10.1.2 复数的几何意义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十章复数 ● 随堂。步步夯实 --● 1.已知全集C={xx是复数}，Q=〈xx是有理数}， 5.已知之1=m2-(m2-3m)i,22=(m2-4m+3)i+10 S={xx是无理数}，R={xx是实数}，P={xz (m∈R).若，<x2,求实数m的取值范围. 是虚数}，那么(CcQ)U(CcP)为 ) A.S B.CC.R D.Q 2.若(x十y)i=x一1(x,y∈R),则2+y的值为( A B.2 C.0 D.1 3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a 的值为 ©温馨提 4.以√2+2i的虚部为实部，以4i一1的实部为虚部的 学习至此，请完成配套训练 新复数是 10.1.2 复数的几何意义 课程标准 素养解读 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数 理解复数的代数形式及其几何意义，掌握用向量的模表示 模的运用，共轭复数的概念的理解.体会数学抽 复数模的方法，理解共复数的概念。 象及数学运算素养。 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]复数的几何 、复平面 19世纪末20世纪初，著名 意义 C.F.GAUSS*1777+1855 的德国数学家高斯在证明代数 1.复数集C中的数与复平 实轴 Z:a+bi 基本定理时，首次引进“复数” 面内的点按如下方式建 这个名词，他把复数与平面内 立了 对应关系复 虚轴 的点一一对应起来，创立了复 数之=a十bi二对应复平面内的点Za,b),这是 平面，依赖平面内的点或有向 线段（向量）建立了复数的几何 复数的一种几何意义。 基础 2.复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存 建立了 对应关系（实数0与零向量对应），即 在性”，为进一步研究复数奠定了基础。 复数=a十i二对感平面向量一，相等的向 问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数 量表示同一个复数， 怎样来表示呢？ 2思考1.复数的几何意义需注意哪些问题？ [知识梳理] [知识点一]复平面 一个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ,x轴叫做 ,y轴叫做 ·显然，实轴 上的点都表示 ;除了原点外，虚轴上的点都 表示 ·17 数学B版·必修第四册 [知识点三]复数的模 [预习自测] 向量OZ的模叫做复数x=a十bi的 (modulus 1.已知复数之=(a-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)在复 ,记作 平面内对应的点在虚轴上，则 of a complex number)或 ,即 A.a≠2或a≠1 B.a≠2，且a≠1 =a+bil= ,其中a,b∈R. C.a=0 D.a=2或a=0 如果b=0,那么x=a十bi是一个实数a,它的模就 等于(a的绝对值). [知识点四]共轭复数 A.1 B.2 C.3 D.4 一般地，当两个复数 时，这两个 3.如果复数之与3+4i对应的有序实数对关于虚轴对 复数叫做互为共轭复数(conjugate complex num 称，那么之对应的向量OA的模是 ber),虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 A.1 B.√7 C.√3 D.5 _·复数之的共轭复数用之表示，即如果之=a十bi, 4.(2021·上海卷)已知A={x2x≤1}，B={一1,0， 1},求A∩B= 那么之= 5.当m<1且m∈R时，复数x=2+(m-1)i在复平 2思考2.共轭复数的特点是什么？ 面内对应的点位于第 象限. 6.已知复数x=m(m一1)+(m2+2m-3)i,当实数m取 什么值时，复数之是(1)零；(2)纯虚数；(3)z=2十5i. 课堂。互动学案 题型一 复数与复平面内的点 (2)点Z在直线y=2x上 [例1]在复平面内，若复数之=(m2一2m一8)十(m +3m-10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二 象限； (3)在第二、四象限；(4)在直线y=x上，分别求实 数m的取值范围. 题型二复数与复平面内的向量的关系 汇思路点拨了“解题的关键是理解复数的几何意 义一复数一4十i对尊复平面内的点Za,0 [例2](1)向量OZ对应的复数是5-4i,向量OZ2对应 的复数是一5十4i,则OZ,+OZ2对应的复数是() [尝试解答 A.-10+81 B.10-8i C.0 D.10+8i (2)设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为 2一3i,一3十2i,那么向量BA对应的复数是( 规律方法 A.-5+5i B.