9.1.1 正弦定理（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第九章解三角形 第九章 解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1 正孩定理 课程标准 素养解读 1.探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理。 通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养.通过 2.能用正弦定理解决简单的实际问题， 运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养。 课前。预习学案 [情境引入] [知识点三]正弦定理的常见变形 在雷达兵的训练中，有一个项目 (1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(R为△ABC 叫“捉鬼（战士语）”，即准确地发现敌 外接圆的半径)， 台的位置.在该项目的训练中，追寻 2nA二录smB=泉snC 2R(R为△ABC 方的安排是以两个小组作为一个基 本单位去执行任务，用战士的话说就 外接圆的半径) (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a: 是两条线（即用两台探测器分别探出敌台的方向）一 b:c=sin A:sin B:sin C. 交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没 (4) a+b+c b 有.其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题， sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C 还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位 (5)asin B=bsin A,asin C=csin A.bsin C=csin B. 置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明 [知识点四]对三角形解的个数的判断 了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角. 己知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此 通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了. 时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边 问题在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比有 的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或 什么关系？ 无解的情况，三角形未必被唯一确定，例如，已知a,b 和A解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sinB=bsin A a [知识梳理] ①若bsinA>1,则满足条件的三角形个数为0.即 [知识点一]三角形面积公式 无解 任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC ,即任意 ②若bsin A=1,则满足条件的三角形个数为1.即 a 三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的 一解. 乘积的一半. ③若bsin4<1,则满足条件的三角形个数 (2)Sa=h,其中a为△ABC的一边长，而h为 1 a 为1或2. 该边上的高的长， 2思考已知两边和其中一边的对角解三角形时 [知识点二]正弦定理 定是一解吗？ 在一个三角形中.各边和它所对角的正弦的比 相等. 即入 =2R.(R为△ABC 外接圆的半径) 数学B版·必修第四册 (2)几何角度 [预习自测] 图形 关系式 解的 个数 1.在△ABC中，A=60°，a=√3，b=√2，则B=( A.45°或135 B.60° ①a=bsin A; C.45 D.135° ②a≥b 2.在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b. 若2 asin B=√3b,则角A等于 ( A 为锐角 bsin A<a<b A危 B. c D. a<bsin A 3.在△ABC中，若BC=√5，sinC=2sinA,则AB= () A.25 B.3√5C.45 D.55 A a>b 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA 为钝角 e0sC=高a=1,则6 4 角 a≤b 5.在△ABC中，c十b=12,A=60°，B=30°，则c= ,b= 课堂。互动学案 题型一己知两角及二边解三角形 题型二己知两边及一边的对角解三角形 [例1]已知在△ABC中，c=10,A=45°，C=60°，求 [例2]已知一三角形中a=2√5，b=6,A=30°，判 a,b和B. 断三角形是否有解，若有解，解该三角形， 思路点拨(1)由内角和定理求角B. 汇思路点拨]先利用正弦定理求另一边对角的正 (2)由正弦定理计算出另两边a,b, 弦值，再利用三角形中大边对大角考虑解的情况， 尝试解答】 然后解三角形 [尝试解答] 规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求 规律方法 另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第 已知两边和其中一边的对角解三角形时的方法 三个角，最后由正弦定理求出第三边. (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形 内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外 (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中 两边。 