10.2.1 复数的加法与减法（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 课程标准 素养解读 通过复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、 减法的几何意义 养，通过运用复数加、减运算法则，培养数学运 算素养. 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二] 复数的减法法则 乘飞机从上海到香港约 1.运算法则 2.5小时，从香港到台北约4小 复数的减法是 的逆运算； 时.因此从上海经香港转航到 台北约6.5小时.在两岸同胞 设z1=a十bi,之2=c十di是任意两 0 图(2) 的共同努力下，现在实现两岸 个复数，则(a+bi)一(c十di)= 直航，上海到台北只需约1.5 ,两个复数的差是一个确定的 小时.比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少 体现了实数集内的代数运算 2.复数减法的几何意义 问题复数集内可进行复数的四则运算吗？ 如图(2)，复数名1一之2是从向量OZ,的终点指向向 量OZ的终点的向量Z2Z所对应的复数， [预习自测] 1.计算(3+i)-(2+i)的结果为 [知识梳理] A.5+2i B.-i [知识点一]复数的加法法则 1.运算法则 C.1 D.1-i 设1=a十bi,x2=c十di是任意两个复数，那么(a 2.已知i是虚数单位，复数x1=一3十2i,之2=1一4i. +bi)+(c+di)= i,两个复数的和仍 则复数之=x1十之2在复平面内对应的点位于 然是一个确定的 2.复数加法的几何意义如图(1)， 复数之1+x2是以OZ,OZ2为 A.第一象限 B.第二象限 邻边的平行四边形的对角线 C.第三象限 D.第四象限 OZ所对应的复数. 0 3.在复平面内，复数1+i和1+3i分别对应向量OA 3.加法运算律 图(1) 和OB,其中O为坐标原点，则AB1= ( 对任意1，之2，之3∈C,有之1十22 ,(之1+22) 十3= A.√2 B.2 2思考 复数加法应注意什么？ C.√10 D.4 4.已知z=3,且x十3i是纯虚数，则x= 5.已知x1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),2=(4y -2x)-(5a+3y)i(x,y∈R).设z=z1-22,且之= 13一2i,则之1= 20· 第十章复数 课堂。互动学案 题型一 复数的加、减运算 规律方法 [例1](1)计算：(2-3i)+(-4+2i)= 复数之与复平面内的向量OZ是一一对应的关系，复 (2)已知1=(3x-4y)+(y-2.x)i,之2=（一2x+ 数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加 y)十(x一3y)i,x,y为实数，若1一2=5-3i,则 法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则。 名1十之2 类比实数减法的意义.复数的减法也是加法的逆 运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数 [思路点拨]若x1=a十bi,x2=c十di,(a,b,c,d 若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则 ∈R).则之1+之2=(a十c)十(b十d)i, d=Z1Z2=|名1一之2，其中名1,2是复平面内的 31-2=（a-c)+(b-d)i. 两点Z,乙，对应的复数.这就是复平面内两点间 [尝试解答] (1) (2) 的距离公式： 规律方法 ⊙[变式训练] 复数代数形式的加、减法运算技巧 2.(1)已知复平面内的平面向量OA,AB表示的复数 L.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部 分别是-2+i,3+2i,则|OB 与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作 (2)若名=2十i,名=3十ai,复数x2一名所对应的点在 为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数 第四象限上，则实数a的取值范围是 的实部与虚部. 题型复数加、减法及几何意艾的综合应用 2.算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再 [例3](1)如果复数之满足|之+i+|之一i=2,那 确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚 么|之十i+1的最小值是 部与虚部分别相加减」 3.