-5-5i 利用复数与点的对应解题的步骤 C.5+5i D.5-5i (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a 思路点拔]解题的关键是理解复数与复平面内 +bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表 的点，向量的一对应关系. 示，是解决此类问题的根据. [尝试解答](1) (2) (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部 规律方法 应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求 1.以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点 解. 对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不 ⊙[变式训练] 变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变. 1.设复数x=(a十1)十(2一a2)i,对应的点Z满足下 2.利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数， 列关系，求a的范围. 使有些复数问题转化为向量问题去处理，借助 (1)点Z在第二象限； 向量去解决复数问题。 ·18· 第十章复数 ◇[变式训练] ⊙[变式训练] 2.在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复 数的共轭复数. 3.求复数=6十8i与2=一2 一√2i的模，并比较 =1-i2=-7十1=-2=2+21 13: 它们的模的大小. 题型四 复数的几何意义 [例4] 设之∈C,在复平面内对应点Z.试说明满足 题型目 复数的模 下列条件的点Z的集合是什么图形， [例3](1)若复数之对应的点在直线y=2x上，且 (1)z=2; |之=√5，则复数之= ( (2)1≤|x|≤2. ) A.1+2i B.-1-2i 汇思路点拔] 1x=|OZ=√a+b的九何意义 C.±1±2i D.1+2i或-1-2i 是解题的关键， (2)设复数=a十2i,之=-2十i,且x1<|x2, [尝试解答] 则实数a的取值范围是 A.(-∞，-1)U(1,+o∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞) [思路点拨](1)利用z=√a+b构造方程. (2)分别求出名之2的模，再比较大小。 规律方法 [尝试解答](1) (2) 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关 规律方法 键点：一是z表示点Z到原点的距离.可依据z满 复数模的计算 足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚 复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来 部，再利用模长公式计算，虽然两个虚数不能 解决。 比较大小，但它们的模可以比较大小. ⊙[变式训练] (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实 4.若复数之满足之一i≤√2(i为虚数单位)，则之在 数问题求解. 复平面所对应的图形的面积为 随堂。步步夯实 1.已知复数之的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位)， (1)对应的点在x轴上方； 则之在复平面内对应的点位于 (2)对应的点在直线x+y十4=0上？ A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 2.若x1=3十4i,22=一 2V2i,则 ( A.z1=22 B.x1>|z2 C.|x1|<|x2 D.不能确定 3.若复数之=1十ai(i是虚数单位)的模不大于2，则 实数a的取值范围是 4.若复数x1=3十ai,x2=b十4i(a,b∈R),且1与2 互为共轭复数，则x=a十bi的模为 5.实数m取什么值时，复数x=(m2+5m+6)十(m c温馨提西 学习至此，请完成配套训练 -2m-15)i ·19·数学B版·必修第四册 ②法一 第一步：计算AM在△ABM中由正弦定理得 dsin a2 AM= sin(a1十a2) 第二步：计算AN,在△ABN中，由正弦定理得 AN= dsin B2 sin(32-)9 第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得 MN=AM2+AN2-2AMX ANcos(a1-B1 ) 法二第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得 dsin a BM-sin(aa) 第二步：计算BN,在△ABN中由正弦定理得 dsin月 BN=sin(2B) 第三步：计算MN.在△BMN中由正弦定理得 MN=/BM2+BN2-2BMX BNcos(82+a2). 