11.1.3 多面体与棱柱（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.1.3 多 课程标准 1.认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类. 2.认识和把握棱柱的几何结构特征，会求棱柱的表面积 课前⊙ [情境引入] 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着 空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大 小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来 的空间图形就叫作空间几何体。 [知识梳理] [知识点一]多面体 1.定义：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多 面体. 2.多面体中涉及的概念（如图所示） 顶点、D 棱 截面 面 D (1)多面体的面、棱与顶点：围成多面体的各个多边形 称为多面体的，相邻两个面的公共边称为多 面体的，棱与棱的公共点称为多面体的 (2)多面体的面对角线与体对角线：一个多面体中，连 接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的 棱，就称其为多面体的 ;连接不在同一面 上两个顶点的线段称为多面体的 …如上 图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD 是一条体对角线. (3)多面体的截面与表面积：一个几何体和一个平面 相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这 个几何体的一，如上图中多面体的一个截 面ACE. 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积 (或全面积). 3.凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如 果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的 多面体为 [知识点二]棱柱 1.棱柱的定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且 ,由这些面所围成的多面 体叫作 ·3 面体与棱柱 素养解读 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱 柱的结构特征，培养学生的数学抽象素养，提升 直观想象素养 预习学案 2.棱柱的相关概念 (1)棱柱的底面：棱柱中，两个互 相平行的面叫作棱柱的底 A BI 侧面 面，它们是全等的多边形. 底面 侧棱 (2)棱柱的侧面：除底面以外的 AB顶点 其余各面叫作棱柱的侧面，它们都是平行四边形 (3)棱柱的棱：两个面的公共边叫作棱柱的棱， (4)棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱. (5)棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的 顶点. (6)棱柱的对角线：棱柱中不在同一平面上的两个顶 点的连线叫作棱柱的对角线. (7)棱柱的对角面：过不相邻的两条侧棱的截面叫作 棱柱的对角面. 3.棱柱的表示方法：棱柱可以用底面上的顶点来表 示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示 的棱柱可表示为棱柱ABCDEF一A'B'C'D'E'F', 此棱柱也可表示为棱柱AC, 4.棱柱的高与侧面积：过棱柱一个底面上的任意一个 顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的 长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称 为棱柱的侧面积. 5.棱柱的分类： 〔按侧棱与（直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 棱柱{底面关系（斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 按底面的形状：三棱柱、四棱柱、五棱柱等 特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱， 6.平行六面体与直平行六面体：底面是平行四边形的 棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六 面体称为直平行六面体， ?思考按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六 面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所 构成的集合有怎样的关系？ [预习自测] 1.(多选题)棱柱的侧面都是 A.三角形 B.四边形 C.平行四边形 D.矩形 2.下列关于棱柱的说法中正确的是 ( A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不 是平行四边形 ● 课堂。 题型一对多面体概念的理解和应用 [例1]根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体 的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体： (2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个 面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相 似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的 腰延长后能相交于一点。 [思路点拨]根据多面体的概念求解， [尝试解答] 规律方法 紧扣多面体的定义，以形状，侧面及它们的位置关 系判断. ◇[变式训练] 1.如图所示为长方体ABCD-A'B'C'D',当用平面 BC℉E把这个长方体分成两部分后，各部分形成的 多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由：如果 是，指出底面及侧棱. 题型二 棱柱的结构特征 [例2]（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是 A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 ·3 第十一章立体几何初步 B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 3.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为 60cm,则每条侧棱长为 cm. 互动学案 汇思路点拨]概念辨析题常用方法：①利用常见 几何体举反例；②从底面多边形的形状、侧面形状 :及它们之间的位置关系，侧棱与底面的位置关系 等角度紧扣定义判断. [尝试解答】 规律方法 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是 棱柱的定义 ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平 行的面，其余各面都是四边形. ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是 否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物 模型、图片等不吻合，给予排除。 ⊙[变式训练] 2.(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是( A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每 相邻面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的 几何体一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面 题型三 直棱柱的有关计算 [例3]现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对 角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、 表面积. 汇思路点拔]直棱柱侧面积S为各侧面矩形面 积之和，S表=S一2S度； [尝试解答] 规律方法 棱柱侧面积、表面积求法技巧 多面体的侧面积是所有侧面的面积之和，表面积 是各个面的面积之和，计算面积时，需要将几何体 展开为平面图形求解. 数学B版·必修第四册 ◇[变式训练] 3.(1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5， 菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧 面积是 ( A.30√/34 B.60√34 C.30/34+135 D.135 (2)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩 形的长和宽分别为6cm,4cm,则该棱柱的侧面积 为 cm. 题型四侧面展开计算表面最短距离 [例4幻如图，在所有棱长均为1的直三 棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着 三棱柱的侧面爬行一周到达点A',求爬 行的最小距离. 汇思路点拨]九何体表面距离最短问题，常通过 展开侧面转化为计算平面内两点间的距离. 随堂。 1.下面没有体对角线的一种几何体是 A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 2.设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四 棱柱}，Q={正方体》，这些集合间的关系是( ) A.Q口NM2P B.Q2M2N▣P C.P2M口N2Q D.P2N M2Q 3.在如图所示的7个几何体中，有 个是 棱柱. ② ④ ⑤ ⑥ ⑦ 4.在棱长为a的正方体ABCD一AB,CD1中，M, N,P分别是正方形ABCD、正方形BB,C,C和正 方形ABB1A,的中心，则用过点M,V,P的平面截 正方体所得的截面面积为 [尝试解答] 规律方法 求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展 开图 (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题. 、 (3)结合已知条件求得结果， ◇[变式训练] 4.长方体AC1的长、宽、高分别为3,2,1，从A到C 沿长方体的表面的最短距离为 步步夯实 5.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将 容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中. (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成 不是矩形的平行四边形，对吗？ (2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为 棱台或棱锥，对吗？ (3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着 其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对 不对？ -©温蓉提 学习至此，请完成配套训练变式训练 1.解：①中几何体有6个顶，点，12条棱和8个三角形面； ②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面： ③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面： ④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面). [例2][解](1)有平面ADDA'与平面ABCD. (2)有平面ABBA',平面CDD'C'. (3)有平面ADDA'. (4)有平面ABBA',平面CDD'C',平面A'B'C'D'与平面 ABCD. (5)线段AA',BB,CC',DD' (6)线段AB,A'B',D'C',DC. (7)可用线段AA',BB',CC,DD来表示. (8)线段BD. 变式训练 2.解：(1)与AD平行的直线有BC,A1D1,B1C1,与AD异 面的直线有：A1B1,C1D1,BB1,CC. (2)直线AD∥平面BCC1B1,直线AD∥平面A1B1C1D1: (3)直线AD⊥平面ABB1A1,直线AD⊥平面CDDC1. (4)平面ADD1A1∥平面BCC1B1. [例3][解析]如图，在长方体 B 4 ABCD-A'B'C'D'中，AB=5cm, D BC=4cm,CC'=3cm,∴.长方体 C 的高为3cm;平面A'B'BA与平面 CDDC'之间的距离为4cm;,点AA 到平面BCC'B'的距离为5cm. [答案](1)3cm(2)4cm(3)5cm 变式训练 3.解：(1)点A'到平面B'BCC'的距离为A'B'=3cm. (2)直线A'D'与平面ABCD的距离为AA'=1cm. (3)平面ABB'A'与平面CDD'C'的距离为AD=2cm. 随堂步步夯实 1.C[直线1在平面a内表示为1二a,点A在平面a内，应 为A∈a.] 2.C[一个点运动也可以成曲线，故A错：在空间中，直线 平行移动可以形成平面或曲面，故B错：在空间中，矩形 上各，点沿铅垂线向上（或向下）移动相同距离所形成的几 何体是长方体，故D错.] 3.解析：直线BC与平面A1B1C1D1平行. 答案：BC∥平面A1B1CD1 4.解析：平面ABCD与平面A'B'CD'平行，平面ABBA'与 平面CDDC平行，平面ADDA'与平面BCC'B'平行，共 3对，与AA'垂直的平面是平面ABCD,平面A'B'C'D'. 答案：3平面ABCD,平面A'B'C'D 5.解：(1)Aa(2)l∩m=A(3)l∩a=P 11.1.3多面体与棱柱 课前预习学案 知识梳理 知识点一、2.(1)面棱顶点(2)面对角线体对角线 (3)一个截面3.凸多面体 知识点二、1.相邻两个四边形的公共边都互相平行棱柱 [思考] [提示]{正方体}二{正四棱柱}二{长方体}三{直平行 六面体}二{平行六面体二{四棱柱}. ·1 参考答案 预习自测 1.BC[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形，且都 是平行四边形.] 2.D[棱柱底面是平行四边形时为平行六面体，故A错； 当侧棱与底面垂直时，侧棱长可以作为棱柱的高，故B 错：长方体有3对互相平行的平面，故C错.门 3.解析：由已知，该棱柱为5棱柱，所以每条侧棱长为60÷5 =12(cm). 