第9章 解三角形 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第九章解三角形 3.在福州青运会开幕式举行的升旗仪式上，从坡角为 5.如图所示，货轮在海上以40km/的速度由B向C 15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测 航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，在B处 得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排 观察灯塔A的方位角是110°，在C处观察灯塔A 和最后一排之间的距离为106米（如图所示），则 的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C 旗杆的高度为 米. 到灯塔A的距离. B ×1109 i40° 35 最后一排30° 旗杆 106米 看台150 月60° 第一排 4.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A, B两点的距离为 m C温馨提今 学习至此，请完成配套训练 章末归纳提升 [网络构建] a b sin A sin B sin C 2R 变形 正弦定理 已知两角和任一边，解三角形 正弦定理的应用 已知两边及其中一边的对角，解三角形 a2=b2+c2- 2bccos A =a2+c2- 2accos B 变形 c2=a2+b- 2abcos C 解三角形 余弦定理 已知三边，求三角 余弦定理的应用 已知两边及其夹角，求其他的角和边 正弦定理与余弦定理的应用一实际应用 [归纳提升] 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角和一边，如已知A,B和c,由A十B十C 解三角形的常见类型及解法 =π求C,由正弦定理求a,b. 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一 (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a,b和C,应先 个元素为边，即可求解三角形，按条件可分为以下 用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对 几种： 的角，然后利用A十B+C=π，求另一角. ·13· 数学B版·必修第四册 (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a,b和A,可先 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答 用正弦定理求B,由A十B+C=π求C,再由正弦定 计分. 理或余弦定理求c,也可利用余弦定理构造关于边G 的一元二次方程求解.要注意解可能有多种情况， (4)已知三角a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C [例1]如图所示，在△ABC中，AB 题型正、余弦定理在实际中的应用 AC=2,BC=2√5，点D在BC边上，B1 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用， ∠ADC=45°，求AD的长度. 常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的 [尝试解答] 面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意 画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利 用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实 际问题进行检验. ⊙[变式训练] [例3]如图，A,B是海面 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, 上位于东西方向相距 北45 604北 设a,6c满足条件公+2-c=d和号=子+5. 5(3+√3)n mile的两个 b 观测点.现位于A点北 60 求A和tanB的值. 偏东45°，B点北偏西60 的D点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距 20√3 n milel的C点的救援船立即前往营救，其航行 速度为30 n mile./h,该救援船到达D点需要多长 时间？ [尝试解答] 题型二与解三角形有关的综合问题 该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三 角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都 ◇[变式训练] 是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用 3.为了测量两山顶M,N间 能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角 的距离，飞机沿水平方向 函数中两角和与差的公式及倍角公式等」 在A,B两点进行测量.A, [例2](2020·全国Ⅱ卷，17)△ABC中，sinA B,M,N在同一个铅垂平 sinB-sin'C=sin Bsin C. 