10.3 第1课时 复数的三角形式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 10.3 复数的三角形式及其运算 第一课时复数的三角形式 课程标准 素养解读 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式 养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养；通 之间的关系， 过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学 2.会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角， 生的数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P25 [情境引入] [预习自测] 通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复 1.复数1+i的辐角主值为 数之有两种表示：一是代数表示，即之=a十bi(a,b∈ A否 B. c D R);二是几何表示，复数之既可用点Z(a,b)表示，也 解析：C[因为复数1十i对应的，点在第一象限，所 可用向量OZ表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘 以ag1+)=至] 方等问题中还是较为繁琐. 2.复数z=√5一i的三角形式为 问题能否找到复数之的另一种表示，彻底解决复数 的乘、除、乘方、开方等问题？ A.2 cos3 2x+isin 3 π 提示复数的三角形式x=r(cos0+isin0)(r≥0)是 5π -isin 5π 解决问题的桥梁。 B.2 cos3 3 [知识梳理] C.2cos 7π 6 -isin 6 知识点一]复数的三角形式 D.2 cos isin 1 一般地，非零复数x=a十bi(a,b∈R)在复平面内对 6 6 应点Z(a,b),且r=z=√a2十b,0是以x轴正半 解折：D[因为，=2，所以c0s0=5,又=5- 2 轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则a=rcos0, 对应的点在第四象限，所以arg(√3-i)=1r,所以 b=rsin0,从而x=a十bi=r(cos0+isin0),上式的 6 右边称为非零复数之=a十bi(a,b∈R)的三角形式 =-i=2(os+sn1g) (对应地，a+i称为复数的代数形式)，其中0称为 3.将复数化为三角形式：一2十2i= 之的辐角. 解析：一2十2i=2√2，点(-2,2)在第二象限，又 复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦 前、加号连，否则不是三角形式 tan0=-1,.arg(-2+2i)=3 [知识点二]辐角与辐角主值 -2+2i=2(co经+ism 4 (1)任何一个非零复数之的辐角有无数个，而且任意 两个辐角之间相差都是2元的整数倍，即辐角 答案：2(cos经+in 为0+2kπ(k∈Z). 4.将复数=5(cos+isin)化为代数形式 (2)在[0,2r)内的辐角称为之的辐角主值，记作arg之. 为 2思考1.复数三角形式x=r(cos0十isin0)中0一 解析：z=5 1 (2+21 5+ 2 定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？ [提示]复数三角形式中的日不一定是辐角主 答案：之= 5+ 2 值，三角形式不唯一. 5.将复数的代数形式化为三角形式。 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的 解：(1)x1=2· 充要条件吗？ +-2(晋+血 [提示]是.因为一个非零复数的模和辐角主值 2=1〔别 是唯一确定的，所以两个非零复数相等当且仅当 他们的模和辐角主值相等. 48· 第十章复数 课堂。互动学案 对应学生用书P26 题型一 复数的辐角主值 (2)2(-cos+isin)： [例1]求下列复数的模和辐角主值. 元 (1)-1+i:(2)5-i. (3)sin3 -icos; [思路点拨]x=a+bi=r(cos0+isin),r是复 (4)cos 数的模，当0≤0<2π时，0的值为辐角主值，记作 arg之 (5)- 3 cos 3 [解](1)川-1+i=√2，又tan0=-1,点(-1,1) (65(os+isn 7x 在第二象限，所以ag(一1+i)买 答案：(1)不是(2)不是(3)不是(4)是 2②-i=2.又1m0=9点5，-D在第 (5)不是(6)是 题型复数代数形式与三角形式的互化 四象限，所以arg(W5-i)=1 6 [例3] 把复数名，=i,2=一1十√3i分别表示为三角 规律方法 形式 适合于[0,2π)的辐角的值叫做辐角主值，除0外 []=1,argz=argi= 每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数 z对应的点Z(a,b)确定角所在的象限，由tan0= isn受 确定在[0,2x)内的角0，即为arg, a 1=√-1)2+(5)=2，tan0==-5,又 ◇[变式训练] 1.说出下列复数的辐角主值. 乙(-1，)在第二象限，g=管 (1)2i(2)-5(3)-3i 2cosisin 解：1)arg(2i)=受.(2)arg(-5)=元 思路点拨]=a千bi(a,bER)=r(cos0千isin0), (3)arg(-3i)= 2元 注意日的范围. 题型二复数的三角形式的判断 规律方法 代数形式化为三角形式的步骤为： [例2]判断下列复数是否是三角形式. ①先求复数的模r=|x|:②确定Z(a,b)所在的象 (1)a1=-2(cos0+isin0); 限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式. (2)z=cos 0-isin 0; 三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表 (3)z3=-sin 0++icos 0; 达式简单，常取辐角主值 (4)x=cos60°+isin30. ◇[变式训练] 汇思路点拔]之=a+bi可以表示成z=r(cos0+ 3.