10.3 第1课时 复数的三角形式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 ÷8+68阳226-2-2 1c=2. (2)方程为x2-2x十2=0，把1-i代入方程左边x2-2x +2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立. .1一i也是方程的一个根. 变式训练 4.解：设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得(x?十k.x +2)+(2x0+k)i=0. 由复数相等的条件得x十kx0十2=2.x0十k=0, 解得{0=2，或=一E, k=-22,k=22, 方程的实根为x=√2或x=一√2， 相应的k的值为k=一2√2或k=2√2. 随堂步步夯实 1D牛会得别+器-号+选n] 2.C[在等式iz=4十3i两边同时乘1得，一之=4i-3,所以 之=3一4i,故选C.] 3.解析：这=3·(1十i)2=-i×(2i)=2. 答案：2 2i 4.解析：=1+i…=2. 答案√2 5.解：(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-2+(-1+i)=1+1 -1+i=1+i. 2(+)+1+ （)+(停)月+ (+动1+-（)+（名9 1+5+1-3: 2 2 (3)(-2+3i)÷(1+2i)= -2+3i_(-2+3i)(1-2iù 1+2i (1+2i)(1-2i) 2+8+0i-专+ 12+22 (4)法一 3+2i3-2i 2-3i2+3i (3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i) (2-3i)(2+3i) 6+13i-6-6+13i+6=20=2i. 4+9 13 法二 3+213-25_i2-3iD--i(2+3D=i+i=2i. 2-3i2+3i2-3i 2+3i 10.3 复数的三角形式及其运算 第一课时复数的三角形式 课前预习学案 情境引入 提示复数的三角形式之=r(cos0+isin0)(r≥0)是解决问 题的桥梁」 知识梳理 知识点一、z|=√a2+b2r(cos0+isin0)辐角 知识点二、(1)2π(2)argx [思考] 1.[提示]复数三角形式中的日不一定是辐角主值，三角形 式不唯一 2.[提示]是.因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一 确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐 角主值相等 ·10 预习自测 1.C[因为复数1十i对应的点在第一象限，所以arg(1十i) 2.D[因为=2，所以60=号又=5-i时应的点在 第四象限，所以arg(5-i)= g,所以=6- (in) 3.解析：-2+2i=2√2，点(-2,2)在第二象限，又tan0= 1.arg(-2+2i)=3m 4 -2+2i=2(cos+isn7）) 答案：22(cos 4.解析：之=5 2+21 + 5.解：(1)x1=2· -·(os+isim）) 课堂互动学案 [例1][解](1)川-1+i=√2，又tan8=-1,点(-1,1) 在第二象限，所以arg(-1+） （2)15-i=2.又m0=9点6，-1D在第四象限， 所以arg(√5-iD=1l 61 变式训练 1.解：1)arg(2=受.(2)arg(-5)=元 3 (3)arg(-3i)=之元. [例2][解](1)由r≥0知，之1不是三角形式. (2)z2中cos0与sin0之间为减号，不是三角形式. (3)之3中正、余弦位置不对，不是三角形式 (4)之5中角不同不是三角形式. 变式训练 2.(1)不是(2)不是(3)不是(4)是 (5)不是(6)是 [例3][解]e1=1,arg1=argi=受， ·1=cos5+isim2。 lx2=-1)2+(W3)2=2,tam0=么=-5， 又Z(一1同在第二象限ag-, 变式训练 3.2(os警+in）2)2(o皆+isin号) (3)2(o7平+iain）(42(os誓+in)） 0 随堂步步夯实 1.D[&=(sim管+im）-ainm+icos5-E ×9+×(） 2.Ca>0时，之对应的点(-a,一a)在第三象限，tan0= 1.又9e[0,2x00=号] 3.解析：=巨(os子-isin于）=巨×cos音-i2× sin=1-i 答案：l-i 4解析：个-0则一g。-子 得=1+ 答案1+写 5解：4(o+in）4×(+)2+2. +i. (④3(os多x+in)=-3i 3 第二课时复数三角形式的乘除法 课前预习学案 情境引入 提示三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进行计 算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘法法则可使 运算简便. 知识梳理 1.r1r2[cos(01十2)+isin(0十2)]之12的模之1的辐角 与之2的辐角之和r22.r"[cos(0)+isin(n0)]模的n 次方复数辐角的n倍3.[cos(0,-2)+isin(a,- T2 02)门除以减去 [思考] 1.