10.1.2 复数的几何意义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

10.1.2复 课程标准 理解复数的代数形式及其几何意义，掌握用向量的核 复数模的方法，理解共轭复数的概念. 课前g [情境引入] 19世纪末20世纪初，著名的 F,GAU55*1777+1855 德国数学家高斯在证明代数基本 定理时，首次引进“复数”这个名 词，他把复数与平面内的点一一对 应起来，创立了复平面，依赖平面 内的点或有向线段（向量）建立了 复数的几何基础. 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存 在性”，为进一步研究复数奠定了基础 问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数 怎样来表示呢？ 提示任何一个复数之=a十bi,都和一个有序实数对 (a,b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应. [知识梳理] [知识点一]复平面 一个建立了直角坐标系 (复平面 来表示复数的平面叫做 ty 复平面，x轴叫做实轴，y 实轴 b----Z:a+bi 轴叫做虚轴.显然，实轴 上的点都表示实数；除了 虚轴 原点外，虚轴上的点都表 示纯虚数 [知识点二]复数的几何意义 1.复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立 了一一对应关系复数之=4十i二对应复平面内 的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 2.复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量 建立了一一对应关系（实数0与零向量对应），即复 数：=4十i二对g平面向量O立.相等的向量表 示同一个复数. 鞀思考1.复数的几何意义需注意哪些问题？ 汇提示]复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对. (2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a=0时，对任何b≠0，a十i=0十bi=i是纯虚 数，所以纵轴上的，点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数. (4)复数之=a十i中的，书写时应小写，复平面内 点Z(a,b)中的Z,书写时应大写. 第十章复数 数的几何意义 素养解读 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数 表示 模的运用，共轭复数的概念的理解.体会数学抽 象及数学运算素养， 预习学案 对应学生用书P17 知识点三]复数的模 向量OZ的模叫做复数之=a十bi的模(modulus of a complex number)或绝对值，记作|z|或a+bi,即 |z=a+bil=√a+b,其中a,b∈R. 如果b=0,那么x=a十bi是一个实数a,它的模就 等于a(a的绝对值). 知识点四]共轭复数 一般地，当两个复数实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number),虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共 轭虚数.复数之的共轭复数用之表示，即如果之= a十bi,那么之=a-bi, 2思考2.共轭复数的特点是什么？ 汇提示]根据共轭复数的定义，若名1，之2是共轭复 数，则它们在复平面内所对应的点Z1,Z2关于实轴 对称。 [预习自测] 1.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)在复 平面内对应的点在虚轴上，则 ( ) A.a≠2或a≠1 B.a≠2，且a≠1 C.a=0 D.a=2或a=0 解析：D[由题意，得a2-2a=0,得a=0或a=2. 故选D.] ( A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A 2 2 3.如果复数x与3十4ⅰ对应的有序实数对关于虚轴对 称，那么之对应的向量OA的模是 A.1 B.√7 C.√13 D.5 解析：D[复数x对应的向量OA的坐标为（一3,4），其 模为√/(-3)十4=5.故选D.] 4.(2021·上海卷)已知A={x22≤1}，B={-1,0,1}, 求A∩B 解析：A -,2]B=(-1,0,1,AnB ={-1,0}, 答案：{-1,0} 33 数学B版·必修第四册 5.当m<1且m∈R时，复数之=2+(m一1)i在复平面内 对应的点位于第 象限 解析：因为m<1,所以m一1<0.因为复数之=2十(m 1)i在复平面内对应的点的坐标为(2，m一1)，所以复数 之=2十（一1）i在复平面内对应的点位于第四象限 答案：四 6.已知复数x=m(m-1)+(m2+2m-3)i,当实数m取 什么值时，复数之是(1)零；(2)纯虚数；(3)z=2十5i. 