10.2.2 复数的乘法和除法（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

3.解析：(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i= -a+(4b-3)i. 答案：-a十(4b-3)i 4.解析：点A,B,C对应的复数分别为1十3i,一i, 2+i, ∴A(1,3),B(0,-1),C(2,1),.BC=(2,2). 设D(x,y),则AD=(x-1,y-3).AD=BC, ∴(-1y3)=(2,2=解得=3， 1y-3=2, 1y=5. .点D表示的复数为3+5i. 答案：3十5i 5.解：设第四个顶点D对应的复数为x 十yi(x,y∈R),如图.则AD=OD OA=(xy)-(1,2)=(x-1,y-2), BC=OC-OB= (-1,-2)-(-2,1)=(1,-3). AD=BC, 一解释故友D对e的度数为2 10.2.2复数的乘法和除法 课前预习学案 情境引入 提示(a+b)(c+d)=ca+ad+bc+bd. 知识梳理 知识点一、(ac-bd)+(ad+bc)ia2+b2 知识点二之2刘11（22之3)1之2十之123 知识点三、分母实数化 [思考] [提示]在进行复数除法运算时，通常先把(a十bi)÷(c十 dD写成十i的形式，再把分子、分母同乘以分母的共轭复 c+di 数c一i,从而使分母实数化，化简得结果」 知识点四、(1)i -1-i1(2)0 预习自测 1.C[(1+i)2=2i为纯虚数知选C.] 2B[其把-1十时盒的点 的坐标为（一1,2），位于第二象限.] 3.C[(1+ai)i=i-a=3+i→a=-3.] 解析：+兽=十-2+十 21T52-i十5 5 =日++日+= .虚部为1. 答案：1 5.解析：i(2+3i)=2i+32=-3+2i. 答案：-3+2i 课堂互动学案 [例1][解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-2-1+i= 1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. 变式训练 1.解析：(1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-i=3+i. (2)(1十ai)(2+i)=2-a十(1+2a)i,要使复数为纯虚数， ·9 参考答案 所以有2-a=0,1+2a≠0，解得a=2. (3)(1+i)·7=(2i)2·(-i)=42(-i)=4i. 答案：(1)D(2)2(3)4i [例2】[解桥]1+牛-一3， 5 59 选D. 2 2·(1+i) (2)x=兰)：+D=1十i.故选D. .1 1+i 111 (3)“白0=)1+D=2+21 六其共能复数为日 又日在复平面内对应的点（宁，）在第回象限， 故选D. 内题意如1+作以帚D所 以之=1. [答案](1)D(2)D(3)D(4)A 变式训练 2.解析：(1)z(2-i)=11+7i, ·g=+i-+7)02+=15+25i=3+5i 2-i (2-i)(2+i) 5 (1+i)(4+3i)1+7i (2)法一：21D3 =1+7i)(1+3i) 10 =-2+i. 1+D(4+3=1+(4+31 法二：2-010 1-i2-i _i(4+3i)(2+i) =-3+4i)(2+i) 5 -10+5i =-2+i. 5 答案：(1)A(2)-2+i [例[解折]0)周秀：片=司十公 2i+2i=i,所以=√0+1严=1，故选C 2 (2)原式=（昌）100十了=X1+2++3=P+P=-】 -i. (3)设之=a十bi(a,b∈R),则之·i十2=(a十bi)·(a-bi) ·i+2=2+(a2+b2)i,故2=2a,a2+b2=2b,解得a=1, b=1.即之=1+i. [答案](1)C(2)-1-i(3)A 变式训练 3.解析：(1)设之=x十yi(.x,y∈R),则之=x-yi,所以之-22 =x+yi-2(x-yi)=-x+3yi,即-x+3yi=-1+3i,由 复数相等号{包.邻移仁所以=1+款 选A. 2:=222”+得=书书=2a+1-ai,若复 5a(2-i) 数之对应的点在复平面内位于第四象限， 则2a>0解得a>1,故选A 11-a<0, 答案：(1)A(2)A. [例4][解](1)因为1十i是方程x2+bx十c=0的根， ∴.(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0. 数学B版·必修第四册 ÷8+68阳226-2-2 1c=2. (2)方程为x2-2x十2=0，把1-i代入方程左边x2-2x +2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立. .1一i也是方程的一个根. 变式训练 4.解：设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得(x?十k.x +2)+(2x0+k)i=0. 由复数相等的条件得x十kx0十2=2.x0十k=0, 解得{0=2，或=一E, k=-22,k=22, 方程的实根为x=√2或x=一√2， 相应的k的值为k=一2√2或k=2√2. 随堂步步夯实 1D牛会得别+器-号+选n] 2.C[在等式iz=4十3i两边同时乘1得，一之=4i-3,所以 之=3一4i,故选C.] 3.解析：这=3·(1十i)2=-i×(2i)=2. 答案：2 2i 4.解析：=1+i…=2. 答案√2 5.