆台的母线 圆台的表面积为 cm D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 (2)如图所示，圆台的上、下底面半径 题型二圆柱、圆锥、圆合的有关几何计算 分别为5cm和10cm,母线AB [例2](1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长 20cm,从圆台母线AB的中点M拉 的3倍，轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹 一条绳子绕圆台侧面转到A点.则绳 角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 子的最短长度为 ;当绳子最短时，上底圆 (2)圆台的两底面面积分别为元，49元，平行于底面 周上的点到绳子的最短距离为 cm 的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的 [思路点拨]画出侧面展开图，转化为平面几何 高被截面分成的两部分的比. 知识求解. 汇思路点拨]做出轴截面，利用等腰梯形，结合题 [尝试解答] (1) (2) 目条件，利用平行线分线段成比例知识，构造方程 规律方法 求解. 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积常通过侧面展开图 [尝试解答] 求解 2.求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点的最短距离问 题，基本方法是将侧面展成平面图形，转化为 平面上的线段长度问题，然后利用平面几何的 知识解决。 ⊙[变式训练] 3.如图所示，有一个底面半径为1，高为 2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离 B 是多少？ 规律方法 (1)旋转体基本量的计算，一般从轴截面入手，利 用等腰梯形、等腰三角形、矩形或结合题目条 件，利用平行线分线段成比例，相似等知识 解决。 (2)有关截面圆半径的计算可以借助圆锥的轴截 面，利用相似三角形的相似比求解. ·47· 数学B版·必修第四册 随堂⊙步步夯实 ● 1.下列说法中正确的个数是 5.将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱 ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个 的侧面，求圆柱的轴截面的面积. 圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形： ③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋 转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的 圆柱 A.0 B.1 C.2 D.3 2.以下说法正确的是 ( A.圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小 于1 B.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以 围成圆锥 D.圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上 每一点的母线都相等 3.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径 的比是1：4，母线长为10cm,则圆锥的母线长为 4.边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则 从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 -cm. 第二课时 球 课程标准 素养解读 1.掌握球的结构特征 通过球的截面对球的结构特征的理解，球的定 2.会利用球的定义及结构特征，处理有关截面及组合体问 义的应用及球的表面积的计算，培养学生的直 题，会求球的表面积 观想象素养，提升逻辑推理、数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 问题球是个旋转体，它是如何形成的？ 在俄罗斯举行的2018年世 界杯足球赛用球是“电视之 星(Telstar)18”,它采用了 经典黑白两色，深色梯形装 饰用马赛克图案形成，文字 E45 则使用了金色. ·48·数学B版·必修第四册 2.D[棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台 应有两个条件：一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后 必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A、B则两 条件都不具备，] 3.解析：五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的对角线有AC1, AD;BD1,BE,CE,CA1,DA,DB1,EB,EC 10条. 答案：10 4.解析：在题图中截去三棱锥A'一ABC后，剩余的是以 BCCB'为底面，A'为顶，点的四棱锥 答案：四棱锥A'一BCC'B 5.解：作出正三棱锥如图，SO为其高， 连接AO,作OD⊥AB于点D,则点 D为AB的中点.在Rt△ADO中， AD=2,∠0AD=30,故A0= 3 0 2 cos∠OAD =√3.故S0= √SA2-AP=3,故三棱锥的高为3. 11.1.5旋转体 第一课时圆柱、圆锥、圆台 课前预习学案 情境引入 提示以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转 轴，将直角梯形旋转一周可形成圆台. 知识梳理 [思考] 1.[提示]不相同 2.[提示]都是圆面，截圆柱所得的圆面与上、下底面相 同，圆锥、圆台所得到的圆面从下向上逐渐变小 3.[提示]圆柱的轴截面是矩形，一边为圆柱的底面圆直 径，另一边为母线长；圆锥的轴截面是等腰三角形，腰为 母线长，底边长为底面圆直径；圆台的轴截面为等腰梯 形，两腰为母线长，上、下分别为上、下底面圆直径. 4.[提示]圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为母线 长，圆孤为底面圆周长：圆台的侧面展开图为扇形再剪去 一个扇形剩余部分，其面积为两个扇形面积的差，S圆维侧 =πrl,其中r为底面圆半径，l为母线长；S图台侧=π(r1十 r2)·l,其中r1,r2分别为上、下底面半径，l为母线长. 预习自测 1.D[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕 其一条对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥.] 2.D[只有D不是旋转体.] 3.解析：h=20c0s30°=10√3. 答案：10√3 课堂互动学案 [例1][解析](1)错误.若以直角梯形的不垂直于底边 的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆 台的组合体.(2)正确.圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直 于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆 面.