10.2.1 复数的加法与减法（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 课程标准 素养解读 通过复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、 减法的几何意义. 养，通过运用复数加、减运算法则，培养数学运 算素养. 课前。预习学案 对应学生用书P20 [情境引入] 2思考 复数加法应注意什么？ 乘飞机从上海到香港约 汇提示]复数加法的几个注意点 2.5小时，从香港到台北约4小 1.因复数具有数与形的多重性，因此复数加法也应 时.因此从上海经香港转航到 从数与形两方面领会，代数形式上，复数加法类似 台北约6.5小时.在两岸同胞 于多项式的加法的合并同类项.几何形式上，复数 的共同努力下，现在实现两岸 加法同向量加法 2.两复数的和是一个确定的复数， 直航，上海到台北只需约1.5小时.比直航前节省约5 3.实数的运算性质，在复数集中仍然成立. 小时，有关航行节时的多少.体现了实数集内的代数 4.复数加法的几何意义 运算 两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(a十c)+ 问题复数集内可进行复数的四则运算吗？ (b十d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的 提示能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以 加法来进行. 按照向量的加减进行. [知识点二]复数的减法法则 [知识梳理] 1.运算法则 [知识点一]复数的加法法则 复数的减法是加法的逆运算； 1.运算法则 设x1=a十bi,x2=c十di是任意两 0 个复数，则(a+bi)一(c+di)= 图(2) 设x1=a+bi,x2=c+di是任 Z? 意两个复数，那么(a十bi)十(c (a一c)十(b一d)i,两个复数的差是一个确定的 +di)=(a+c)+(b+d)i,两个 复数 2.复数减法的几何意义 复数的和仍然是一个确定的 图(1) 如图(2)，复数名一之，是从向量OZ2的终点指向向 复数 量OZ,的终点的向量Z,Z,所对应的复数. 2.复数加法的几何意义 如图(1)，复数名，十2是以OZ,OZ,为邻边的平行 [预习自测] 1.计算(3+i)一(2+i)的结果为 四边形的对角线OZ所对应的复数. A.5+2i B.-i 3.加法运算律 C.1 D.1-i 对任意1，之2，之∈C,有之1十之2=2十名1，(21十2） 解析：C[(3+i)-(2+i)=3+i-2-i=1.故 十23=21十（2十3）. 选C.] ·38· 第十章复数 2.已知i是虚数单位，复数之1=一3+2i,2=1一4i. 虚数，所以 (a=0, 即 a=0, 又a2十b2=9,所 则复数之=名，十之2在复平面内对应的点位于 b+3≠0，b≠-3. a=0, 所以之=3i, A.第一象限 B.第二象限 b=3, C第三象限 D.第四象限 答案：3i 解析：C[由复数加法运算可知，之=之1十2=一3 5.已知1=(3x十y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y 十2i十1一4i=一2一2i,在复平面内对应的点坐标 2x)-(5.x十3y)i(x,y∈R).设之=之1-2，且之= 为（一2，一2），在第三象限.故选C.] 13-2i,则之1= 之2三 3.在复平面内，复数1+i和1+3i分别对应向量OA 解析：之=之1一2=(3.x+y一4y+2x)+(y一4x十 和OB,其中O为坐标原点，则|AB= ( ) 5.x+3y)i=(5.x-3y)+(x+4y)i=13-2i. A.2 B.2 52-3y=13, C.√10 x+4y=-2, D.4 解析：B[由复数减法运算的几何意义知，AB对应 解得2， 的复数为(1+3i)一(1+i)=2i,所以|AB=2.] 4.已知z=3,且x十3i是纯虚数，则之 .21=5-9i, 解析：设z=a十bi(a,b∈R),因为z=3,所以a2 22=-8-7i. +b2=9.因为x+3i=a+bi十3i=a+(b十3)i为纯 答案5-9i-8-7i 课堂。互动学案 对应学生用书P21 题型一 复数的加、减运算 规律方法 复数代数形式的加、减法运算技巧 [例1](1)计算：(2-3i)+(-4+2i) 1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部 (2)已知名1=(3.x-4y)十(y-2x)i,之2=(-2x十 与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作 y)十(x一3y)i,x,y为实数，若之1一=5一3i,则 为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数 1之1十22= 的实部与虚部. [思路点拔]若名=a+bi,之2=c+di,(a,b,c,d 2.