第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 课前预习学案 情境引入 提示若m,n为实数可以比较大小，若m,n是虚数则无 法比较大小 知识梳理 知识点一、1.全体复数2.之 知识点二、a=c且b=d [思考] 「提示]两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等 的关系，而不能比较它们的大小 知识点三、1.b=0b≠0a=0且b≠0 预习自测 1.C[一2i的实部为0，虚部为一2.] 2.D[由复数虚部定义可知，1一i的虚部为一1.故选D.] 3.B[对于A,当a=0,b≠0，b∈R时， 复数a十bi是纯虚数，命题错误； 对于B,当x=1时，复数之=2i是纯虚数，命题正确： 对于C,(x2一4)十（x2十3x十2)i是纯虚数，则 (x2-4=0, {x2+3x+2≠0， 即x=2,命题错误： 对于D,复数之=a十bi,a,b未注明为实数，错误.] 4.解析：由a-2i=bi十1，所以a=1,b=-2, 所以a2+b2=5. 答案：5 5.解析：根据复数相等的充要条件有 十y-2=0:.{=3 x-y-4=0,“1y=-1. 答案：3一1 课堂互动学案 [例1][解]①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部 为-3，虚部为？，是虚数：⑧的实部为厄，虚部为1，是虚 数；④的实部为π，虚部为0，是实数：⑤的实部为0，虚部 为一√5，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 变式训练 1.解：在有理数集中：x4一25=(x2十5)(x2一5) 在实数集中：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)·(x十√5) (x-√5).在复数集中：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2十 5)·(x+5)(x-√5)=(x+√5i)(x-√i)(x+5)(x-√5). ·9 [例2】[解11)由m士m6=0:得m=2. {m+3≠0， 所以当m=2时，之是实数. （2)由m士m6≠0'得{m≠2且m≠一3·即m≠2且 1m+3≠0， (m≠-3， m≠一3.所以当m≠2且m≠一3时，之是虚数. m2+m-6≠0， m≠2且m≠-3， (3)由{m+3≠0， 得{m≠-3， 即m=3或 (m2-7m+12=0, （m=3或m=4, m=4.所以当m=3或m=4时，之是纯虚数. 变式训练 2.解：，之=(m2-3m)十(m2-m-6)i, .(1)当m满足m2-m-6=0,即m=-2或m=3时， 之为实数 (2)当m满足m2一m一6≠0，即m≠一2且m≠3时，之为 虚数 (3)当m满足-m6关0，即m=0时，之为纯虚数。 [例3][解] (1)由复数相等的充要条件，得 1 x十y=0:解得 T= 2 (y=x+1, 1 y=2 (2)因为a,m∈R,所以由a2+am十2+(2a十m)i=0,可 得十am+2=0·解得{a=区，支a=区 2a+m=0, (m=-22m=2√2， 所以a=士√2.(3)设方程的实根为x=m, 则原方程可变为3m2-号m-1=(10-m-2m2)i, 3m-受m-1=0解得a=11或a=-号 所以 （10-m-2m2=0, 变式训练 3.解：x2-y2十2.xyi=2i, 会部路 1y=1,y=-1. 随堂步步夯实 1.B [.CcQ=SUP,C cP=R,RUP=C, ..(C cQ)U(C cP)=C.] 2.D[由复数相等的充要条件知， ￥0y=.x+y=02*+y=20=1,] 红十=0解得红=1 x-1=0, 3.解析：由a2-3a十2=0且a-1≠0，得a=2. 答案：2 4.解析：√2+2i的虚部为2,4i一1的实部为一1，故新复数为 之=2-i. 答案：2一i 5.解：1<之2之122均为实数，且1的实部小于2的 实部， /m2-3m=0, m=0或m=3, ∴.{m2-4m十3=0，解得m=1或m=3, m2<10, (-√10<m<√10， .m=3,故实数m的取值范围是{mm=3. 10.1.2复数的几何意义 课前预习学案 情境引入 提示任何一个复数之=a十bi,都和一个有序实数对(a, b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之 间可以建立一一对应. 知识梳理 知识点一、复平面实轴虚轴实数纯虚数 知识点二、1.一一2.一一OZ 知识点三、模绝对值|z或a十bi√a+b a 知识点四、实部相等，虚部互为相反数共轭虚数a一bi [思考] 1.[提示]复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对. (2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i (3)当a=0时，对任何b≠0，a十bi=0十bi=bi是纯虚数，所以 纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数」 (4)复数之=Q十bi中的之，书写时应小写，复平面内点Z (a,b)中的Z,书写时应大写. 