面内（如图）.飞机能够测 (1)求A: 量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方 (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值， 案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并 [尝试解答] 在图中标出)；②用文字和公式写出计算M,N间 的距离的步骤 ⊙[变式训练] 2.(2020·新高考全国Ⅱ卷，17)在①ac=√3， ②c sin A=3,③c=√3b这三个条件中任选一个，补 充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的 值：若问题中的三角形不存在，说明理由。 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,且sinA=5simB,C=吾 ·14·105°，∠PBO=60°，BC=10√6米， ∴.∠CPB=180°-45°-105°=30°， ,.在△PBC中，由正弦定理可知PB= CB sin∠CPB1 sin∠PCB=20√3（米）， 在Rt△POB中，OP=PB·sin∠PBO=205x 2 30(米)，即旗杆的高度为30米. 答案：30 4.解析：由题意知∠ABC=30,由正弦定理，得sn∠ABC AC AB sin∠ACBi AB=AC·sin∠ACB 50X② 2 sin∠ABC -=50√2(m). 答案：50√2 5.解：在△ABC中，BC-40X =20(km), ∠ABC=140°-110°=30°， ∠ACB=(180°-140)+35°=75°， .∠BAC=75°. sin 30-sin75,.AC-BCsin 30 由正弦定理，得AC BC sin75° 10 40 sin 45cos 30cos 45'sin 30 =10(6-√2) (km). 故C到灯塔A的距离为10（√6-√2）km. 章未归纳提升 [例1][解]在△ABC中，：AB=AC=2,BC=2√5，∴. 白金袋定现，样C-+-号nC-专 2ab 在△ADC中，向E孩定理得，品如 AC :.AD= nc-是×分E AC 2 变式训练 1.解：由余弦定理c0A-十-Q2=号 2bc 29 因此A=60°，在△ABC中，C=180°-A-B=120°-B. 由已如条件应月正袋定双合+=后-需 sin120°B2=sin120cosB-cos120°sinB=,√5 sin B sin B 2tan B +3,从而1amB=安 [例2][解](1)由正弦定理和已知条件得BC2一AC2 AB2=AC·AB. ① 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A. ② 由①②得c0sA=-,月为0KA<x, 所以A=要 公)由正孩充显及0将二品。-2 从而AC=2V3sinB,AB=2√3sin(x-A-B)=3cosB-√5 sin B, ·9 参考答案 故BC+AC+AB=3+√5sinB+3cosB =3+2sim(B+吾)月 又0<B<受，所以当B=晋时，△ABC周长取得最大值 3+25. 变式训练 2.解析：若c=√b,因为sinA=√sinB,结合正弦定理 sinA-simB,知a=Bb=c, a b 所以A=C=吾，B=受 31 所以smA=分mB-停，与nA=5simB 所以此时不存在这样的△ABC, 答案：选择③，不存在 解析：因为sin A=3sinB,结合正弦定理sinA=sinB. b 知a=√3b, 由余弦定理知c2=a2+b2-2 abcos C=b2,即c=b, 若csin A=3,由正弦定理inA=sinC知a=6, 所以c=b=2√5. 答案：选择②，c=2√ 解析：因为sinA=√5sinB,结合正弦定理sinA_sinB, b 知a=√3b, 由余弦定理知c2=a2+b2-2 abeos C=b2,即c=b, 若ac=√3，则c=1. 答案：选择①，c=1. [例3][解]由题意知AB=5(3+√3)n mile, ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°， ∴.∠ADB=180°-(45°+30)=105°， 在△ADB中，由正弦定理得in∠DAB sin∠ADB DB AB DB=AB·sim∠DAB_5(3+3)·sin45 sin∠ADB sin 105 5(3+√3)·sin45 sin45cos60°+cos45°·sin60 55(W5+1) =10√5(n mile), 3+1 2 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60)=60°， BC=20√3(n mile), 在△DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cOs∠DBC =300+120-2X105×208×号-900. .'.CD=30(n mile). 附宏要的时码1-碧-1. 所以救援船到达D点需要1h. 3.