复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括 A.1 B号 号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算。 C.2 D.√5 ⊙[变式训练] (2)若复数之满足|之十√5+i≤1，求|之的最大值 1.(1)计算(2+4i)+(3-4i): 最小值 (2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i). [思路点拨]审清题意，正确画出图形，以形助数， [尝试解答] (1) (2) 题型二复数加、减法的几何意艾 规律方法 [例2]在复平面内，已知平行四边形OABC的三个 (1)设出复数x=x+yi(x,y∈R),利用复数相等 顶点O,A,C对应的复数分别为0,2十4i,3 或模的概念，可把条件转化为x,y满足的关系 3i.求： 式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数 化”思想的应用 (1)向量CO对应的复数； (2)在复平面内，之1，之2对应的点为A,B,之1+之2 (2)向量AC对应的复数： 对应的点为C,O为坐标原点，则四边形OACB: (3)点B对应的复数， ①为平行四边形；②若|之1十x2=之1一2|，则四 汇思路点拨了“明确向量运算与复数运算的关系， 边形OACB为矩形；③若|x1=|之2|，则四边形 先求向量再计算利用复数 OACB为菱形；④若|1|=|之2|且|1十2= [尝试解答] 名1一2，则四边形OACB为正方形. ⊙[变式训练] 3.设复数z=a十bi(a,b∈R),1≤|z≤2，则|x+1的 取值范围是 21· 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 --● 1.若复数之满足之十i一3=3一i,则x等于 5.已知复数1=1+2i,之2=-2十i,=-1一2i,它 A.0 B.2i 们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三 C.6 D.6-2i 个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点D对 2.复数1=3十i,之2=2十i,则x1十x2在复平面内表 应的复数 示的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 3.(a+bi)-(2a-3bi)-3i= (a,b∈R). 4.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1十3i, C温馨提 -i,2+i,若AD=BC,则点D表示的复数是 学习至此，请完成配套训练 10.2.2 复数的乘法和除法 课程标准 素养解读 通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及 乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养。 课前。预习学案 [情境引入] [知识点三]复数的除法 两个实数的积、商是一个实数.那么两个复数的积、 复数除法的实质就是分母实数化的过程.这与实数 商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算.才能 的除法有所不同. 使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规 设x1=a十bi,x2=c十di(c十di≠0)， 定相容？复数的加减运算把ⅰ看作一个字母.相当 则= atbi (a+bi)(c-di) = actbd 于多项式的合并同类项.那么复数乘法是否可以像 22 c+di (c+di)(c一di) c2+d2 多项式乘法那样进行呢？ bc-ad, 问题多项式(a+b)(c十d)的运算结果是什么？ c2+d1 复数的除法的实质是 若分母为a十bi型， 则分子、分母同乘a一bi;若分母为a一bi型，则分 子、分母同乘a+bi. 口思考 怎样进行复数的除法运算 [知识梳理] [知识点一]复数的乘法法则 设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个 复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi +bdi?= 之1·之1=名112=|12= [知识点二]复数乘法的运算律 [知识点四]虚数单位ⅰ的运算性质 对于任意名1，之2，∈C,有交换律：名1之2= （1)+1 ,净n+2= ,i+3 ,in= 结合律：(312)之3= ∈N"). 乘法对加法的分配律：2(x2十3)= (2)”+i+1++2++3= (n∈N*). ·22·数学B版·必修第四册 3.