2.[提示]根据共轭复数的定义，若之1,2是共轭复数，则 它们在复平面内所对应的点Z1,Z2关于实轴对称. 预习自测 1.D[由题意，得a-2a=0,得a=0或a=2.故选D.] 2+-5)2=1.] 2 3.D[复数之对应的向量OA的坐标为（一3,4），其模为 √(-3)2+42=5.故选D.] 解析：A-(号]，B=-10,1AnB=-1.0, 答案：{-1,0} 5.解析：因为m<1,所以m一1<0.因为复数之=2十(m一1)i在 复平面内对应的点的坐标为(2，m一1)，所以复数之=2十(m 一1)i在复平面内对应的点位于第四象限. 答案：四 6解：D由/m(m-1)=0, 1m2+2m-3=0, 可得m=1: (2)由/mm-1)=0, (m2+2m-3≠0 可得m=0: (3)由mm-1)=2, {m2+2m-3=5, 可得m=2; 综上：当m=1时，复数之是0：当m=0时，复数之是纯虚数： 当m=2时，复数之=2十5i. 课堂互动学案 [例1][解]复数之=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部 为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0. 解得m=-2或m=4. (2)由题意，{m-2m-8<0, 1m2+3m-10>0, .2<m<4. (3)由题意，(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0, .2<m4或-5<m<-2. （0由已知得m-2m一8=m2十3m一10.故m=号 变式训练 1.解：(1)如满足点Z在第二象限，则须有 a十1<0，解得-2<a<-1 12-a2>0, (2)如点Z在y=2x上，则有2-a2=2(a十1)，即a=0或a= -2. [例2][解析](1)由复数的几何意义，可得 0Z1=(5,-4),0Z2=(-5,4), 所以0Z+0Z2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以OZ1十OZ2对应的复数为0. 参考答案 (2)由复数的几何意义，得OA=(2,-3),OB=(-3,2), BA=OA-OB=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5). 所以BA对应的复数是5一5i. [答案](1)C(2)D 变式训练 2解在复年西为分别画出点乙1，-1，乙(-号)。 Z3(-2,0),Z1(2,2),则向量0Z,0Z,0Z,02分别为 复数之1之2，之3,4对应的向量，如图所示. -2-10 2 -1上-Z1 1√3. 21=1+i:22=-2-2i29=-2:24=2-21 [例3][解析](1)依题意可设复数之=a十2ai(a∈R), 由x=√5得√a2+4aZ=5, 解得a=士1，故之=1+2i或之=-1-2i. (2)因为之1|=√a2+4,|之2|=√4+T=√5，所以√a2+4 <5,即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1. [答案](1)D(2)B 变式训练 3解：1=6十80=一号-， ∴.|z11=√62+82=10， 1-+(=是：10>a>2l [例4][解](1)方法一|x=2说明复数之在复平面内 对应的点Z到原，点的距离为2，这样的点Z的集合是以原 点O为圆心，2为半径的圆. 方法二设之=a十bi,由|z|=2,得a2十b=4.故点Z对 应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆 (2)不等式1≤|之≤2可以转化为不等 z≤2， 式组{：≥1，不等式≤2的解集是 圆之=2及该圆内部所有点的集合， 不等式|x≥1的解集是圆|=1及该 圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤之|≤2的点的集 合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1 和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界 变式训练 4.解析：设之=x十yi(x,y∈R),则之-i=x十yi-i=x+(y -1)i,∴.|之-i|=√x2+(y-1)2,由|之-i≤2知 √/x2+(y-1)2≤2，即x2+(y-1)2≤2.∴.复数之对应的 点(x,y)构成以(0,1)为圆心，w√2为半径的圆面（含边界）， .所求图形的面积为S=2元. 答案：2x 随堂步步夯实 1.D[由=1十2i知之=1一2i,故之在复平面内对应的点 为(1，一2)，在第四象限.] 2.B[1=3+=5,2/(-)）+(-②2 是5>2l>l] 数学B版·必修第四册 3.解析：复数之=1+i(i是虚数单位)的模不大于2，即1十 a2≤4，即a2≤3，可得a∈[-√5，w5. 答案：[-√5，√3 4解析：由共轭复数的定义得=。一4， b=3. .之=|-4+3i=√(-4)2+32=5. 答案：5 5.