解：①需要测量的数据有：A观测到M,N的俯角a1,3,B 观测M,N的俯角a2,3;A,B间的距离d(如图所示). d B M 数学B版·必修第四册 ②法一 第一步：计算AM在△ABM中由正弦定理得 dsin a2 AM= sin(a1十a2) 第二步：计算AN,在△ABN中，由正弦定理得 AN= dsin B2 sin(32-)9 第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得 MN=AM2+AN2-2AMX ANcos(a1-B1 ) 法二第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得 dsin a BM-sin(aa) 第二步：计算BN,在△ABN中由正弦定理得 dsin月 BN=sin(2B) 第三步：计算MN.在△BMN中由正弦定理得 MN=/BM2+BN2-2BMX BNcos(82+a2). 第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 课前预习学案 情境引入 提示若m,n为实数可以比较大小，若m,n是虚数则无 法比较大小 知识梳理 知识点一、1.全体复数2.之 知识点二、a=c且b=d [思考] 「提示]两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等 的关系，而不能比较它们的大小 知识点三、1.b=0b≠0a=0且b≠0 预习自测 1.C[一2i的实部为0，虚部为一2.] 2.D[由复数虚部定义可知，1一i的虚部为一1.故选D.] 3.B[对于A,当a=0,b≠0，b∈R时， 复数a十bi是纯虚数，命题错误； 对于B,当x=1时，复数之=2i是纯虚数，命题正确： 对于C,(x2一4)十（x2十3x十2)i是纯虚数，则 (x2-4=0, {x2+3x+2≠0， 即x=2,命题错误： 对于D,复数之=a十bi,a,b未注明为实数，错误.] 4.解析：由a-2i=bi十1，所以a=1,b=-2, 所以a2+b2=5. 答案：5 5.解析：根据复数相等的充要条件有 十y-2=0:.{=3 x-y-4=0,“1y=-1. 答案：3一1 课堂互动学案 [例1][解]①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部 为-3，虚部为？，是虚数：⑧的实部为厄，虚部为1，是虚 数；④的实部为π，虚部为0，是实数：⑤的实部为0，虚部 为一√5，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 变式训练 1.解：在有理数集中：x4一25=(x2十5)(x2一5) 在实数集中：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)·(x十√5) (x-√5).在复数集中：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2十 5)·(x+5)(x-√5)=(x+√5i)(x-√i)(x+5)(x-√5). ·9 [例2】[解11)由m士m6=0:得m=2. {m+3≠0， 所以当m=2时，之是实数. （2)由m士m6≠0'得{m≠2且m≠一3·即m≠2且 1m+3≠0， (m≠-3， m≠一3.所以当m≠2且m≠一3时，之是虚数. m2+m-6≠0， m≠2且m≠-3， (3)由{m+3≠0， 得{m≠-3， 即m=3或 (m2-7m+12=0, （m=3或m=4, m=4.所以当m=3或m=4时，之是纯虚数. 变式训练 2.解：，之=(m2-3m)十(m2-m-6)i, .(1)当m满足m2-m-6=0,即m=-2或m=3时， 之为实数 (2)当m满足m2一m一6≠0，即m≠一2且m≠3时，之为 虚数 (3)当m满足-m6关0，即m=0时，之为纯虚数。 [例3][解] (1)由复数相等的充要条件，得 1 x十y=0:解得 T= 2 (y=x+1, 1 y=2 (2)因为a,m∈R,所以由a2+am十2+(2a十m)i=0,可 得十am+2=0·解得{a=区，支a=区 2a+m=0, (m=-22m=2√2， 所以a=士√2.(3)设方程的实根为x=m, 则原方程可变为3m2-号m-1=(10-m-2m2)i, 3m-受m-1=0解得a=11或a=-号 所以 （10-m-2m2=0, 变式训练 3.解：x2-y2十2.xyi=2i, 会部路 1y=1,y=-1. 随堂步步夯实 1.B [.CcQ=SUP,C cP=R,RUP=C, ..(C cQ)U(C cP)=C.] 2.D[由复数相等的充要条件知， ￥0y=.x+y=02*+y=20=1,] 红十=0解得红=1 x-1=0, 3.解析：由a2-3a十2=0且a-1≠0，得a=2. 答案：2 4.解析：√2+2i的虚部为2,4i一1的实部为一1，故新复数为 之=2-i. 答案：2一i 5.解：1<之2之122均为实数，且1的实部小于2的 实部， /m2-3m=0, m=0或m=3, ∴.{m2-4m十3=0，解得m=1或m=3, m2<10, (-√10<m<√10， .m=3,故实数m的取值范围是{mm=3. 10.1.2复数的几何意义 课前预习学案 情境引入 提示任何一个复数之=a十bi,都和一个有序实数对(a, b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之 间可以建立一一对应.