课堂。 题型一 复数与复平面内的点 [例1]在复平面内，若复数z=(m2-2m一8)+(m2+ 3m-10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在第二、四象限；(4)在直线y=x上，分别求实数m 的取值范围 [思路点拨了解题的关键是理解复数的几何意 义—复数-4十i一对三复平面内的点Za,0. [解]复数之=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的 实部为m2-2m一8，虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0. 解得m=一2或m=4. (2)由题意，m-2m一8<0， .2<m<4. m2+3m-10>0, (3)由题意，(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0, .2<m<4或-5<m<-2. (4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10, 故m=子 规律方法 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数之=a 十bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表 示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应 满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解。 ◇[变式训练] 1.设复数x=(a十1)十(2一a2)i,对应的点Z满足下 列关系，求a的范围， (1)点Z在第二象限； (2)点Z在直线y=2x上 解：(1)如满足点Z在第二象限，则须有 a+1<0:解得-2<a<-1. 2-a2>0, (2)如，点Z在y=2x上，则有2-a2=2(a十1)，即a =0或a=-2. ·3 解：1)由/mm-1)=0, 可得m=1: 1m2+2m-3=0, (2)由/m(m-1)=0, m2+2m-3≠0， 可得m=0: (3)由mm-1)=2, \m2+2m-3=5, 可得m=2; 综上：当m=1时，复数之是0；当m=0时，复数之是纯 虚数；当m=2时，复数z=2十5i 互动学案 对应学生用书P18 题型二复数与复平面内的向量的关系 [例2](1)向量OZ,对应的复数是5-4i,向量OZ,对 应的复数是一5+4i,则OZ,+OZ2对应的复数是 A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i (2)设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为 2一3i,一3+2i,那么向量BA对应的复数是( A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i 汇思路点拨]解题的关键是理解复数与复平面内 的点，向量的二一对应关系。 [解析]（1)由复数的几何意义，可得 0Z=(5,-4),0Z2=(-5,4), 所以0Z,+0Z2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以OZ1+OZ,对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA=(2,一3)，OB= (-3,2),BA=OA-OB=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5). 所以BA对应的复数是5一5i. [答案](1)C(2)D 规律方法 1.以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点 对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不 变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变， 2.利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数， 使有些复数问题转化为向量问题去处理，借助 向量去解决复数问题， ◇[变式训练] 2.在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复 数的共轭复数。 z1=1-i;z2=- 15 2十21=-2；24=2+2i. 解：在复平面内分别画出点乙(1，-1)，Z(一2， 9.Z(-20,Z2.2,则为￥02,02,02 OZ分别为复数之1,2，，之对应的向量，如图 所示 Z3 -2-10 2 1-51:4=-224=2-21 x1=1十iz2=-2-1 2 题型三 复数的模 [例3](1)若复数之对应的点在直线y=2x上，且 |x=√5，则复数x= A.1+2i B.-1-2i C.