算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再 确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚 ∈R).则x1十=(a十c)十(b+d)i, 部与虚部分别相加减. -g=（a-c)十(b-d)i. 3.复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括 [解析](1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3 号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. +2)i=-2-i. ◇[变式训练] (2)名1-22=[(3x-4y)+(y-2x)i门-[(-2x十y) 1.(1)计算(2+4i)+(3-4i); +(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y (2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i). 2.x)-(x-3y)]i=(5.x-5y)+(-3x+4y)i 解：(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5. =5-3i (2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. 所以/515y=5, 。解得心=1， 题型二复数加、减法的九何意艾 -3x+4y=-3, y=0, [例2]在复平面内，己知平行四边形OABC的三个 所以1=3一2i,x2=一2十i,则1十2=1一i, 顶点O,A,C对应的复数分别为0,2十4i,3 3i.求： 所以|之1十x2|=√2. (1)向量CO对应的复数； [答案](1)-2-i(2)W2 (2)向量AC对应的复数； ·39· 数学B版·必修第四册 (3)点B对应的复数， (2)若复数z满足|之十√+i≤1，求之的最大值 汇思路点拔]明确向量运算与复数运算的关系， 最小值， 先求向量再计算利用复数 汇思路点拨]审清题意，正确画出图形，以形助 [解]复平面内平行四边形OABC的三个顶点O, 数。 A,C对应的复数分别0,2+4i,3一3i,∴.向量OA对 [解析](1)设复数-i,i,-1-i在 应的复数2十4i,向量OC对应的复数为3-3i. 复平面内对应的点分别为Z1,Z2, (1),C0=-OC,∴.向量C0对应的复数为一(3 Z,因为x十i+x-i=2, 3i)=-3+3i. Z1Z2=2, (2):A=O元-OA.向量AC对应的复数为(3 所以，点Z的集合为线段Z1Z2 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ 3i)-(2+4i)=1-7i. 的最小值， (3).OB=OA十OC,∴.向量OB对应的复数为(2十 因为|Z1Z3|=1.所以之+i十1mn=1. 4i)+(3-3i)=5+i,.点B对应的复数为5+i. (2)解如图所示， 规律方法 1OM=√(-3)2+(-1)2=2. 复数之与复平面内的向量OZ是一一对应的关系， 所以zmx=2十1=3，zmn=2-1=1. 复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数 的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形 法则. 类比实数减法的意义.复数的减法也是加法的逆 XB-1 运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数 若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则 [答案](1)A(2)见解析 d=乙，乙2=名1一2，其中，名是复平面内的 规律方法 两点Z,Z,对应的复数.这就是复平面内两点间 (1)设出复数之=x十yi(x,y∈R),利用复数相等 或模的概念，可把条件转化为x,y满足的关系 的距离公式. 式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数 ⊙[变式训练] 化”思想的应用. 2.