[提示]积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任 取一个，求和角，所有和角组成的集合，即为积的辐角的 集合，而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主 值和.rg（之122)=arg之1十arg2十2kr,其中整数k使 arg1十arg之2十2kx∈[0,2π). 2.「提示]复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋 转方向与角度取决于从另一复数的辐角集合中取出来的 值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小. 预习自测 1.C[按顺时针旋转90°，即将复数与一i相乘，∴.所求复数 为(a+bi)·(-i)=b-ai.] 2.B cos 20+isin 20 cos 20+isin 20 cos 0-isin a cos(-0Fisin(0)-cos 30+ isin 30. :<0<受3<0<l<30-2红<故本题 应选B.] ·10 参考答案 3.解析v(cosx+in) 5(osx+iim）3E(os平+isinx）=3 =-3-3i. 答案：-3一31 答案+ 5.解析：E(os子+isin)·(os夸+isim答)=5× [o(径+)+isn(经+)] 万(eos登+isim)】 答案(os登+in) 7x 课堂互动学案 [例1]解：(1)原式=2× 3o(停+音)+n(管+)门 6(og+isn）=3+3t (2)原式=3×2×10[c0s(20°+50°+80)+ isin(20°+50°+80)]=60(cos150°+isin150°) -30V5+30i. (a(-1+5(o要+im)] (os要+ian）【(os受+inm】 (肾+)十n(贤+门 (o号x+isin受）=i 变式训练 1.解：z2=2(cos150°-isin150°)=2[cos(-150)+isin(- 150)],.122=8×2[cos(240°-150)+isim(240° 150)]=16(cos90°+isin90)=16i. [例2] [解]÷[cs1o+im120] -i [分cas120+in120】 (cos270°+isin270)÷ [2cms120+isn120] =2[c0s(270°-120)+ isin(270°-120)]=2(cos150°+isin150) -√5+i 变式训练 2解：a4(o+in）产[(eo晋+in晋)] (传）+m(传)】 2(cos吾+isin）=2i (2):1+i=2(os号+isin等）-5+i 2(os爱+in语）1+i=(as受+in于) -1-i=(eos野+in要）-1+i第十章复数 10.3 复数的三角形式及其运算 第一课时复数的三角形式 课程标准 素养解读 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式 养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养：通 之间的关系. 过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学 2.会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角， 生的数学运算素养. 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.复数三角形式x=r(cos0+isin0)中0一 通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复 定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？ 数之有两种表示：一是代数表示，即之=a十bi(a,b∈ R);二是几何表示，复数x既可用点Z(a,b)表示，也 可用向量OZ表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘 方等问题中还是较为繁琐. 问题能否找到复数之的另一种表示，彻底解决复数 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的 的乘、除、乘方、开方等问题？ 充要条件吗？ [知识梳理] [预习自测] [知识点一]复数的三角形式 1.复数1+i的辐角主值为 般地，非零复数z=a十bi(a,b∈R)在复平面内对 应点Z(a,b),且r= ,0是以x轴正半轴为 A晋 B.晋 C. D. 始边，射线OZ为终边的一个角，则a=rcos0,b= 2.复数之=√3-i的三角形式为 rsin0,从而x=a十bi= ,上式的右边 A.coiin) 称为非零复数z=a十bi(a,b∈R)的三角形式（对应 地，a十bi称为复数的代数形式)，其中0称为之的 k2(cos-iin)】 复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦 c2(eos吾--isin】 前、加号连，否则不是三角形式. D2(og+iam） [知识点二]辐角与辐角主值 3.