10.2.2 复数的乘法和除法（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十章复数 10.2.2 复数的乘法和除法 课程标准 素养解读 通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法 学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养. 课前。预习学案 对应学生用书P22 [情境引入] [知识点四]虚数单位ⅰ的运算性质 两个实数的积、商是一个实数.那么两个复数的积、 (1)ia+1=i,i+2=-1,ia+s=i,i0=1(n∈N). 商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算.才能 (2)i+i+1++2+i+3=0(n∈N*). 使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规 定相容？复数的加减运算把ⅰ看作一个字母.相当 [预习自测] 于多项式的合并同类项.那么复数乘法是否可以像 1.下列各式的运算结果为纯虚数的是 多项式乘法那样进行呢？ A.i(1+i)2 B.2(1-i) 问题多项式(a十b)(c+d)的运算结果是什么？ C.(1+i)2 D.i(1+i) 提示(a+b)(c十d)=ca+ad+bc+bd. 解析：C[(1十i)=2i为纯虚数知选C.] [知识梳理] [知识点一]复数的乘法法则 2在复平面内，复数，的对应点位于 设名1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个 A.第一象限 B.第二象限 复数，那么它们的积(a十bi)(c+di)=ac+bci+adi +bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i. C第三象限 D.第四象限 x1·1=|x112=|x112=a2+b2. 51 5i(2+i) 解析：B (2-i)(2+i) 5i(2+i0=-1+ 5 [知识点二]复数乘法的运算律 [2 对于任意之1，之2，名∈C,有交换律：名122=之221， 2i,对应的点的坐标为（一1,2），位于第二象限.] 结合律：(122)z3=名（2223）， 3.(2021·浙江卷)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚 乘法对加法的分配律：之1（之2十之3）=之1之2十2123· 数单位)，则a= [知识点三]复数的除法 A.-1 B.1 复数除法的实质就是分母实数化的过程.这与实数 的除法有所不同. C.-3 D.3 设x1=a十bi,之2=c十di(c十di≠0)， 解析：C[(1+ai)i=i-a=3+i→a=-3.] 则立= atbi (a+bi)(c-di) ac+bd 2 c+di (c+di)(c-di) c2+d2 × 4.设复数名=2-。=1-31，则复数十号的虚部 bc-ad. 等于 c2+d2 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi 解折：1+=后+ii2+日+ 2152-i 5 5 型，则分子、分母同乘a一bi;若分母为a一bi型，则 分子、分母同乘a十bi. ?思考怎样进行复数的除法运算 .虚部为1. [提示]在进行复数除法运算时，通常先把(a十bi) 答案：1 ÷(c十di)写成a十i的形式，再把分子、分母同乘以 c+di 5.计算：i(2+3i)= 分母的共轭复数c一di,从而使分母实数化，化简得 解析：i(2+3i)=2i+3i=-3+2i. 结果 答案：-3+2i ·43· 数学B版·必修第四册 课堂。互动学案 对应学生用书P23 题型一复数代数形式的乘法运算 (3)在复平面内，复数 一的共轭复数对应的点位 [例1]计算下列各题： 于 (1)(1-i)(1+i)+(-1+i); A.第一象限 B.第二象限 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. C.第三象限 D.第四象限 [思路点拨]“复数的乘法可以类比多项式乘法， 遇到要换成-1. 《④设复数：满足中兰则 A.1 B.√2 [解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1--1+i C.5 D.2 =1+i. 汇思路点拔]遇到复数的除法，分子、分母要同乘 (2)(2一i)(-1+5i)(3-4i)+2i 分母的共轭复数，把除法转化成乘法处理 =(-2+10i+i-52)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i [解析] (1):1+2=1+2D2-3+4i 1-2i 5 5 =(9-12i+33i-44i)+2i 选D. =53+21i+2i=53+23i. (2)z 2·(1+i) 规律方法 1=i(1-i)·(1+i)=1+i故选D. 1+i 复数的乘法（乘方）按多项式的乘法展开，再将” (3),1 1-i a市+ 化简 注意应用公式(1)(a十bi)2=a2-b+2abi(a,b∈R). :北关轭复数为了一， (2)(a+bi)(a-bi)=a2+62(a,bER). 又号子在复平面内对应的点（日，名》在第四 (3)(1±i)2=±2i. 象限，故选D. ◇[变式训练] (④)由题意知1十之=i一i,所以之=异 i-1 1.(1)(1+i)(2-i)= A.-3-i (i-1)2 B.