解析：复数之=1+i(i是虚数单位)的模不大于2，即1十 a2≤4，即a2≤3，可得a∈[-√5，w5. 答案：[-√5，√3 4解析：由共轭复数的定义得=。一4， b=3. .之=|-4+3i=√(-4)2+32=5. 答案：5 5.解：(1)由题意知m2-2m-15>0,得m<-3,或m>5, 所以当m<一3，或m>5时，复数之对应的，点在x轴上 方.(2)由题意知(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 5 得m=1,或m=二2，所以当m=1,或m三一之时，复 之对应的，点在直线x十y十4=0上. 10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 课前预习学案 情境引入 提示能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以按 照向量的加减进行 知识梳理 知识点一、l.(a十c)+(b+d)复数3.2十11+（之2 十之3) 知识点二、l.加法(a-c)+(b-d)i复数 [思考] [提示]复数加法的几个注意点 1.因复数具有数与形的多重性，因此复数加法也应从数与 形两方面领会，代数形式上，复数加法类似于多项式的加 法的合并同类项.几何形式上，复数加法同向量加法. 2.两复数的和是一个确定的复数， 3.实数的运算性质，在复数集中仍然成立. 4.复数加法的几何意义 两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(a十c)十(b十d)i对 应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行， 预习自测 1.C[(3+i)-(2+i)=3+i-2-i=1.故选C.] 2.C[由复数加法运算可知，之=名1十之2=一3十2i十1-4i =一2-2i,在复平面内对应的点坐标为（一2，一2），在第 三象限.故选C.] 3.B[由复数减法运算的几何意义知，AB对应的复数为(1 +3i)-(1+i)=2i,所以AB=2.] 4.解析：设之=a十bi(a,b∈R),因为|之|=3，所以a2+b2= 9.因为之+3i=a+bi十3i=a+(b+3)i为纯虚数，所以 中6a.又2+=9所以8： b=3, 所以之=3i 答案：3i 5.解析：之=之1-2=(3.x十y-4y十2x)+(y-4x+5.x+3y) i=(5.x-3y)+(.x+4y)i=13-2i. 解代 y=-1. .21=5-9i,22=-8-7i. 答案：5-9i-8-7i 课堂互动学案 [例1][解析](1)(2一3i)+(一4十2i)=(2一4)+（一3 +2)i=-2-i. (2)z1-22=[(3x-4y)+（y-2x)i门-[(-2x+y)+(x -3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x ·9 3y)]i=(5.x-5y)+(-3.x+4y)i=5-3i, 所 3,解得=1， y=0, 所以之1=3-2i,22=-2十i,则1十2=1-i, 所以之1十之2=√2. [答案](1)-2-i(2)W2 变式训练 1.解：(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5. (2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. [例2[解]复平面内平行四边形OABC的三个顶，点O, A,C对应的复数分别0,2+4i,3-3i,∴.向量OA对应的复 数2+4i,向量0C对应的复数为3一3i. (1):C0=-OC,.向量C0对应的复数为-(3-3i) =-3+3i. (2)AC=OC-OA,.向量AC对应的复数为(3-3i) (2+4i)=1-7i (3):OB=OA+O心，∴.向量OB对应的复数为(2+4i)十 (3-3i)=5+i,∴.，点B对应的复数为5+i. 变式训练 2.解析：(1)OB=OA+AB, .OB表示的复数为(-2+i)十(3+2i)=1+3i, .1OB1=√12+3z=√10. (2)z2-之1=1十(a-1)i,由题意知a-1<0, 即a<1. 答案：(1)√10(2)(-∞，1) [例3][解析](1)设复数-i,i,-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3, 因为之+i+之-i=2, Z1Z2=2, 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移 Z34 动，求|ZZ3的最小值， 因为|Z1Z3|=1.所以之十i+1mim=1. (2)解如图所示， 1OM=√(-√3)2+(-1)2=2. 所以xmax=2+1=3,z|mim=2-1=1. 0 [答案](1)A(2)见解析 变式训练 3.