将复数化为三角形式：一2十2i (1)任何一个非零复数之的辐角有无数个，而且任意 两个辐角之间相差都是的整数倍，即辐角 4将复数=5(eos音+sin)化为代数形式 为0+2kπ(k∈Z). 为 (2)在[0,2x)内的辐角称为之的辐角主值，记作 5.将复数的代数形式化为三角形式. ·25· 数学B版·必修第四册 课堂。互动学亲 题型】 复数的辐角主值 ◇[变式训练] [例1]求下列复数的模和辐角主值。 2.判断下列复数是不是三角形式. (1)-1+i;(2)3-i. [思路点拨]之=a+bi=r(cos0平isin0),r是复 数的模，当0≤0<2π时，0的值为辐角主值，记作 (22(-eos营+isin: argz. (3sin苔-icos吾：(4eo(-)十isin(-晋)： [尝试解答] 规律方法 适合于[0,2π)的辐角的值叫做辐角主值，除0外 每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数 x对应的点Z(a,b)确定角所在的象限，由tan9= b确定在[0,2x)内的角0，即为arg之. ◇[变式训练] 题型”复数代数形式与三角形式的互化] 1.说出下列复数的辐角主值， [例3]把复数名=i,2=一1+√i分别表示为三角 (1)2i(2)-5(3)-3i 形式. [尝试解答] [思路点拨]之=a+bi(a,b∈R)=r(cos0+isin0), 题型二复数的三角形式的判断 注意0的范围 [例2]判断下列复数是否是三角形式. 规律方法 (1)x1=-2(cos0+isin0); 代数形式化为三角形式的步骤为： (2)=cos 0-isin 0; ①先求复数的模r=z:②确定Z(a,b)所在的象 (3)z3--sin 0++icos 0; 限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式 (4)x=cos60°+isin30°. 三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表 [思路点拨]之=a十i可以表示成之=r(cos0十 达式简单，常取辐角主值. isin),r≥0,0为辐角， ◇[变式训练] [尝试解答] 3.将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）. D2(cos号-isin号 (2)- 规律方法 os+ism 三角形式z=r(cos0+isin),需要的条件：①r≥ (82(sn+is) 0.②0前后一致，可取任意值.③cos0在前，sin0 在后.④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余 (4)2(-cos5+isin)月 弦前、加号连，此四个条件缺一不可. ·26· 第十章复数 随堂。步步夯实 1.复数=(sm+ics）化为代数形式为 5.把下列复数表示成代数形式 14(os登+isin)片月 A.+ (2(COs+isinr) 11 3 c告9 D是- 2.复数之=一a-ai(a>0)的辐角主值为 ( (43(cosx+isn2r A景 D.4 3.将复数=[o(-)+in()]化为代数 形式为 4若复数：满足=分8r®()=晋则 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 第二课时 复数三角形式的乘除法 课程标准 素养解读 从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算. 方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养， 2.掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点. 提升数学运算素养。 ● 课前。预习学案 [情境引入] 几何意义：设1，x对应的向量分别为OZ,OZ, 复数代数形式可进行加、减、乘、除四则运算. 将OZ,绕原点旋转0，再将OZ,的模变为原来的 问题三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数 形式的乘法法则得出？ 倍，如果所得向量为OZ,则OZ对应的复数即 为122： 2.复数的乘方 [r(cos 0+isin 0)]"= ,n∈N,即 复数n次幂的模等于 ,辐角等于 简记为：模数乘方，辐角n倍 [知识梳理] 3.复数三角形的除法 1.复数三角形式的乘法 设复数=r1(cos(十isin8),z2=r2(cos8+isin02), 设复数名=r(cosA+isin),z2=2(cos8+isin8,), 则立=(cos0,十isin0,) 则x之2=r(cos月，+isin8)·r2(cos0,+isin02) 22 r2(cos 02+isin 0, ,即由两个复数之， ,即由两个复数名1，x2(x2≠0)的三角形式 之2的三角形式可得之1之2的三角形式，之1的模乘以 可得的三角形式；之的模 的模等于 之2的模等于 是2122 的辐角. 的模，之1的辐角 的辐角是之的辐角。 简记为：模数相乘，辐角相加 简记为：模数相除，辐角相减 ·27·