10.1.1 复数的概念（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十章复数 第十章 复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 课程标准 素养解读 通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复 通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养. 通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运 数的基本概念及复数相等的充要条件， 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P15 [情境引入] 样，复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下： 希望工程举行中学生夏令 复数{实数6=0， 营，来到海滨城市青岛一天，张明 {虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）. 与王华面对着广阔的大海，有一 2.集合表示： 番耐人寻味的对话 张明：海纳百川，心阔容海.海、心 虚数集 复数集 孰大？ 王华：夸张的手法，不可比较， 纯虚数集实数集 张明：那么数m,n可否比较大小？ 王华：未必. [预习自测] 问题同学们，你能准确回答张明的问题吗？ 1.复数一2i的实部与虚部分别是 提示若m,n为实数可以比较大小，若m,n是虚数 A.0,2 B.0,0 则无法比较大小. C.0,-2 D.-2,0 [知识梳理] 解析：C[一2i的实部为0，虚部为一2.] [知识点一]复数的有关概念 2.复数1-i的虚部为 1.定义：形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫 A.i B.-i C.1 D.-1 做虚数单位.全体复数所成的集合C={a十bia∈ 解析：D[由复数虚部定义可知，1一i的虚部为一1. R,b∈R}叫做复数集， 故选D.] 2.复数通常用字母x表示，代数形式为z=a十bi(a,b 3.下列命题正确的是 ∈R),其中a与b分别叫做复数之的实部与虚部. A.复数a十bi不是纯虚数 [知识点二]复数相等 B.若x=1,则复数x=(x2一1)+(x+1)i是纯 在复数集C={a十bia,b∈R}中任取两个数a十bi, 虚数 c+di(a,b,c,d∈R),我们规定：a十bi与c+di相等 C.若(x2-4)+(x2+3x十2)i是纯虚数，则实数x 当且仅当a=c且b=d. =土2 D.若复数x=a十bi,则当且仅当b≠0时，之为虚数 ?思考复数能比较大小吗？ 解析：B[对于A,当a=0,b≠0，b∈R时， [提示]两个复数，如果不全是实数，只有相等与不 复数a十bi是纯虚数，命题错误； 相等的关系，而不能比较它们的大小 对于B,当x=1时，复数x=2i是纯虚数，命题正确； [知识点三]复数的分类 对于C,(x2一4)十(x2+3x十2)i是纯虚数，则 1.对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时，它是 1x2-4=0, 实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0 即x=2,命题错误； (x2+3.x十2≠0， 时，叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.这 对于D,复数之=a十bi,a,b未注明为实数，错误.] ·29· 数学B版·必修第四册 4.若a-2i=bi+1,a,b∈R,则a2+b2= 5.若(x+y-2)+（x-y-4)i=0(x,y∈R),则x= 解析：由a-2i=bi+1, ,y= 解析：根据复数相等的充要条件有 所以a=1,b=一2， +y-2=0,x=3, 所以a2+b2=5. (x-y-4=0, y=-1. 答案：5 答案：3-1 课堂。互动学案 对应学生用书P37 题型 复数的概念 [解] 1)由m十m一6=0得m=2. 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是 八m+3≠0， [例1] 所以当m=2时，之是实数。 实数，虚数，还是纯虚数 ①2+3i:②-3+号i:⑧2+i,④x:⑤-5i:⑥0. (2)由 m+m6≠0·得m≠2且m≠-3·即m≠ m+3≠0， m≠-3， 2且m≠一3.所以当m≠2且m≠一3时，之是虚数. [思路点拨了复数之=a千bi(a,b∈R)其中a为 m2+m-6≠0， 「m≠2且m≠-3， 实部，b为虚部. (3)由 m+3≠0， 得{m≠-3， 即 [解]①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部 m2-7m+12=0,(m=3或m=4, 为一3，虚部为号，是虚数：③的实部为瓦，虚部为 m=3或m=4.所以当m=3或m=4时，之是纯虚数 规律方法 1,是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数：⑤的实 复数的分类是由复数的实部与虚部的取值来决定 部为0，虚部为一√5，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部 的，在复数之=a十bi(a,b∈R)中：当b=0时，z为 为0，是实数. 