解：(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-2+(-1+i)=1+1 -1+i=1+i. 2(+)+1+ （)+(停)月+ (+动1+-（)+（名9 1+5+1-3: 2 2 (3)(-2+3i)÷(1+2i)= -2+3i_(-2+3i)(1-2iù 1+2i (1+2i)(1-2i) 2+8+0i-专+ 12+22 (4)法一 3+2i3-2i 2-3i2+3i (3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i) (2-3i)(2+3i) 6+13i-6-6+13i+6=20=2i. 4+9 13 法二 3+213-25_i2-3iD--i(2+3D=i+i=2i. 2-3i2+3i2-3i 2+3i 10.3 复数的三角形式及其运算 第一课时复数的三角形式 课前预习学案 情境引入 提示复数的三角形式之=r(cos0+isin0)(r≥0)是解决问 题的桥梁」 知识梳理 知识点一、z|=√a2+b2r(cos0+isin0)辐角 知识点二、(1)2π(2)argx [思考] 1.[提示]复数三角形式中的日不一定是辐角主值，三角形 式不唯一 2.[提示]是.因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一 确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐 角主值相等 ·10 预习自测 1.C[因为复数1十i对应的点在第一象限，所以arg(1十i) 2.D[因为=2，所以60=号又=5-i时应的点在 第四象限，所以arg(5-i)= g,所以=6- (in) 3.解析：-2+2i=2√2，点(-2,2)在第二象限，又tan0= 1.arg(-2+2i)=3m 4 -2+2i=2(cos+isn7）) 答案：22(cos 4.解析：之=5 2+21 + 5.解：(1)x1=2· -·(os+isim）) 课堂互动学案 [例1][解](1)川-1+i=√2，又tan8=-1,点(-1,1) 在第二象限，所以arg(-1+） （2)15-i=2.又m0=9点6，-1D在第四象限， 所以arg(√5-iD=1l 61 变式训练 1.解：1)arg(2=受.(2)arg(-5)=元 3 (3)arg(-3i)=之元. [例2][解](1)由r≥0知，之1不是三角形式. (2)z2中cos0与sin0之间为减号，不是三角形式. (3)之3中正、余弦位置不对，不是三角形式 (4)之5中角不同不是三角形式. 变式训练 2.(1)不是(2)不是(3)不是(4)是 (5)不是(6)是 [例3][解]e1=1,arg1=argi=受， ·1=cos5+isim2。 lx2=-1)2+(W3)2=2,tam0=么=-5， 又Z(一1同在第二象限ag-, 变式训练 3.2(os警+in）2)2(o皆+isin号) (3)2(o7平+iain）(42(os誓+in)） 0数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 --● 1.若复数之满足之十i一3=3一i,则x等于 5.已知复数1=1+2i,之2=-2十i,=-1一2i,它 A.0 B.2i 们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三 C.6 D.6-2i 个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点D对 2.复数1=3十i,之2=2十i,则x1十x2在复平面内表 应的复数 示的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 3.(a+bi)-(2a-3bi)-3i= (a,b∈R). 4.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1十3i, C温馨提 -i,2+i,若AD=BC,则点D表示的复数是 学习至此，请完成配套训练 10.2.2 复数的乘法和除法 课程标准 素养解读 通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及 乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养。 课前。预习学案 [情境引入] [知识点三]复数的除法 两个实数的积、商是一个实数.那么两个复数的积、 复数除法的实质就是分母实数化的过程.这与实数 商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算.才能 的除法有所不同. 使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规 设x1=a十bi,x2=c十di(c十di≠0)， 定相容？复数的加减运算把ⅰ看作一个字母.相当 则= atbi (a+bi)(c-di) = actbd 于多项式的合并同类项.那么复数乘法是否可以像 22 c+di (c+di)(c一di) c2+d2 多项式乘法那样进行呢？ bc-ad, 问题多项式(a+b)(c十d)的运算结果是什么？ c2+d1 复数的除法的实质是 若分母为a十bi型， 则分子、分母同乘a一bi;若分母为a一bi型，则分 子、分母同乘a+bi. 口思考 怎样进行复数的除法运算 [知识梳理] [知识点一]复数的乘法法则 设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个 复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi +bdi?