将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）： isin 6),r≥0,0为辐角. [解](1)由r≥0知，之1不是三角形式. (1D2(cos号-isin (2)z2中cos0与sin0之间为减号，不是三角形式 (3)中正、余弦位置不对，不是三角形式， (2)- (os+isin号 1 (4):中角不同不是三角形式. 3 规律方法 4 三角形式z=r(cos0十isin0),需要的条件：①r≥ (42(-cos吾+isin)月 0.②0前后一致，可取任意值.③cos0在前，sin0 在后.④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余 答案：a2(osF+in】 弦前、加号连，此四个条件缺一不可. ◇[变式训练] (2)2(os誓+isin号) (3)2cos 2.判断下列复数是不是三角形式 ·49· 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 对应学生用书P27 1.复数x=(sm+ics）化为代数形式为 4.若复数之满足 -as(-则= A+ 解析：令1=则=，arg。=子， c是 (os晋+n)-+由-}+ 解析：D [=3 sin 2x 3 √3sin 将=1+气 3 icos 答案，1+ 5.把下列复数表示成代数形式 2.复数x= a ai(a>0)的辐角主值为 4(os吾+isin) A至 B 11 11 (2)6 cosisin c n子r (w(osx+in： 解析：C[a>0时，之对应的点(-a,-a)在第三 (4)3(cos号x+isin 3 象限，tan0=1,又0c[0,2x),0=号x] 3.将复数=o()十isn()]化为代数 形式为 解析：x=巨(os-isin)=Xcos-i反 8)E(o子x+im子)×（号+别 Xsin=1-i 答案：1-i 课后。素养提升 对应学生课时P10 基础过关 解析：C [x=-sin100°+icos100°=cos(90°+ JI CHU GUO GUAN 100°)+isin(90°+100°)，故argz=190°.] 1.复数1 √化成三角形式，正确的是 3.两个复数名1之的模与辐角分别相等是名=之2成 A.2 () 立的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 c2(eos+iim) D.即不充分又不必要条件 解析：A[若1=2，则两复数的模相等，但辐角 不一定相等.] 4.若复数=(a十i)2的辐角是3，则实数a的值是 解析：C[|1一√i=2,又(1，一√5)在第四象限且 tan = ,放rg(一1+D-受所以化成三角 A.1 B.-1 C.-√2 D.-5 形式为2(cos+ism受）门 解析：B[复数之=(a十i)2=a2-1+2ai的辐角为 2.复数之=-sin100°+icos100的辐角主值是 受则：对应的点。-1,2a)在的直半轴上， A.80 B.100 C.190° D.260° ÷a=-1 ·50· 第十章复数 5.(多选题)下列复数不是三角形式的是 10.写出下列复数的三角形式。 A.5 cos 3元 isin4 (1)tan 0+i -isin年 解：(1)tan0+i= sin +i= cos 0 cos0-sin-i 4元 cosθ) D2(-cos吾+isn -dos(受-+isn(受小 解析：ABD[由复数三角形式的结构特征判断，A (2)-√3(sin0-icos0) 中角不同，B中是减号，D中c0s答前是负号，故A, =5·[os（g+0+isin(受+0] B,D都不是三角形式.门 11.已知复数之=2十3i,之是之的共轭复数，求复数 6.(多选题)设3+4i的辐角主值为0，则(3+4i)·i的 u=之一i这的辐角主值与模， 辐角可以是 解：，x=2+3i,.z=2-3i,.u=2十3i-i·(2 A+0 B受-0 3i)=2+3i-2i-3=-1+i,u对应的点为(-1， C.0- n.经0 1D在第二条限，又tam9=-1,agu=号，u 解析：AC [(3+4i)i=-4+3i=5· =|-1+il=√2. 能力提升 NENG LI TI SHENG -sin0,号=cos0 12.将复数1十√3i所表示的向量绕原点按逆时针方 向旋转日角(0<0<2π)所得的向量对应的复数为 ∴.5(-sin0+icos0) 一2，则0= 5·【eas(受++isin(受+0] 解折：arg1+i)=号arg(-2)=元，1十 :(3+4ii的辐商主值为受+故选A,C.] 2所以将1十所表示的递时针袋转0=三，所 1.1+8 1 的三角形式为 (要求辐角为辐角 得向量对应的复数为一2 主值). 答案号 解析： -1-i-1-③ -1十3i 4 44 13.求复数x=1十cos0+isin0(元<0<2π)的模与辐 (名9)o誓] 角主值， 解：=1+c9叶in0=1+(2o号-1+2i 答案：[os誓+sin】 sim号cos号-2os号oms号+isin号 ① 8.argicos) π<0<2π，.< 解析：=ios吾os吾>0.点（0，cos晋)在y轴 22 0∠0 正半轴，故arg(·os)-受 ①式右=-2s号e0s号in号 答案：号 =-2os引ms(x+号)]+isin(x+号) 9.(多空题)复数x=3√3十3i化为三角形式为 z1=r=-2c0s号， ,arg之 解析：z=6,之对应的点(35,3)在第一象限，tan0= ag=x+号+2kx(k∈Z, 3 arg=吾g=6cos+isin否 :<号<<x+号 22 答案：0os+isin看）音 0 arg之=元十 ·51·