±1+2i D.1+2i或-1-2i (2)设复数1=a十2i,x2=-2十i,且x1<x2|, 则实数a的取值范围是 A.(-∞，-1)U(1,+∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞) [思路点拨](1)利用x=√a2十b构造方程. (2)分别求出1,2的模，再比较大小. [解析](1)依题意可设复数之=a十2ai(a∈R), 由z=√5得/a2+4a=√5， 解得a=士1，故x=1十2i或x=-1-2i. (2)因为|之1|=√a2十4，之2|=√4十1=√5，所以 √a+4<√5，即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a <1. [答案](1)D(2)B 规律方法 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚 部，再利用模长公式计算，虽然两个虚数不能 比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实 数问题求解 ◇[变式训练] 3.求复数1=6十8i与z2=一 1 一√2i的模，并比较 它们的模的大小 解：之1=6十81,2=-7 .名1|=√62+82=10， ·3 第十章复数 3 10>2> 题型四 复数的几何意义 [例4]设之∈C,在复平面内对应点Z.试说明满足 下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)z|=2: (2)1≤|x≤2. 汇思路点拨]|之=OZ=√a+b的几何意义 是解题的关键， [解](1)方法一之=2说明复数之在复平面 内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集 合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 方法二设之=a十bi,由之=2，得a2十b2=4.故 点Z对应的集合是以原，点O为圆心，2为半径 的圆. (2)不等式1≤|之≤2可以转化为 z≤2， 不等式组：≥1.不学式：≤2 的解集是圆|之=2及该圆内部所 有点的集合 不等式之≥1的解集是圆|之=1及该圆外部所有 点的集合 这两个集合的交集，就是满足条件1≤之≤2的，点 的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且 包括圆环的边界， 规律方法 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关 键点：一是z表示点Z到原点的距离.可依据之满 足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用 复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来 解决. ◇[变式训练] 4.若复数x满足x一i≤√2(i为虚数单位)，则x在 复平面所对应的图形的面积为 解析：设z=x十yi(x,y∈R),则之一i=x十yi一i= x+(y-1)i,.x-i=√x2+(y-1)2,由x-i≤ √2知W2+(y-1)≤√2，即x2+(y-1)≤2.复 数x对应的点(x,y)构成以(0,1)为圆心，√2为半径 的圆面（含边界），.所求图形的面积为S=2π. 答案：2元 数学B版·必修第四册 随堂。 1.已知复数之的共轭复数乏=1+2i(i为虚数单位)， 则之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D[由乏=1十2i知之=1一2i,故之在复平面 内对应的点为(1，一2)，在第四象限.门 2.若名=3十4i,x2=- 1 2 一i,则 A.=2 B.>2 C. D.不能确定 解析：B [1名11=√32+42=5,1x2|= 1)2 +(-√2)2= 多5>多11> 1x21.] 3.若复数x=1十ai(i是虚数单位)的模不大于2，则 实数a的取值范围是 解析：复数z=1十ai(i是虚数单位)的模不大于2， 即1十a2≤4，即a2≤3，可得a∈[-√w√3]. 答案：[一√，5 课后。 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.复数x=(a2-2a)十(a2一a-2)i对应的点在虚轴 上，则a的值为 ) A.a=0或a=2 B.a=0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 解析：B[,复数z=(a2-2a)十(a2-a-2)i对 应的点在虚轴上， 0-2a=0a=0.故选B.] a2-a-2≠0 2.已知i为虚数单位，之为复数，下面叙述正确的是 ( A.之为纯虚数 B.任何数的偶数次幂均为非负数 C.i+1的共轭复数为i一1 D.2+3i的虚部为3 解析：D[当之为实数时A错由=一1知B错；由 共轭复数的定义知1十i的共轭复数为1一i,C错.] 3.已知0<a<2,复数x=a+ii是虚数单位)，则|z|的 取值范围是 ) A.(1,√3) B.(1,W5) C.(1,3) D.