(1)已知复平面内的平面向量OA,AB表示的复数 (2)在复平面内，31,22对应的点为A,B,之1十z2 分别是-2十i,3+2i,则OB1= 对应的点为C,O为坐标原点，则四边形OACB: (2)若名1=2十i,之2=3十ai,复数2一之1所对应的 ①为平行四边形；②若|之1十之2|=1一之2，则四 点在第四象限上，则实数a的取值范围是 边形OACB为矩形；③若|之，|=2|，则四边形 OACB为菱形；④若|1=|之2|且|之1+之2= 解析：(1)：OB=OA+AB, |之1一2，则四边形OACB为正方形 .OB表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i, ◇[变式训练] .OB=√1+32=√10 3.设复数z=a+bi(a,b∈R),1≤x≤2，则|x+1的 (2)z2-21=1+(a-1)i,由题意知a-1<0, 取值范围是 即a<1. 解析：由复数的模及复数加减运算 答案：(1)√10(2)(-o∞，1) 的几何意义可知，1≤之|≤2表示 题型复数加、减法及几何意义的综合应用 如图所示的圆环，而之十1表示复 数之x的对应点A(a,b)与复数之1= [例3](1)如果复数之满足之十i十|之-i=2,那 一1的对应，点B(一1,0)之间的距离，即圆环内的点 么之+i+1的最小值是 到点B距离d.由图易知当A与B重合时，dmin= A.1 B号 0,当点A与点C(2,0)重合时，dmx=3,∴.0≤之十 1≤3. C.2 D.5 答案：[0,3] ·40· 第十章复数 随堂。步步夯实 对应学生用书P22 1.若复数之满足之十i一3=3一i,则x等于 解析：点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i, A.0 B.2i 2+i,∴.A(1,3),B(0,-1),C(2,1),∴.BC=(2,2). C.6 D.6-2i 设D(x,y),则AD=(x-1,y-3).:AD=BC 解析：D[x=3-i-(i-3)=6-2i.] 2.复数之1=3十i,之2=2十i,则1十2在复平面内表 (y=5. 示的点在 ) .,点D表示的复数为3十5i. A.第一象限 B.第二象限 答案：3+5i C,第三象限 D.第四象限 5.已知复数1=1+2i,之2=-2+i,2=一1-2i,它 们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三 解析：B[x,十之2=(3+i)+(i十i)=(3+i)+ 个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点D对 (一1+i)=2十2i,对应的点在第一象限.] 应的复数. 3.(a+bi)-(2a-3bi)-3i= (a,b∈R). 解：设第四个顶，点D对应的复数 解析：(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b 为x十yi(x,y∈R),如图.则AD -3)i=-a+(4b-3)i. =OD-OA=(x,y)-(1,2)= 答案：-a+(4b-3)i (z-1,y-2),BC=OC-OB= 4.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1+3i, (-1,-2)-(-2,1)=(1,-3)..AD=BC, i,2+i,若AD=BC,则点D表示的复数是 为2-i. 课后⊙素养提升 对应学生课时P8 基础过关 解析：D[|(3-5i)+(2i+)川=|(3-5i)+(-1 JI CHU GUO GUAN +2i)|=(3-1)+(-5+2)i=|2-3i1= 1.若x一3十5i=8-2i,则x等于 ( A.8-7i B.5-3i √2+(-3)产=√13.] C.11-7i D.8+7i 5.在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复 解析：C[x=8-2i-(-3+5i)=11-7i.] 数是6+8i,BD对应的复数是一4十6i,则DA对应 2.在复平面内，O是原点，OA,OC,AB表示的复数分 的复数是 别为-2+i,3+2i,1+5i,则BC表示的复数为 A.2+14i B.1+7i ( C.2-14i D.-1-7i A.2+8i B.4-4i C.-6-6i D.-4+4i 解析：D[依据向量的平行四边形法则可得DA 解析：B[BC=O元-OB=OC-(OA+AB)=(3, DC=DB,DC-DA=AC,由AC对应的复数是6+ 2)-(1,5)-(-2,1)=(4,-4).] 8i,BD对应的复数是一4十6i,依据复数加减法的几 3.若(1+i)+(2一3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单 位)，则a,b的值分别等于 何意义可得DA对应的复数是一1一7i.] A.3,-2 B.3,2 6.A,B分别是复数x1,之2在复平面内对应的点，O是 C.3,-3 D.