解：(1)由题意知m2-2m-15>0,得m<-3,或m>5, 所以当m<一3，或m>5时，复数之对应的，点在x轴上 方.(2)由题意知(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 5 得m=1,或m=二2，所以当m=1,或m三一之时，复 之对应的，点在直线x十y十4=0上. 10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 课前预习学案 情境引入 提示能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以按 照向量的加减进行 知识梳理 知识点一、l.(a十c)+(b+d)复数3.2十11+（之2 十之3) 知识点二、l.加法(a-c)+(b-d)i复数 [思考] [提示]复数加法的几个注意点 1.因复数具有数与形的多重性，因此复数加法也应从数与 形两方面领会，代数形式上，复数加法类似于多项式的加 法的合并同类项.几何形式上，复数加法同向量加法. 2.两复数的和是一个确定的复数， 3.实数的运算性质，在复数集中仍然成立. 4.复数加法的几何意义 两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(a十c)十(b十d)i对 应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行， 预习自测 1.C[(3+i)-(2+i)=3+i-2-i=1.故选C.] 2.C[由复数加法运算可知，之=名1十之2=一3十2i十1-4i =一2-2i,在复平面内对应的点坐标为（一2，一2），在第 三象限.故选C.] 3.B[由复数减法运算的几何意义知，AB对应的复数为(1 +3i)-(1+i)=2i,所以AB=2.] 4.解析：设之=a十bi(a,b∈R),因为|之|=3，所以a2+b2= 9.因为之+3i=a+bi十3i=a+(b+3)i为纯虚数，所以 中6a.又2+=9所以8： b=3, 所以之=3i 答案：3i 5.解析：之=之1-2=(3.x十y-4y十2x)+(y-4x+5.x+3y) i=(5.x-3y)+(.x+4y)i=13-2i. 解代 y=-1. .21=5-9i,22=-8-7i. 答案：5-9i-8-7i 课堂互动学案 [例1][解析](1)(2一3i)+(一4十2i)=(2一4)+（一3 +2)i=-2-i. (2)z1-22=[(3x-4y)+（y-2x)i门-[(-2x+y)+(x -3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x ·9 3y)]i=(5.x-5y)+(-3.x+4y)i=5-3i, 所 3,解得=1， y=0, 所以之1=3-2i,22=-2十i,则1十2=1-i, 所以之1十之2=√2. [答案](1)-2-i(2)W2 变式训练 1.解：(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5. (2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. [例2[解]复平面内平行四边形OABC的三个顶，点O, A,C对应的复数分别0,2+4i,3-3i,∴.向量OA对应的复 数2+4i,向量0C对应的复数为3一3i. (1):C0=-OC,.向量C0对应的复数为-(3-3i) =-3+3i. (2)AC=OC-OA,.向量AC对应的复数为(3-3i) (2+4i)=1-7i (3):OB=OA+O心，∴.向量OB对应的复数为(2+4i)十 (3-3i)=5+i,∴.，点B对应的复数为5+i. 变式训练 2.解析：(1)OB=OA+AB, .OB表示的复数为(-2+i)十(3+2i)=1+3i, .1OB1=√12+3z=√10. (2)z2-之1=1十(a-1)i,由题意知a-1<0, 即a<1. 答案：(1)√10(2)(-∞，1) [例3][解析](1)设复数-i,i,-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3, 因为之+i+之-i=2, Z1Z2=2, 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移 Z34 动，求|ZZ3的最小值， 因为|Z1Z3|=1.所以之十i+1mim=1. (2)解如图所示， 1OM=√(-√3)2+(-1)2=2. 所以xmax=2+1=3,z|mim=2-1=1. 0 [答案](1)A(2)见解析 变式训练 3.解析：由复数的模及复数加减运算的几 何意义可知，1≤|之≤2表示如图所示的 圆环，而之十1|表示复数之的对应点A (a,b)与复数之1=-1的对应，点B(-1, 0)之间的距离，即圆环内的，点到点B距 离d.由图易知当A与B重合时，dmin= 0,当点A与点C(2,0)重合时，dmax=3,.0≤之十1≤3. 答案：[0,3] 随堂步步夯实 1.D[之=3-i-(i-3)=6-2i.] 2.B[1+2=(3+i)+(2+i)=(3+i)+(-1+i)=2+ 2i,对应的点在第一象限.]