(1,5) ·3 步步夯实 对应学生用书P19 ---● 4.若复数x1=3十ai,之2=b十4i(a,b∈R),且之1与之2 互为共轭复数，则x=a十bi的模为 解析：由共轭复数的定义得0=一4， b=3. .1x=-4+3i=√(-4)+32=5. 答案：5 5.实数m取什么值时，复数之=(m2+5m+6)+(m2 -2m-15)i (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x十y十4=0上？ 解：(1)由题意知m-2m-15>0,得m<-3,或m >5,所以当m<-3,或m>5时，复数x对应的点 在x轴上方.(2)由题意知(m十5m十6)十(m2 2m-15)十4=0，得m1,或m=二之，所以当m 1,或m= 号时，复数文对应的点在直线x十y十4 =0上. 素养提升 对应学生课时P7 解析：B[|x|=√Ja+1.0<a<2,.0<a2<4. .1<a2+1<5,即1<|z<5.故选B.] 4.使|1ogx-4i≥3+4i成立的x的取值范围是 A[28] B.(0,1]U[8,+∞) c.(0,g]U[8,+∞) D.(0,1)U(8,+∞) 解析：C[由已知得(10g5x)2+(-4)2≥32十42， .(logx)2≥9. .iog43或log≤-e(0,g]U[8,+oo] 5.非零复数，22分别对应复平面内的向量OA,OB, 若之1十之2=名1一2，则 A.OA=OB B.I0AI=10B C.OA⊥OB D.OA,OB共线 解析：C[如图，由向量的加法 及减法法则可知，O元=OA十 OB,BA=OA-OB. 由复数加法及减法的几何意义 0 可知，十2对应OC的模， |之1一2|对应BA的模」 又名1十2|=名1一之2，所以四边形OACB是矩 形，则OA⊥OB.故选C. 6.(多选题)下列命题中，真命题是 ( A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数之1>之2的充要条件是之1>之2 解析：ABC[①任意复数之=a十bi(a、b∈R)的模 |z=√Ja十b≥0总成立..A正确；②由复数相 等的条件=0台=0 台之|=0，故B正确；③若 0b=0 z1=a1+b1i,z2=a2十b2i(a1、b1、a2、b2∈R),若z1= 之2，则有a1=a2,b1=b2,.z1|=|22.反之由之1 =|x2|,推不出之1=之2，如之1=1十3i,之2=1一3i时 |x|=之2|，故C正确；④不全为零的两个复数不 能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小， .D错.] 7.i为虚数单位，设复数之、之2在复平面内对应的点 关于原点对称，若名1=2一3i,则之2= 解析：：1=2-3i,21对应的点为(2，一3)，关于 原点的对称点为（一2,3） .x2=-2十3i. 答案：一2+3i 8.若复数名1=1一i,之2=3一5i,则复平面上与名1，之2 对应的点Z,与Z2的距离为 解析：Z与Z2的坐标分别为(1，一1)，(3，一5)， 所以|Z,Z2|=√(1-3)+(-1+5)7=2√5. 答案：2√5 9.复数x=a2-1十(a+1)i(a∈R)是纯虚数，则a= ,x= 解析：，复数x=a2一1十(a十1)i是纯虚数， /0-1=0, 解得a=1, (a十1≠0， x=2i,∴.x=2. 答案：12 10.已知x=√2a+1+ai(a∈R),若之=x-|x|+ (1一i)对应的点在第二象限，求a的取值范围. 解：z=x-x+(1-i)=(wW2a十1-a)+(a-1)i, 由题意，得W2a十1-a<0, (a-1>0, 解得a>1+√2. ·3 第十章复数 11.在复平面内画出复数名=一1，之2=2 2 1 名=号号对应的向量02,02,0立，并求出 各复数的模 解：三个复数对应的向量OZ1,OZ2,OZ如图所示. 1z11=-1=1, )+-1 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在复平面内，O是原点，已知复数之1=一1十2i, 2=1一i、,之3=3一2i,它们所对应的点分别是A, B,C.若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的 值是 解析：由已知，得OA=(-1,2),OB=(1,-1),OC =(3,-2),所以xOA+yOB=x(-1,2)+y(1, -1)=(-x+y,2x-y). 由0C=x0+y0B,可得{仁x+y=3: (2x-y=-2, 解得 {=4,故x+y=5. /2=1 答案：5 13.已知名1=x2十√2十1i,x2=(x2十a)i对任意的x ∈R均有之1|>|之2成立.试求实数a的取值 范围. 解：因为x1=√x十x2十1，x2=x2十a, 且z1>2, 所以√x+x十1>x2+a,所以(1-2a)x2+(1 -a)>0恒成立. 当1-2a=0,即a=2时， 1-2a)x+1-a)=0+(-)）>0极成立： 当1-2a≠0时，有1-20>0， △=0-4(1-2a)(1-a2)<0, 解得-1<a<2 综上知，实数口的取值范国{知-1a≤}