第9章 解三角形 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到 到司机手中。 司机手中？ (2)当o=60km/h时，在△ABC中， (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB AB=500,AC=100× 25=625,BC=60× 25 所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km,快艇应如何行 =375, 驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长 由余孩定理Os∠ABC=ABBCAC=0, 2AB·BC 时间？ .∠ABC=90°，故快艇应以垂直AB的方向向北 解：如图所示，设快艇以vkm/h的速度从B处出 偏东行驶 发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇. (3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行 1北 东 驶，t小时后与汽车在E处相遇. 北 (1)在△ABC中，AB=500,AC=100t,BC=vt, BD为AC边上的高，BD=300. 设∠BAC=a,时sina=号，c0s&=号 500 由余弦定理得，BC心=AC+AB-2AB·ACcos a, 在△ABE中，AB=500,AE=100t,BE=75t, 即tt=10)3+500-2X500X10·手， eOs∠BAE-青 整理得，7=250000_80000+10000=250000 +2 t 由余弦定理(75t)2=5002+(100t)2-2×500× [务+()门 +10000- 10000×16 25 100×号，整理得1=4或1=190（会）， 7 =25060(}盖)+3060. 当t=4时，AE=400,BE=300, AB2=AE2+BE2, 当-即4-平时，元。=360=60. 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料 交到司机手中，最快需要4h. 即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送 章末归纳提升 对应学生用书P13 [网络构建] a sin A sin B 2R sin C 变形 正弦定理 已知两角和任一边，解三角形 正弦定理的应用 已知两边及其中一边的对角，解三角形 a2=b2+c2- 2bccos A =a2+c2 2accos B 变形 c2 a2+62-2abcos C 解三角形 余弦定理 已知三边，求三角 余弦定理的应用 已知两边及其夹角，求其他的角和边 正弦定理与余弦定理的应用 实际应用 ·26· 第九章解三角形 [归纳提升门 题型一利用正、余弦定理解三角形 题型二与解三角形有关的综合问题 解三角形的常见类型及解法 该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一 角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都 个元素为边，即可求解三角形，按条件可分为以下 是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用 能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角 几种： 函数中两角和与差的公式及倍角公式等. (1)已知两角和一边，如已知A,B和c,由A十B+C [例2](2020·全国Ⅱ卷，17)△ABC中，sinA =π求C,由正弦定理求a,b. sin2B-sin2C=sin Bsin C. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a,b和C,应先 (1)求A； 用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对 (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值， 的角，然后利用A十B十C=π，求另一角。 [解](1)由正弦定理和已知条件得BC2一AC2一 AB2=AC·AB. ① (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a,b和A,可 由余弦定理得BC2=AC十AB2-2AC· 先用正弦定理求B,由A十B十C=元求C,再由正 ABcos A. ② 弦定理或余弦定理求c,也可利用余弦定理构造关 于边c的一元二次方程求解.要注意解可能有多 由①②得0sA=-2,因为0<A<x 种情况. 所以A=2红 3 (4)已知三角a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C [例1]如图所示，在△ABC中，AB= (2)由正弦定理及(1)得AC=AB-BC sin B sin C sin A AC=2,BC=23,点D在BC边上，B 25, ∠ADC=45°，求AD的长度. 从而AC=2√3sinB,AB=2√3sin(x-A-B)=3cosB [解]在△ABC中，，AB=AC=2,BC=2√3， -√3sinB, ·由余弦定理，得cosC=十一C=区 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB 2ab 2 sin C =3+25n(B+)月 又0<B<行，所以当B=吾时，△ABC周长取得最 6 在△ADC中，由正弦定理得， AD AC nC=sin∠ADC 大值3+2√5. ◇[变式训练] sin∠ADC·sinC= ..AD= AC 2.(2020·新高考全国Ⅱ卷，17)在①ac=√3， 2 ②c sin A=3,③c=√b这三个条件中任选一个，补 ◇[变式训练] 充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, 值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 设a,6c清足条件62十2-灰=。和号-合+5， 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分 别为a,bc,且sinA=万sinB,C-否 求A和tanB的值， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答 解：由余弦定理cosA= +d-含： 计分. 2bc 因此A=60°，在△ABC中，C=180°-A-B=1209 解析：若c=√3b,因为sinA=√3sinB,结合正弦定 -B. 理inA_inB,知a=肠=c, a b 由已知条件，应用正弦定理了十=后-m 6 sin B 所以A-C-晋B经 sin(120°-B)_sin120°cosB-cos120°sinB sin B sin B 所以snA=子inB-夏与snA=BinB 2B分，从而anB= 1 所以此时不存在这样的△ABC. 答案：选择③，不存在 ·27· 数学B版·必修第四册 解析：因为sinA=V3sinB,结合正弦定理sinA 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)= a 60°，BC=20√3(n mile), sinB,知a=3b, b 在△DBC中，由余弦定理得 由余弦定理知c2=a2+b-2 abcos C=b2,即c=b, CD=BD+BC-2BD·BC·cos∠DBC 若csin A=3,由正孩定理sinA=sinC知a=6, =30+1200-2X10VB×205×号=900. 所以c=b=2√5. ∴.CD=30(n mile). 答案：选择②，c=2√ 则需要的时间一0 0 1(h 解析：因为sinA=5sinB,结合正弦定理sinA 所以救援船到达D点需要1h. ⊙[变式训练] B,知a=, 3.为了测量两山顶M,N间 由余弦定理知c2=a2+b2-2 abcos C=b2,即c=b, 的距离，飞机沿水平方向 在A,B两点进行测量.A, 若ac=3,则c=1. B,M,N在同一个铅垂平 答案：选择①，c=1. 面内（如图）.飞机能够测 题型正、余弦定理在实际中的应用 量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用， 案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并 常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的 在图中标出)；②用文字和公式写出计算M,N间 面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意 的距离的步骤 画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利 解：①需要测量的数据有：A观测到M,N的俯角 用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实 a1,B1,B观测M,N的俯角a2,3,;A,B间的距离d 际问题进行检验 （如图所示). [例3]如图，A,B是海面 上位于东西方向相距 北+459 04北 5(3+√3)n mile的两个 B 观测点.现位于A点北 600 偏东45°，B点北偏西60 的D点有一艘轮船发出 ②法一 第一步：计算AM.在△ABM中由正弦定 求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距 理得 20√3 n milel的C点的救援船立即前往营救，其航行 AM= dsin a2 速度为30 n mile/h,该救援船到达D点需要多长时 sin(a +a2): 间？ 第二步：计算AN,在△ABN中，由正弦定理得 [解]由题意知AB=5(3+√5)n mile, AN= dsin B ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°， sin(3-月) 第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得 ∴.∠ADB=180°-(45°+30°)=105°， DB MN=JAM+AN2-2AMXANcos(a-B). 在△ADB中，由正弦定理得 sin∠DAB 法二第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理 AB dsin a sin∠ADB' 得BM=sina,十a) DB=AB,sim∠DAB=5(3+)·sin45 第二步：计算BN.在△ABN中由正弦定理得 sin∠ADB sin 105 dsin B 5(3+√3)·sin45 BN= sin(32-月，) sin45°c0s60°+cos45°·sin609 第三步：计算MN.在△BMN中由正弦定理得 5√3(5+1) √5+1 L=l0√3(n mile), MN=BM+BN2-2BMX BNcos(B +a2). 2 ·28·