(3)正确.若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的 曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同.(4)错 误.当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和 一个圆台，否则不能得到 [答案](2)(3) 变式训练 1.BDL由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B,D 正确，A,C错误.] ·10 [例2][解](1)法一圆 B 台的轴截面如图所示，根据 题意可设圆台的上、下底面 半径分别为xcm和3rcm, D 0 即A'O'=xcm,AO=3xcm (O',O分别为上、下底面圆圆心)，过A'作AB的垂线，垂 足为点D 在Rt△AA'D中，∠AA'D=45°，AD=AO-A'O=2xcm,所 以A'D=AD=2xcm. 图为S我西=(Ag'+AB)·AD=号(2z+6x)X2 =392,所以x=7,故圆台的高0=14cm,母线长AA'= √2OO=14√2cm,上、下底面的半径分别为7cm和21cm. 法二圆台的轴截面为梯形 A'ABB',设圆台上、下底面半径 分别为xcm和3.xcm. A 0' 延长AA',BB',交OO的延长线 于点S.在Rt△SOA中，∠ASOA 0 B =45°，所以S0=AO=3.xcm,SO'=A'O'=xcm,所以 00=2xcm,S轴我而=7(2r十6x)X2x=392,所以x=7 所以圆台的高O0=14cm,母线AA'=√2O0=14√2cm, 上、下底面半径分别为7cm和21cm. (2)画出圆台的轴截面，如图所示，延 长梯形两腰交于点V,O2,O1,O分别 是圆台上底面、截面和下底面的圆心， 0 VO2=h,02O=h1,01O=h2, 49π干元 h+h1W2π h201 h 0 (h,=4h, 则 所以 /49π (h2=2h, h+h+h2x 所以h1:h2=2:1,即圆台的高被截面分成的两部分的 比为2：1. 变式训练 2.解：如图，轴截面SAB,圆维SO的底面直 径为AB,SO为高，SA为母线，则∠ASO =30°.在Rt△SOA中，AO=SO·tan30 _25(cm). 3 SA=-SO c0s30 2=43(cm. 3 所以S△ASB= 50·2A0-4(cm2).所以园锥的母线 3 长为4 3 cm,圆维的轴藏面的面积为4y5cm 3cm2. [例3][解析](1)如图所示，设圆台 的上底面周长为ccm,由于扇形的圆 心角是180°，则c=x·SA=2πX10, 解得SA=20cm.同理可得SB= 40cm,所以AB=SB-SA=20cm. 所以S表=S侧十S上十S下=π×(10 01 +20)×20+元×102+x×202= 1100π(cm2). 18 (2)如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧 面展开图中A1M的长度. 0 设OB=1南器-产物得1=20m.所以 2π1 ∠A0A1=×30'=0,0A=0A,=0am.0M 30cm.在Rt△A1OM中，A1M=√OA+OM= √/402+302=50(cm). 所以绳子的最短长度为50cm. 如图所示，过O作OQ⊥A1M于Q,交孤BB1于P,则PQ 长为所求最短距离.因为OA1·OM=A1M·OQ,即40X 30=50×OQ,所以OQ=24cm,所以PQ=OQ-OP=OQ -OB=24-20=4(cm),即上底圆周上的，点到绳子的最 短距离为4cm. [答案](1)1100π(2)504 变式训练 3.解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然4 A'(A) 后展开成为平面图形一矩形，如 B B'(B) 图所示，连接AB,则AB即为蚂 蚁爬行的最短距离，AA'为底面圆的周长，∴.AA'=2π ×1=2元.又AB=A'B′=2，∴.AB'=√A'B+AA2= √4+(2x)2=2√十π2，即蚂蚁爬行的最短距离为 2√1+x2. 随堂步步夯实 1.C[①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能 得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法 正确.故说法正确的有2个.] 2.A[A正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面 积小于下底面的面积：B错误，矩形绕其对角线所在直线 旋转，不能围成圆柱；C错误，绕直角边所在直线旋转可 以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆 锥组成的组合体：D错误，圆台的上、下底面一定平行.] 3.解析：如图，OB1:OB=1：4, SB1:SB=1:4,即 SB-BB1=1 SB 4 :SB-10=1 SB=1,解得SB=4 3,故圆锥 的母钱长为智cm 答案号 cm 1 .55 4,解析：如图所示，EF=2×2x×受=2π(cm), “最短距离EG√52+（x)=/R+m). H 答案：号V+4 ·10 参考答案 5.解：当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为r, 则8=2,2r=8.S#我面=4X8=(cm)2.当以 π 8cm为母线长时，设圆柱底面半径为R,则2πR=4,2R= 失.S地而=8X4=2(cm)只，综上，间锥的轴藏面面 乡不 积为32 第二课时球 课前预习学案 情境引入 提示球面可以看作一个半圆围绕着它的直径所在的直 线旋转一周所形成的曲面，球是球面围成的几何体， 知识梳理 知识点一、3.圆面垂直√R2一r24.4πR2 [思考] 1.[提示]球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面 是曲面，是球的表面」 2.[提示]球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球 心到截面圆的距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则 有d=√R2-r产 3.[提示]长方体的体对角线等于其外接球的直径 预习自测 1.B[该旋转体形状为一个球体中挖去一个圆柱.] 2.B[作正方体的对角面，截面必过球心和球与正方体上、 下底面的切点，而与对角面中原正方体的两棱相离，故正 确答案为B.] 3解折：设球的丰径为R,则C=2R,R=会球的求面 积为S=4πR2=C 答案号 课堂互动学案 [例1]A[半圆孤以其直径所在直线为轴旋转一周所成 的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正 确；球面和球是两个不同的概念，故③错误；若球面上不 同的两，点恰好为最大的圆的直径的端，点，则过此两点的 大圆有无数个，故④错误，故选A.门] 变式训练 1.C[由球的结构特征知，②③正确，①④错误.] [例2][解]若两截面位于球心的同侧，如图所示的是经 过球心O的大圆截面，C,C1分别是两平行截面的圆心， B 设球的半径为R,截面圆的半径分别为r,1, 由元r=49π，得r1=7. 由πr2=400π，得r=20, 在Rt△OB1C1中，OC1=√R2-7=√R2-49, 在Rt△OBC中，OC=√R2-r2=√R2-400. 由题意可知OC1-OC=9,即√R2-49-√R2-400=9, 解此方程，取正值得R=25. 9