大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所 ◇[变式训练] 对的角为锐角，由正弦值可求出该锐角，满足条件 1.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=3√2，则AC 的三角形唯一 三 (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断 另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个 A.45B.25C.5 D.3 角，需要分类讨论，满足条件的三角形有两个. ·2· 第九章解三角形 ⊙[变式训练] 题型四 正弦定理的综合应用 2.在△ABC中，A=60°，a=4√5，b=4√2，则B= [例4] 如图所示，D是Rt△ABC的 A.45°或1359 B.135 斜边BC上一点，AB=AD,记 C.45 D.以上答案都不对 ∠CAD=a,∠ABC=3. B 题型利用正弦定理判断三角形的形状 (1)求证：sina+cos23=0; [例3] 在△ABC中，已知+4= sin B (2)若AC=√3DC,求B的值.（注：cos23=1-2sin) sin B-sin A 2 sin Asin B=2sin2C,试判断该三角形的形状. 汇思路点拨]根据正弦定理，实现边角互化 汇思路点拨]本题给出的已知条件中含有边角关 [尝试解答] 系，首先需进一步明确边角关系，其次利用正弦定理 和逆用二倍角的正弦公式确定三角形中角的关系. 尝试解答」 规律方法 规律方法 (1)在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公 (1)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定 式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧. 理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因 (2)判断三角形形状的常用方法有：①化边为角. 式、配方等)得到边的关系，如a=b,a2十b2=c2 将题目中的条件利用正弦定理化边为角（若sin2A 等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA 录nB杂imC-求 =sim2B,则A=B或A十B=受)，再根据三角函 数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三 (2)化边为角.将题目中所有的条件，利用正弦定 理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三 角形的形状；②化角为边.将题目中的所有条件， 个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公 利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得 式为：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C 到边的关系（如a=b,a十b2=c2),进而确定三角 ⊙[变式训练] 形的形状。 3.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA,则△ABC的 ◇[变式训练] 形状为 ) A.等腰三角形 4.在△ABC中，已知3b=2√3 a sin B,且cosB=cosC, B.直角三角形 角A是锐角，则△ABC的形状是 ( ) C.等边三角形 A.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 随堂。步步夯实 1.在△ABC中，若sinA>sinB,则角A与角B的大 5.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b, 小关系为 ( c,且A=30°，C=105°，a=10,求b,c. A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B的大小关系不能确定 2.在△ABC中，AC=√6，BC=2,B=60°，则角C的 值为 A.45° B.30°C.75° D.90 3.在△ABC中，若C=60°，b=√6，c=3,则A= 4.在△ABC中，若A=105°，B=45°，b=2√2，则c等 ⊙温攀提 于 学习至此，请完成配套训练 3参考 第九章解三角形 9.1 9.1.1 课前预习学案 情境引入 提示相等， 知识梳理 知识点-，2 esin A 2acsin B 2absin C b 知识点二sin B sin C 知识点四、一解两解无解一解无解 [思考] [提示]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角解三 角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，此 时解的个数不确定，应注意讨论：(1)其正弦值大于1，无 解.(2)其正弦值等于1，一解，(3)其正弦值小于1，①对应 边小于或等于已知角的对边，一解.②对应边大于已知角 的对边，两解 预习自测 1.C[由正茶定理A一万得smB=6A- b a -要a6A>BB=5.] 2.D [2asin B-3,.asin B b 2 又由正孩定理可得：AB b nA=0B-号，又△AC为锐角三角彩 b A=答，故选D] 3.A[利用正弦定理化简sinC=2sinA,得AB=2BC, BC=√5，∴.AB=25.] 4解析：由条件可得血A=号血C=景从西有血B sin[-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 65 "sin A sin B,可知b=asin B-2L =3由正弦定理4=b sin A 13 答案器 5.解析：因为A=60°，B=30°，所以C=90°，由正弦定理 sBC得6=c又c+b=12,所以c=8,b=4. b 答案：84 课堂互动学案 [例1门[解]品入C a=csinA=10×sim45°=106 sin C sin60° 3 B=180°-(A十C)=180°-(45°+60)=75°. 