-3+i +1D(行1D=i,所以=1. C.3-i D.3+i [答案](1)D(2)D(3)D(4)A (2)若复数(1十ai)(2十i)是纯虚数，则实数a= 规律方法 两个复数代数形式的除法运算步骤 (3)(1+i)·i7= (1)首先将除式写为分式； 解析：(1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-=3+i. (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数： (2)(1+ai)(2+i)=2-a十(1十2a)i,要使复数为 (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其 纯虚数，所以有2-a=0,1十2a≠0，解得a=2. 化为复数的代数形式. (3)(1+i)·7=(2i)2·(-i)=4i(-i)=4i. ◇[变式训练] 答案：(1)D(2)2(3)4i 2.(1)若复数之满足之(2一i)=11+7i(i是虚数单 位)，则x为 题型 复数的除法运算 A.3+5i B.3-5i D.-3-5i [例2] C.-3+5i A多 B告+ （2计算部 解析：(1)，z(2-i)=11+7i, c.-号 3-4 n =1+i-+7)2+0=15+25i=3+5i 2-i(2-i)(2+i) 5 (2)(2021·北京卷)在复平面内，复数之满足(1 (1+i)(4+3i)1+7i i)z=2,则z= (2)法一：2-i)1-D 1-3i ( =(1+7i)(1+3i) A.2+i B.-2-i 10 C.1-i D.1+i =-2+i. ·44· 第十章复数 法二：20 (1+i)(4+3i) =告) 解析：(1)设之=x+yi(x,y∈R),则=x一yi,所 以之-2z=x十yi-2(x-yi)=-x+3yi,即-x+ i(4+3i)(2+i) 5 3i=-1十3，由复敦相等得{一1'解得 3y=3, (-3+4i)(2+i)_-10+5i =-2+i. =1所以之=1十i,故选A. 答案：(1)A(2)-2+i y=1, 题型 复数的综合运算 (2)之= 5a(2-i) (1+i)(1+i) (2+i)(2-i) +0-D1+ = 2a+ [例3] (1)设x= 1二+2i,则z= (1一a)i,若复数之对应的点在复平面内位于第四 1+i 象限， A.0 B号 则/2a>0, C.1 D.√2 1-a<0, 解得a>1,故选A. 答案：(1)A(2)A, (2)设i是定数单位，（）+（告）= 题型四 复数范围内解方程 [例4]已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根 (3)设i是虚数单位，之是复数z的共轭复数.若？· (b,c为实数). zi十2=2x,则之= (1)求b,c的值： A.1+i B.1-i (2)试判断1一i是否是方程的根， C.-1+i D.-1-i [思路点拨]1十i是方程的根，则代入方程成 汇思路点拨审清题意，利用复数的运算性质 立，可通过复数相等求出b,c,然后再验证1一i是 求解 否为方程的根. [解析] (1)因为之= 1-1 (1-i)2 1+i 2i=0+)1-iD +2i [解](1)因为1十i是方程x2+bx+c=0的根， .(1+i)2+b(1+i)+c=0, 2i+2=i,所以z=√0+下=1，故选C. 即(b+c)+(2+b)i=0. (2)原式=（方）十=4+=+ +c=0得2， …{2+b=0,{c=2. -1-i. .b=-2,c=2. (3)设2=a十bi(a,b∈R),则x·zi+2=(a+bi)· (2)方程为x2一2x十2=0，把1一i代入方程左边 (a-bi)·i+2=2+(a2十b2)i,故2=2a,a2+b2= x2-2x十2=(1-i)2一2(1一i)十2=0，显然方程 2b,解得a=1,b=1.即x=1+i. 成立 [答案](1)C(2)-1-i(3)A 1一i也是方程的一个根。 规律方法 规律方法 1.复数的混合运算，一般先算乘方，再算除乘，最 解决复数方程问题的方法 后算加减，有括号先运算括号 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的 2.对于不能直接求解的，设x=a十bi,利用复数相 等求a,b. 充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数 3.注意整体结果的运用 的关系仍适用.但判别式“△”不再适用. ◇[变式训练] ◇[变式训练] 3.(1)已知i是虚数单位，满足x-2z=一1十3i,则 4.已知关于x的方程x2+(k+2i)x十2+ki=0有实 义= 根，求这个实根及实数k的值 A.1+i B.1-i 解：设x=2。是方程的实根，代入方程并整理得 C.1+2i D.1-2i (z十kx十2)十(2a。+k)i=0. 5a41+i (2)已知复数一2兴十a∈R,若复数x对应 由复数相等的条件得x号十kxw十2=22十k=0, 的点在复平面内位于第四象限，则实数α的取值范 解得{。=B或，=E, 围是 ( {k=-22,(k=22, A.a>1 B.a<0 ∴方程的实根为x=√2或x=一√2， C.0<a<1 D.a<1 相应的k的值为k=一2√2或k=2√2. ·45· 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 对应学生用书P24 1 ( (4)3+23-2 2-3i2+3i 解：(1)(1+)(1-i)+(-1+i)=1-+(-1+i) =1+1-1+i=1+i. n-号+ 2(+)+小+ 解析：D 1+2)1+2)=- (1-2i)(1+2i) [()+( 1+i)= 选D.] 2.