实数；当b≠0时，之为虚数；特别地，当a=0且b 规律方法 ≠0时，之为纯虚数.在解题时，应先分清复数的实 部与虚部，再根据复数的分类，列出关于参数的方 复数a十bi(a,b∈R)中.实数a和b分别叫做复数 程（组）或不等式（组）求解. 的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是 ⊙[变式训练] 虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 2.当m为何值时，复数之=m(1+i)一m(3+i)-6i, ⊙[变式训练] m∈R,是实数？是虚数？是纯虚数？ 1.请分别在有理数集、实数集、复数集中分解因 解：.x=(m2-3m)+(m2-m-6)i, 式x3-25. .(1)当m满足m2-m-6=0,即m=-2或m=3 解：在有理数集中：x-25=(x2十5)(x2-5). 时，之为实数 在实数集中：x一25=(x2十5)(x2-5)=（x2十5)· (2)当m满足m2一m一6≠0，即m≠一2且m≠3 (x+√5)(x-√5) 时，之为虚数 在复数集中：x-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)· m2-3m=0, (3)当m满足} 即m=0时，之为纯虚数 (x+√5)(x-5)=(x+√5i)(x-√5i)(x+√5)(x m2-m-6≠0， 5). 题型三 两个复数的相等 复数的分类 [例3] 题型】 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y 的值， [例2]当实数m为何值时，复数之=(m+m一6)i (2)已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，求 +m2-7m十12是：1)实数：(2)虚数；(3)纯虚数。 实数a的值 m+3 [思路点拨]因为m是实数，所以m2十m一6， (3)若关于x的方程3.x2- 8x-1=(10-x-2x2)i m-7m十12都是实数.把它们分别看成一个整 有实根，求实数a的值. m+3 [思路点拨]第(1)小题中出现复数的等式，应转 体，就是复数的虚部与实部，则复数之 化为两个复数相等的问题来解决；第(2)小题只需 m-7m十12+(m2+m-6)i就化成x=a+bi(a, 将0看作0十0ⅰ即可转化为复数相等的问题；对 m+3 于第(3)小题，先设出方程的实根，然后代入，最后 b∈R)的形式.根据复数的分类即可确定m的取值. 转化为复数相等的问题。 ·30· 第十章复数 [解] (1)由复数相等的充要条件，得 规律方法 1 x= 十y=0, 求解复数相等问题 解得 y=x+1, 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的 y-2 也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复 (2)因为a,m∈R,所以由a2+am+2+(2a+m)i= 数相等的充要条件.基本思路是： 0,可得 (1)等式两边整理为a十bi(a,b∈R)的形式； (a2+am+2=0, 解得a2, 或=2， (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数 2a+m=0, (m=-2√ (m=2√2， 等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数。 所以a=士2. (3)设方程的实根为x=m, ◇[变式训练] 3.已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值. 则原方程可变为3m-号m-1=(10-m-2mi, 解：x2-y2十2xyi=2i, 所以 3m-受m-1= 0解得4=11或a=一号 1 {y=1,1y=-1. 10-m-2m2=0, 随堂。步步夯实 对应学生用书P17 1.已知全集C={xx是复数}，Q={xx是有理数}， 4.以√2+2i的虚部为实部，以4i一1的实部为虚部的 S={xx是无理数}，R={xx是实数}，P={xx 新复数是 是虚数}，那么(CcQ)U(CcP)为 ( ) A.S B.C C.R D.Q 解析：√2+2i的虚部为2,4i一1的实部为-1，故新 解析：B[:CcQ=SUP,CcP=R,RUP=C, 复数为之=2-i. ..(CcQ)U(CcP)=C.] 答案：2-i .若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2+"的值为( 5.已知名1=m2-(m2-3m)i,22=(m2-4m+3)i+10 A B.2 C.0 D.1 (m∈R).若1<x2,求实数m的取值范围. 解析：D[由复数相等的充要条件知， 2十y=0, 解：之<之2，之1，之2均为实数，且之1的实部小于 (x-1=0, 2的实部， 解得2=1， m2-3m=0, m=0或m=3, y=-1. x十y=0,2+=2°=1.] : m2-4m+3=0,解得 m=1或m=3, 3.若复数(a2-3a+2)+(a一1)i是纯虚数，则实数a 的值为 m2<10, .-√10<m<√10， 解析：由a2-3a+2=0且a-1≠0，得a=2. ,∴.m=3,故实数m的取值范围是{mm=3 答案：2 课后。