解析：由复数的模及复数加减运算的几 何意义可知，1≤|之≤2表示如图所示的 圆环，而之十1|表示复数之的对应点A (a,b)与复数之1=-1的对应，点B(-1, 0)之间的距离，即圆环内的，点到点B距 离d.由图易知当A与B重合时，dmin= 0,当点A与点C(2,0)重合时，dmax=3,.0≤之十1≤3. 答案：[0,3] 随堂步步夯实 1.D[之=3-i-(i-3)=6-2i.] 2.B[1+2=(3+i)+(2+i)=(3+i)+(-1+i)=2+ 2i,对应的点在第一象限.] 3.解析：(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i= -a+(4b-3)i. 答案：-a十(4b-3)i 4.解析：点A,B,C对应的复数分别为1十3i,一i, 2+i, ∴A(1,3),B(0,-1),C(2,1),.BC=(2,2). 设D(x,y),则AD=(x-1,y-3).AD=BC, ∴(-1y3)=(2,2=解得=3， 1y-3=2, 1y=5. .点D表示的复数为3+5i. 答案：3十5i 5.解：设第四个顶点D对应的复数为x 十yi(x,y∈R),如图.则AD=OD OA=(xy)-(1,2)=(x-1,y-2), BC=OC-OB= (-1,-2)-(-2,1)=(1,-3). AD=BC, 一解释故友D对e的度数为2 10.2.2复数的乘法和除法 课前预习学案 情境引入 提示(a+b)(c+d)=ca+ad+bc+bd. 知识梳理 知识点一、(ac-bd)+(ad+bc)ia2+b2 知识点二之2刘11（22之3)1之2十之123 知识点三、分母实数化 [思考] [提示]在进行复数除法运算时，通常先把(a十bi)÷(c十 dD写成十i的形式，再把分子、分母同乘以分母的共轭复 c+di 数c一i,从而使分母实数化，化简得结果」 知识点四、(1)i -1-i1(2)0 预习自测 1.C[(1+i)2=2i为纯虚数知选C.] 2B[其把-1十时盒的点 的坐标为（一1,2），位于第二象限.] 3.C[(1+ai)i=i-a=3+i→a=-3.] 解析：+兽=十-2+十 21T52-i十5 5 =日++日+= .虚部为1. 答案：1 5.解析：i(2+3i)=2i+32=-3+2i. 答案：-3+2i 课堂互动学案 [例1][解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-2-1+i= 1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. 变式训练 1.解析：(1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-i=3+i. (2)(1十ai)(2+i)=2-a十(1+2a)i,要使复数为纯虚数， ·9 参考答案 所以有2-a=0,1+2a≠0，解得a=2. (3)(1+i)·7=(2i)2·(-i)=42(-i)=4i. 答案：(1)D(2)2(3)4i [例2】[解桥]1+牛-一3， 5 59 选D. 2 2·(1+i) (2)x=兰)：+D=1十i.故选D. .1 1+i 111 (3)“白0=)1+D=2+21 六其共能复数为日 又日在复平面内对应的点（宁，）在第回象限， 故选D. 内题意如1+作以帚D所 以之=1. [答案](1)D(2)D(3)D(4)A 变式训练 2.解析：(1)z(2-i)=11+7i, ·g=+i-+7)02+=15+25i=3+5i 2-i (2-i)(2+i) 5 (1+i)(4+3i)1+7i (2)法一：21D3 =1+7i)(1+3i) 10 =-2+i. 1+D(4+3=1+(4+31 法二：2-010 1-i2-i _i(4+3i)(2+i) =-3+4i)(2+i) 5 -10+5i =-2+i. 5 答案：(1)A(2)-2+i [例[解折]0)周秀：片=司十公 2i+2i=i,所以=√0+1严=1，故选C 2 (2)原式=（昌）100十了=X1+2++3=P+P=-】 -i. (3)设之=a十bi(a,b∈R),则之·i十2=(a十bi)·(a-bi) ·i+2=2+(a2+b2)i,故2=2a,a2+b2=2b,解得a=1, b=1.即之=1+i. [答案](1)C(2)-1-i(3)A 变式训练 3.解析：(1)设之=x十yi(.x,y∈R),则之=x-yi,所以之-22 =x+yi-2(x-yi)=-x+3yi,即-x+3yi=-1+3i,由 复数相等号{包.邻移仁所以=1+款 选A. 2:=222”+得=书书=2a+1-ai,若复 5a(2-i) 数之对应的点在复平面内位于第四象限， 则2a>0解得a>1,故选A 11-a<0, 答案：(1)A(2)A. [例4][解](1)因为1十i是方程x2+bx十c=0的根， ∴.(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0.