又6 C sin B sin C' b=esin B_10×sin75°20V5 sin C sin60° 3 =205×6+2-5(32+⑥ 3 4 3 ·8 参考答案 答案 变式训练 sin A sinB得32 1.B[由正孩定理BC=AC AC sim60=sin45,所以 AC=35×9=25,故选B] 2 2 [例2][解]：bsin A<a<b,.△ABC有两解. a b “in A sin B inB=·sinA=6X号-5， 25×=, .B=60°或120° (1)当B=60°时，C=180°-30°-60°=90°， c=√a2+b=45, (2)当B=120°时，C=30°，.A=C=30°， .c=a=23. 变式训练 2.C[“A品iA=60,a=45, b=4√2， a如B-A4E×9g a 4√5 2 .0°<B<180°， .B=45°或135° 又4√5>4√2，.B=45°.] [例3][解]由已知b+a=，simB b a sin B-sin A b-a ∴.b2-a2=ab, 又2 sin Asin B=2sin2C,由正弦定理得2ab=2c2. ② 由①②，得b2=a2+c2. ∴该三角形是以B为直角的直角三角形. 变式训练 3.D[,'在△ABC中，a2tanB=b2tanA, .由正弦定理，得sin2 Asin B_sin2 Bsin A cos B cos A 又sinA≠0，sinB≠0，.sinA=sinB cos B cos A' ∴.sin Acos A=sin Bcos B,即 sin2in sin 2A-in 2B. 1 A=B或2A=元-2B,即A=B或A+B=受， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.] [例4](1)[证明]在Rt△ABC中，AB=AD, ∴.∠ADB=∠ABC=R. :a=登-∠BAD=至-(K-2P9)=29-, ∴sina=sim(2p-2),即sina=-sin(受-29. .'sin a=-cos 28,.'.sin a+cos 28=0. (2)[解]在△ADC中，根据正弦定理得 AC DC sin∠ADC sin a' 又AC=√3DC,∠ADC=x-B, “品nne 数学B版·必修第四册 由(1)知sina=-cos23,∴.sin3=-√3cos2g. .2√3sin23-sinB-√5=0， 郎得如号我 3 0<g受m9g吾 变式训练 4.D[由3b=2V3 asin B,得b。=23e sin B 3 根据正弦定理得 a sin B sin A' 所以品2，即nA=号 21 又角A是锐角，所以A=60°， 又cosB=cosC,且B,C都为三角形的内角， 所以B=C. 故△ABC为等边三角形，故选D.] 随堂步步夯实 1.A[由sinA>sinB=2 Rsin A.>2 Rsin B(R为△ABC外 接圆的半径)台a>b曰A>B.] √6 2.C[由正孩定理，得60 sinA 2 ,BC=2<AC=√6，∴.A为锐角. .A=45°，.C=75°.] 3,解析：由正弦定理，得sinB=bsin Cv6X3 区，结合 3 b<c可得B=45°，则A=180°-B-C=75°. 答案：75 4.解析：：A=105,B=45°，.C=30°. 由正孩定理得-bsin C=2y2sin30=2. sin B sin 45 答案：2 5.解：因为A=30°，C=105°，所以B=180°-(A+C)=45°. sin1 sin B-sin C,所以b=asin=10sin45° 因为0 b sin A sin30° 102,c=asin C_10sin 105 sin A sin30° =5√2+5√6. 9.1.2余弦定理 课前预习学案 情境引入 提示1.根据向量的数量积，可得 a2=BC.BC =(AC-AB)·(AC-AB) =|AC2-2AC·AB+|AB12 B =ACI2-21ACI.ABI cos A+1ABI2 =b2-2bccos A+c2, 即a2=b2+c2-2 bccos A. 2.在△ABC中，设AB边上的高为h,S△AC=2ch 2cbsin A. ·9 知识梳理 知识点、b2+c2-2 bccos A a2+c2-2 aceos B a2+b2- 2abcos C b2+c2-a2 a2+c2-b2a2+b2-c3 2bc 2ac 2ab [思考] [提示]若a2=b2十c2,则△ABC是直角三角形： 若a2>b2十c2,则△ABC是钝角三角形； 若a2<b2十c2,则△ABC不一定是锐角三角形，因为a不 一定是最大边. 预习自测 1.A[注意余弦定理形式，特别是正负号问题.] 2.D[由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A=9十4-2×3 ×2×3=9,解得a=3.] 3.A[如图，由余弦定理可知： sC-号-BC2ACAE-3+AB 2BC·AC 2×3×4 B 3 可得AB=3,又由余弦定理可知： 0sB=AB2+BC-AC-32+32-42-1 2AB·BC 2X3X3=9故选A.] 4.解析：由余弦定理得c2=a2十b2-2 abcos C, 即2=9+64-2×3X8×2=40, 又c>0,所以c=7. 所以cosA=b2+c2-a2_64+49-9=13 2bc 2X8×714 答案昌 5.解析：c2=a2+b2-2 abcos C=9,c=3,B为最大角，cosB =2+c2-b2=49+9-64=-1 2ac 2×7×3 答案：-日 课堂互动学案 [例1][解]由余弦定理，得 c2=a2+b-2 abcos C=4+8-2×2×2V2cos15°. cos15°=c0s(45-30)=cos45°c0s30°+ sin45sin30°=6+2 4 .c2=8-2√12=(6-√2)2，∴.c=√6-√2 又'cos A=2+c2-a25 2bc 2 .A=30°，B=180°-(A+C)=135°. .A=30°，B=135°，c=√6-√2. 变式训练 1.解：根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B =(25)2+(√6+√2)2-2X2√5X(√6+√2)×cos45°= 8,所以b=2√2. 因为cosA=2+c2-a2 2bc