素养提升 对应学生课时P6 基础过关 JI CHU GUO GUAN 复数集/ 1.1一2i的虚部为 ( 纯虚数集 实数集 A.2 B.-2 C.2i D.-2i 解析：B[根据定义知实部为1，虚部为一2.故 所以应有：MUR军I,(CM)UR=CM,M∩ 选B.] (C,R)≠， 2.设全集I=《xx是复数}，R={xx是实数}，M= 故A,B,D三项均错，只有C项正确.] {xx是纯虚数}，则 3.若(x+1)i=一y,则实数x,y的值为 A.MUR=I B.(C M)UR=I A.x=-1,y=1 B.x=-1,y=-1 C.(CM)∩R=RD.M∩(C,R)=☑ C.x=1,y=-1 D.x=-1,y=0 解析：C[根据复数、纯虚数的定义以及它们之间 解析：D[根据复数相等的充要条件得 的关系进行判断.依题意，I,R,M三个集合之间的 关系如下图所示 十10解方程组即得心=-1，y=0.故选D.] (-y=0, ·31· 数学B版·必修第四册 4.i是虚数单位，若集合S={一1,0,1}，则( 11.设复数之=lg(m2-2m-3)+(m2+3m十2)i, A.i∈S B.2∈S (1)当实数m为何值时，之是纯虚数？ C.i∈S D.-2i∈S (2)当实数m为何值时，之是实数？ 解析：B[因为集合S={一1,0,1}，所以=-1 Es,is,i=-is,-2iS.] 解：(1)因为复数之=1g(m2-2m-3)+(m2+3m 5.（多选题)下列四个命题，错误的是 十2)i是纯虚数， A.两个复数不能比较大小 m2-2m-3>0, B.若复数之满足z∈R,则之∈R 所以1g(m2-2m-3)=0,解得m=1土√5， C.若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一 m2+3m+2≠0. 对应 D.纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 所以当m=1土√5时，之是纯虚数 解析：ABCD[A中当这两个复数都是实数时，可 (2)因为复数之=1g(m2-2m-3)+(m2+3m十2)i 以比较大小.B若2=一1，满足z2∈R,而之=士i, 是实数， 不满足x∈R.C若a=0,则ai不是纯虚数.D由纯 1m2-2m-3>0, 虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应 所以 解得m=一2，所以当m= 是非纯虚数集与实数集的并集.] m2+3m+2=0, 6.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是() 一2时，之是实数， A.若x是实数，则x可能不是复数 能力提升 B.若x是虚数，则z不是实数 NENG LI TI SHENG C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实 12.已知复数x1=m+(4-m2)i(m∈R),x2=2cos0 部等于零 +(入+3sin0)i(入，0∈R),并且z1=z2,则入的取值 D.一1没有平方根 范围为 ( 解析：ACD[因实数是复数，故A错，B正确；因 复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错； A-7≤≤是 B6A<7 因一1的平方根为土i,故D错.] 7.给出下列复数：①-2i,②3十√2，③8i,④isin元， C.-1λ1 D.品≤1 ⑤4+i; 其中表示实数的有（填上序号） 解析：D [由=2，得m=20s0, 解析：②为实数；③8=一8为实数；④i·sin元= 4-m2=λ+3sin0, 0·i=0为实数，其余为虚数. 消去m,得入=4sin9-3sin9=4(sin0-3)2 8 答案：②③④ 8.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解 9 Γ16 x= 解析：方程可化为23120·解得工=2 1x2-5.x+6=0. 由于-1长im1,故A≤7. 答案：2 13.已知x=sinA+(ksin A+cosA-1)i,A为 9.(多空题)已知关于x的方程x2+(1-2i)x十(3m △ABC的一内角.若不论A为何值，之总是虚数， i)=0有实数根，则实数m的值为 ,方 求实数的取值范围. 程的实根x为 解析：设a是方程的实根，则a2+(1一2i)a十(3m一 解：令ksin A十cosA-1=0,则k=1-cosA sin A i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以。十a十3m=0且2a+1=0,所以a=- 1 1-cos A 2sin2 2 sin A 2sin分cos =tan 2' (2)+()3m=0所以m= 2 其中A∈(0，π). 答案2 1 -2 10.若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 :当号∈0，受)时an分∈0，十o) 成立，求实数m的值。 .1c0s4的值城为(0，十o). 解：由题意， sin A m2-3m=0, m=0或m=3, 得{m2-4m+3=0,.{m=3或m=1, 六当0时，1≠他成立，中当0时 m2<10, m<10. 不论A为何值，ksin A十cosA-1≠0恒成立，z .当m=3时，原不等式成立. 总是虚数 ·32·