(2021·全国乙卷)设ix=4+3i,则x= ( 〔++)-（)是 A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 9+1 解析：C[在等式iz=4十3i两边同时乘i得，一之 （3)(-2+3i)÷(1+2i)=+2 -2+3i =4i一3，所以之=3一4i,故选C.] 3.z=i·(1十i)2= 。 解析：之=·(1十i)2=-i×(2i)=2. -2+30-2=-2+6+8+i=专十 (1+2i)(1-2i) 1+2 答案：2 4.复数之满足之(1+i)=2i,则|x= 名i 解标：头-1十i1-E (4)法一 3+2i3-2i 2-3i2+3i 答案：√2 (3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i) (2-3i)(2+3i) 5.计算： 6+13i-6-6+13i+6-26i=2i. (1)(1+i)(1-i)+(-1+i): 4+9 13 2+)+- 法二 3+2i3-2i_i(2-3i) 2-3i2+3i2-31 -i(2+3i)=i+i 2+3i (3)(-2+3i)÷(1+2i); =2i. 课后。素养提升 对应学生课时P9 基础过关 2-i JI CHU GUO GUAN 3.(2021·新高考Ⅱ卷)复数 1-3i 在复平面内对应的 1.(2021·新高考I卷)已知x=2-i,则z(2十i)= 点所在的象限为 ( ( A.第一象限 B.第二象限 A.6-2i B.4-2i C.第三象限 D.第四象限 C.6+2i D.4+2i 解析：A[考查复数的四则运算和复平面内点的 解析：C[z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+ 2i)=4+4i-2i-22=6+2i,故答案选C. 对应关系，属于简单题. 2-i_(2-i0(1+3iD 1-3i 1-(3i)2 2.在复平面内，复数2士3（是虚数单位）所对应的 3-4i 5+5i- 10 点位于 A.第一象限 B.第二象限 象限.] C.第三象限 D.第四象限 4.在复平面内，复数市十(1十)对应的点位于 1 解析：B32=二2十33十4二18 5 侣+日这敏2对应的点位子第二 A.第一象限 B.第二象限 5 C.第三象限 D.第四象限 象限.] ·46· 第十章复数 解析：B[复数中十(1+)2=中+1+2 解：(1)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+23i. 2 (2)原式= (-1+5i)322+i 3=- +（合+2 (2i)3 1+2i 2 ）3 i(2i+1) 1+2i =i-i=0. 因为复数一 11.试分析方程x2-(4-一2i)x+3-2i=0是否有实数 (+2故在第二象服] 根？并解方程。 解：设x。是方程x2一(4一2i)x十3-2i=0的实数 5.(2021·全国乙卷)设2(x+)+3(x-)=4+6i, 根，则x8-(4-2i)x,十3-2i=0, 则z= ( 即(a-4x。+3)+(2。一2)i=0, A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i -4,+3=0, (2z。-2=0. 解析：C[设之=a+bi,则z=a一bi,代入得4a十 解得x,=1.∴.方程x2-(4-2i)x十3-2i=0有 6bi=4+6i得a=1,b=1,∴.之=1十i.] 实数根. 6.复数x满足(1+2i)z=4+3i,那么x= ( 由根与系数的关系得方程的两根分别为1,3一2i A.2+i B.2-i 能力提升 NENG LI TI SHENG C.1+2i D.1-2i 12.已知x=1十2i是方程x2一m.十2n=0的一个根 架折：A[:件-得+9二别-君a0 (m,n∈R),则m十n= 解析：把x=1十2i代入x2一mz+2n=0中，得(1 -5i)=2-i,.x=2+i.] +2i)2-m(1+2i)+2n=0,即1-4+4i-m-2mi 7.若x1=(cosa+isin a),z2=cos+isin3(a,3∈R), 十2n=0,整理得(2n-m-3)十(4-2m)i=0,根 则之1·2的实部、虚部分别为 和 据复数相等的充要条件，得2m一3=0·解行 14-2m=0, 解析：z1·z2=(cosa十isin a)(cosB+isin3)= m=2,n cos a cos B+icos asin B+isin acos B+isin asin B= 号m十= (cos acos B-sin asin B)++i(cos asin B+sin acos B) 答案号 =cos(a+B)+isin (a+3), 13.复数之满足之·之+2这=3+ai(a∈R),且其所对 .1·之2的实部为cos(a十3)，虚部为sin(a十3). 应的点在第二象限，求a的取值范围. 答案：cos(a十B)sin(a+) 解：设z=x十yi(x,y∈R),由题意知x<0且y> 8.(2021·天津卷)i是虚数单位，复数)土2 0,由x·z+2iz=3+ai(a∈R), 2+i y2+2i(z-yi)=3+ai. +y+2y=3,0 :g2+2i（9+202-D-20-从 2x=a. ② (2+i)(2-i) 5 答案：4-i 由@式得x=号，将其代入①式得)+2y十年-3 定义运-d-c若复数x品y =0.③ 由yR知4=4-4（-3）≥0， ,y= ,-4≤a≤4.④ 解析：因为片-1 2 =一i,则x=1,所 此时y=一1士 a 4-.y>0,y=-1+ 以臣，-臣=6-1x=-2 4->0,4>1 答案：1一2 .-2√3<a<2√5.⑤ 10.计算： (1)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 再由x=号<0，得a<0.⑤ (2)-1+8i) -2+i 综合④⑤⑥三式得a的取值范围是一2√<a (1+i)° 1+2i <0. ·47·