-1,4 原点，若|x1十2|=之1一之21，则△AOB一定是 解析：A[(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi, 所以a=3,b=-2.] A.等腰三角形 4.1(3-5i)+(2i+)= ( B.直角三角形 A.3√2 B.√11 C.等边三角形 C.23 D.√13 D.等腰直角三角形 ·41 数学B版·必修第四册 解析：B[根据复数加（减）法的几何意义，知以 解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以AC=AB OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等， +AD,于是AD=AC-AB,而(1+4i)-(3+2i) 则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三 =一2十2i,即AD对应的复数是-2+2i. 角形.] (2)由于DB=AB-AD,而(3+2i)-(-2+2i)= 7.在复平面内，若OA、OB对应的复数分别为7+i、 5,即DB对应的复数是5. 3-2i,则|AB= 解析：1AB|=1OB-OA1=-4-3i1 8)南于PA-cA=-2AC-(合-2 √(-4)+(-3)=5. P哦-D=(号0 答案：5 8.若复数x满足之=|之|一3一4i,则x= 于是PA,PB=-是而P-四，Pl- 所以，吾·c0s∠APB=一，图此 解析：设复数x=a十bi(a,b∈R),则a=√a+b-3 2 且=一4，解得a=司b=一4，所以=看-4 7 co∠APB=-,故n∠APB=4区.故 171 答案：名-行 9.已知复数|z=1,则复数3+4i十x的模的最大值 x4厘5 为 ,最小值为 17 即△APB的面积为立 解析：令ω=3十4i十z, 能力提升 NENG LI TI SHENG 则之=w-(3+4i). 12.设复数x1,在复平面内的对应点关于虚轴对 |z=1,∴.w-(3十4i)=1, 称，之1=2十i,则名1之2= ∴复数ω在复平面内对应的点的 0 A.-5 B.5 轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易 C.-4+i D.-4-i 看出，圆上的点A所对应的复数仙A的模最大，为 解析：A[,1=2十i在复平面内的对应点的坐 √32十4+1=6，圆上的，点B所对应的复数wB的模 标为(2,1)， 又名1与之2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 最小，为√32十4一1=4，.复数3+4i+之的模的最 则2的对应点的坐标为（一2,1）， 大值和最小值分别为6和4. 即2=一2十i, 答案：64 ∴.名1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.] 10.设m∈R,复数=十十(m-15)i,名 m+2 13.已知集合A={||名+1|≤1，名∈C},B={2 =名+i+m,名∈A,m∈R}. 一2十m(m-3)i,若名1十x2是虚数，求m的取值 (1)当A∩B=必时，求实数m的取值范围； 范围. (2)是否存在实数m,使得A∩B=A? 解：之1十z2= m2+m-2+[(m-15)+m(m- (m+2 解：因为十1≤1，所以1所对应的点构成的 集合A是以（一1,0）为圆心，以1为半径的圆面 3)]i=mm,4+(m-2m-15)i,因为名+十， m+2 (圆周及其内部).又之2=之1十i十m,所以= 是虚数，所以m2-2m-15≠0且m≠-2，所以m -i-m.所以x2-i-m+1≤1，即之2-[(m 1)+i]≤1. ≠5且m≠-3且m≠一2，所以m的取值范围是 所以之2所对应的，点的集合B是以，点(m一1,1)为 (-∞，-3)U(-3,-2)U(-2,5)U(5,+∞). 圆心，1为半径的圆面（圆周及其内部）. 11.已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数 (1)若A∩B=心，说明上述两圆外离，其圆心距d 分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交 =√(m-1+1)+1>2,解得m的取值范围是 于P点. {mm∈R,且m>√5或m<-√3. (1)求AD对应的复数： (2)若A∩B=A,因为两圆半径相等，所以两圆重 (2)求DB对应的复数； 合，但由圆心的坐标（一1,0）及(m一1,1)可知它 们不可能重合，所以不存在实数m,使A∩B=A. (3)求△APB的面积. ·43