答案：12 课堂互动学案 [例1][解](1)是一个上、下底面为平行四边形，四个侧 面也是平行四边形的四棱柱（也称平行六面体）. (2)是一个六棱锥，其中六边形是底面，其余的三角形面 是侧面 (3)是一个三棱台，其中相似的两个三角形面为底面，其 余三个梯形面是侧面 变式训练 1.解：截面BCFE上方部分是棱柱BB'E一CCF,其中平面 BB'E和平面CCF是其底面，BC,B'C',EF是其侧棱.截 面BCFE下方部分是棱柱ABEA'-DCFD',其中平面 ABEA'和DCFD'是其底面，AD,BC,EF,A'D'是其侧棱 [例2][解析]A错误，棱柱的底面不一定是平行四边 形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的 定义易知：D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两 个棱柱，所以说法正确的是C,D. [答案]CD 变式训练 2.ABD[对于A、B、D,显然是正确的： 对于C,棱柱的定义是这样的；有两个 面互相平行，且该多面体的顶点都在 这两个面上，其余各面都是平行四边 A 形，这样的多面体叫做棱柱，显然题中 B 漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件， 因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体 就不是棱柱，所以C错误.] [例3]「解]如图，设底面对角线 AC=a,BD=b,交点为O, 体对角线A1C=15,B1D=9,.a2 +52=152,b2+52=92, .a2=200,b2=56. ,该直四棱柱的底面是菱形，∴AB= ()+() =Q2+2=200十56=64，.AB=8.直四棱柱的侧面积 4 S侧=4×8×5=160. S克=S%+SANCD+SAcn=160+2X号BD·AC- 160+40√7 变式训练 3.解析：(1)由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边 长为√（号）+（四）-号V3,则这个直枝柱的侧面积 3 为4x3y×5=0V风 (2)由题意知棱柱的侧面积 05 数学B版·必修第四册 S树=3×6×4=72(cm2). D D)e=----1 C B 答案：(1)A(2)72 [例4][解] 将三棱柱沿AA'展开，如图所示. A' B' C'D'(A') A B C D(A) 则线段AD'的长即为最小距离，最小距离为AD= √JAA+AD2=√12+32=√10. 变式训练 4.解析：结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的 长分别是√22+42=√20，√32+32=√/18=3√2， √52+1=√26，显然最小值为3√2 答案：3√瓦 随堂步步夯实 1.A[三棱柱只有面对角线，没有体对角线.] 2.D[正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱 柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因 此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面 垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P2N2M口Q.] 3.解析：①③⑤是棱柱. 答案：3 4.解析：依题意，M,N,P分别是正方形 D ABCD、正方形BB1C1C和正方形 ABB1A1的中心，即M,N,P分别为 AC,B1C,AB1的中点，所以用过点M、 N、P的平面截正方体所得的截面为 △ABC,如图所示，因为正方体的棱 长为a,所以△AB1C的边长为√2a,所以△AB1C的面积 s=9= 4 答案9 5.解：(1)不对：水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的 平行四边形. (2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多 时，可能是四棱柱，或五棱柱：但不可能是棱台和棱锥。 (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角 形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角 形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱， 但不可能是棱台. ·10 11.1.4棱锥与棱台 课前预习学案 情境引入 提示棱锥， 知识梳理 [思考] 1.[提示](1)正棱锥的侧棱都相等，底面是正多边形，侧 面是全等的等腰三角形：(2)正棱锥的高、侧棱和侧棱在 底面上的射影组成一个直角三角形，斜高、侧棱、底边的 一半组成一个直角三角形，高、斜高和斜高在底面上的射 影也组成一个直角三角形. 2.[提示]需具备两个特征：(1)上、下底面平行且相似； (2)侧棱延长线交于一点.二者缺一不可 3.[提示](1)正棱台的各侧棱都相等，侧面均为全等的等 腰梯形； (2)两底面及平行于底面的截面是相似正多边形； (3)两底面中心连线、对应的两底面内切圆半径、斜高组 成一个直角梯形：两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆 半径组成一个直角梯形：上下底面相应边长的一半，侧棱 和斜高也组成一个直角梯形， 预习自测 1.A[①错误，由五个面围成的多面体可能是三棱柱；②错 误，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱：③④错 误，棱台的侧棱延长线必须交于一点.故选A.] 2.D[对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误：对于②，由 棱台的定义可知只有当截面与底面平行时，棱锥底面与 截面之间的部分才是棱台，故错误；对于③，若三棱锥的 三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方 体中共，点的三个相邻平面，故正确；对于④，棱台的侧面 不一定是等腰梯形，故错误.故选D.] 3.解析：①正确，因为几何体有6个面，所以属于六面体的 范围：②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不 正确：③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱 柱：④⑤都正确，如图所示」 答案：①③④⑤ 课堂互动学案 [例1][解析](1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形， 但是各侧棱不一定相等，故①②不正确：棱台是由平行于 棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一 定交于一点，③正确：棱台的各条侧棱必须交于一点，故 ④错误. (2)必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截 面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相 似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是 否交于一点，故不能判定②正确：有两个面互相平行，其 余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不 正确. [答案](1)③(2)①②③ 6