= 之1·之1=名112=|12= [知识点二]复数乘法的运算律 [知识点四]虚数单位ⅰ的运算性质 对于任意名1，之2，∈C,有交换律：名1之2= （1)+1 ,净n+2= ,i+3 ,in= 结合律：(312)之3= ∈N"). 乘法对加法的分配律：2(x2十3)= (2)”+i+1++2++3= (n∈N*). ·22· 第十章复数 [预习自测] 3.(2021·浙江卷)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚 1.下列各式的运算结果为纯虚数的是 数单位)，则a= ( A.i(1+i)2 B.(1-i) A.-1 B.1 C.(1+i)2 D.i(1+i) C.-3 D.3 2.在复平面内，复数引的对应点位于 4设复数，=2-1=1一31，则复数子+号的虚都 21 A.第一象限 B.第二象限 等于 C.第三象限 D.第四象限 5.计算：i(2+3i)= 课堂。互动学案 题型一 复数代数形式的乘法运算 (3)在复平面内，复数二的共轭复数对应的点位 [例1 计算下列各题： 于 ( (1)(1-i)(1+i)+(-1+i): A.第一象限 B.第二象限 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. C.第三象限 D第四象限 [思路点拨]复数的乘法可以类比多项式乘法， 遇到要换成一1 (4设复数：满足 =i,则x= [尝试解答] A.1 B.√2 C.√3 D.2 汇思路点拨了遇到复数的除法，分子、分母要同乘 分母的共轭复数，把除法转化成乘法处理】 规律方法 [尝试解答](1) (2) 复数的乘法（乘方）按多项式的乘法展开，再将” (3) (4) 化简。 规律方法 注意应用公式(1)(a+bi)2=a2-b+2abi(a,b∈R). 两个复数代数形式的除法运算步骤 (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a;bER). (1)首先将除式写为分式； (3)(1±i)2=±2i. (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ◇[变式训练] (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其 1.(1)(1+i)(2-i)= 化为复数的代数形式。 A.-3-i B.-3+i ◇[变式训练] C.3-i D.3+i 2.(1)若复数x满足z(2-i)=11十7i(i是虚数单 (2)若复数(1十ai)(2+i)是纯虚数，则实数a= 位)，则之为 A.3+5i B.3-5i (3)(1+i)4·7= C.-3+5i D.-3-5i 题型 复数的除法运算 (2)计算+i)(4+3D (2-i)(1-i) [例2] a器 题型三 复数的综合运算 4 k-告+ [例3] (1)设x= +2,则1= 34 c.-5-5 D.-3+5 3+4: A.0 B号 (2)(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1 C.1 D.√2 i)z=2,则之= ( A.2+i B.-2-i (2设i是虚数单位，（二）+告)= C.1-i D.1+i ·23· 数学B版·必修第四册 (3)设i是虚数单位，之是复数之的共轭复数.若之· (1)求b,c的值； i+2=2x,则x= ( (2)试判断1一i是否是方程的根. A.1+i B.1-i [思路点拨了“1十i是方程的根，则代入方程成 C.-1+i D.-1-i 立，可通过复数相等求出b,c,然后再验证1一i是 汇思路点拨“审清题意，利用复数的运算性质 否为方程的根。 求解。 [尝试解答] [尝试解答](1) (2) (3) 规律方法 1.复数的混合运算，一般先算乘方，再算除乘，最 后算加减，有括号先运算括号 2.对于不能直接求解的，设x=a十bi,利用复数相 等求a,b. 规律方法 3.注意整体结果的运用， 解决复数方程问题的方法 ◇[变式训练] 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的 3.(1)已知i是虚数单位，满足之一2z=一1+3i,则 充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数 2= ( 的关系仍适用.但判别式“4”不再适用. A.1+i B.1-i ◇[变式训练] C.1+2i D.1-2i 4.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2十bi=0有实 (2)已知复数=升+告a∈R,若复数对应 根，求这个实根及实数k的值. 的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范 围是 ( ) A.a>1 B.a<0 C.0<a<1 D.a<1 题型四 复数范围内解方程 [例4]已知1+i是方程x2+bx十c=0的一个根 (b,c为实数) 随堂。步步夯实 1多 (3)(-2+3i)÷(1+2i); -高 c.- 2.(2021·全国乙卷)设ix=4+3i,则z= A.-3-41 B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 3.z=i·(1+i)2= 4.复数之满足x(1十i)=2i,则x= 5.计算： (1)(1+i)(1-i)+(-1+i); 2)+a-: C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·24·